隐藏在势能函数里的信息

隐藏在势能函数里的信息第1页，共30页，2023年，2月20日，星期日引子——线性恢复力作用下的运动永远指向平衡位置的力称恢复力。恢复力的大小与偏离/形变/位移成正比时，称为线性恢复力。受线性恢复力作用的质点的运动方程为：（1）或（2）解为或A称振幅，ω称角频率/圆频率，φ/δ称初相。运动方式(3)称为简谐振动。其特点是，频率与振幅无关。（3）第2页，共30页，2023年，2月20日，星期日xU2.设有一质点受保守力作用沿x轴运动，势能函数为.势能曲线如下。曲线与x轴的交点a,b,称为U曲线的零点，它们满足方程:abx1x0x2在x=x0,x1,x2处，势能曲线上的点d,c,e有水平切线。它们称为曲线的极值点，又称平衡点。极值点的横坐标满足方程：(5)cde(4)o第3页，共30页，2023年，2月20日，星期日xUx1x0x2极值点可分为以下3类：1.极大如e,满足条件cde3.拐点如c,满足条件2.极小如d，满足条件Exffg质点运动范围不稳定平衡点。不稳定平衡点。稳定平衡点。质点的机械能守恒：o第4页，共30页，2023年，2月20日，星期日在保守力场中运动的质点，满足机械能守恒条件。设能量值为E,在图中用红色水平线表示。当质点位于x处时，其势能值为兰色箭头所示，向下为负；动能为蓝色箭头所示，向上为正。两者之和为E.因动能不可能为负，质点被限制在f,g之间作往复周期性运动,满足条件E≥U(x)。xUx1x0x2cdeExffg质点运动范围因动能是非负的，质点运动范围便是：o第5页，共30页，2023年，2月20日，星期日3.质点在势能曲线极小点附近的行为设能量值E只比势能极小值U(x0)大一个小量ΔΕ<<1:xUx0Exffg运动范围●U(x0)E-U(x0)=ΔΕ<<1(6)质点的运动范围也会很小：E≥U(x)x1x2-x1<<1x2因而任何时刻质点到x0的距离都满足条件：(7)o第6页，共30页，2023年，2月20日，星期日xUx0Exffg运动范围●U(x0)x1x2(9)质点运动方程：将函数U′(x)在x0的邻域内展开成泰勒级数，取到一阶小量：引入新变量(8)(10)它就是质点相对于稳定平衡点x0的偏离。于是方程(8)成为(11)由于，（11）是ε的简谐振动方程，圆频率为(12)o第7页，共30页，2023年，2月20日，星期日以上分析表明：任何系统，在其稳定平衡状态（如果存在的话）附近受到微小扰动时，系统将作微幅简谐振动。其频率与振幅无关，为(13)这是一个用途极其广泛的结果：小到晶体中的晶格振动，大到建筑结构的小振动，都服从这个规律。这种振动不会破坏系统的稳定结构。任何人为设计的结构，都应使其工作状态处于势能极小附近。无所不在的微扰能量会被这种非破坏性的振动吸收。第8页，共30页，2023年，2月20日，星期日4.我们现在来将上述结果推广到中心力作用下的二维运动。用平面极坐标系讨论中心力问题很方便。取力心（在惯性空间静止）为原点。中心力都是保守力，设势能函数为。质点动能为●●rmθ极轴力心o机械能守恒表示式为(14)中心力问题角动量守恒：为常矢，垂直图面向外。第9页，共30页，2023年，2月20日，星期日将角动量守恒式写成投影形式：（15）（15）代入（14）消去,得到机械能守恒与角动量守恒相结合的关系式：（16）注意（16）只含一个坐标变量r,横向运动看不见了！定义径向坐标函数（17）（16）就成为（18）这不就是一个只作径向运动的质点的机械能守恒式吗？(17)定义的称为中心力问题的等效势函数。

第10页，共30页，2023年，2月20日，星期日设想观察者坐在随质点一起绕力心旋转的轴上，他只能看见质点作径向运动，质点的动能就是●●力心极轴势能就是机械能守恒就是（18）这就是观察者看见的质点运动微分方程。将（18）对时间求导：约去，得（19）第11页，共30页，2023年，2月20日，星期日我们可以用等效势函数讨论径向运动的种种特性。以点状弹簧问题为例：设质点受力●●rmθ极轴弹性力心o弹性势函数等效势函数以下用数学分析方法讨论等效势函数的性质：①令解出等效势极值点坐标：(20)第12页，共30页，2023年，2月20日，星期日rE0r0右图所示为二维胡克力场的等效势曲线。因为质点的机械能与角动量均守恒，可设其值分别为E与L.当E=E0=时，能量线与等效势曲线相切，r只能取唯一可能值r0.此时质点无径向运动。在惯性空间内，质点作圆周运动。反平方双曲线抛物线由此可见，若等效势曲线有极小，且机械能E=等效势极小值,则质点绕质心作半径为r0的圆运动。o第13页，共30页，2023年，2月20日，星期日这与(20)一致。即，圆周运动半径是方程的根，也就是等效势曲线的极小点的横坐标。按牛顿定律，向心力公式为化成rE0r0②由图知，能量E不可能小于E0.最小能量E0与角动量为L,半径为r0的圆运动对应。o第14页，共30页，2023年，2月20日，星期日rEr0③若能量值为E,能量线与曲线相交于两点，其横坐标为r1与r2.r1r2r质点的径向运动范围便是：在随质点一起绕力心旋转的径向坐标系内，质点受力为（21）（22）上式右方第二项是胡克力，第一项就是惯性离心力。在r>r0处，f(r)<0,在r<r0处，f(r)>0,力f永远指向平衡点r0.这表明：质点在横向与径向同时在作往复周期运动。o第15页，共30页，2023年，2月20日，星期日④质点在绕力心旋转的同时还要做径向振动，这是一种什么样的复合运动呢？可能有两种情况：rE0r0横向运动周期/频率与径向运动周期/频率成简单整数比，则质点运动轨迹是封闭曲线（李萨茹图形）；横向运动周期/频率与径向运动周期/频率的比值是无理数，则质点轨迹不封闭。可以严格证明，在中心力是胡克力的情况下，径向频率：横向频率=2:1。轨迹是椭圆，力心在椭圆长短轴的交点。o第16页，共30页，2023年，2月20日，星期日⑤现仅就能量E=E0+ΔE稍大于圆运动能量E0的情况作一讨论。因rE0r0因而质点的径向运动范围满足条件r1r2将径向运动方程在平衡点r0的邻域内展开成泰勒级数，展开到一级小量：可见，径向运动是简谐振动，其圆频率为o第17页，共30页，2023年，2月20日，星期日因为质点径向小振动圆频率质点的横向运动频率可以如下求出：横向运动偏离匀速圆周运动很小。按圆周运动计算，横向角速度ω满足条件：向心力公式第18页，共30页，2023年，2月20日，星期日即，在径向运动完成两个周期的时间内，横向运动完成一个周期。质点径向振动圆频率质点的横向运动频率●力心●第19页，共30页，2023年，2月20日，星期日5.再看另一种常见的中心力——反平方引力的情形反平方引力势能函数等效势能函数①求圆运动半径令求得可能的圆运动半径可用向心力公式验证（1）第20页，共30页，2023年，2月20日，星期日当质点在惯性系中作半径为r0的圆运动，能量为E0。由于等效势函数在r0处有极小。半径为r0的圆运动是稳定的。r0rE0E+ΔEr1r2②求径向振动频率（2）o第21页，共30页，2023年，2月20日，星期日为求横向频率，写出向心力公式：（3）（2），（3）比较，知Ω=ω。●●力心可证，轨道是以力心为焦点之一的椭圆。第22页，共30页，2023年，2月20日，星期日r0rE0r1r2E●●力心r2r1o可证，只要轨迹都是以力心为焦点之一的椭圆。能量的最小可能值是,此时轨迹为圆。等效势分析法还可以用以分析陀螺运动。机械能守恒式加上两个角动量分量守恒式，就可以将陀螺运动用一个角坐标及其相应的角速度表出，迅速得出章动周期。第23页，共30页，2023年，2月20日，星期日2.自然界的秩序和方向性第24页，共30页，2023年，2月20日，星期日一、宏观事物的不可逆性《汉书》上记叙了一个故事，说的是汉代有一个名叫朱买臣的人，因家境贫寒，他的妻子不愿与他患难相守，离他而去。待到几年后，朱买臣功成名就，衣锦还乡时，这个已经嫁给了别人的女人又想破镜重圆。朱买臣则在马前泼水以明心志。这就是成语《覆水难收》的来历。在自然界，我们每天都能见到不可能自动返回原状的过程：玻璃杯落地摔成一堆玻璃碴；宠物狗与流浪狗玩了一会儿，前者染上了满身跳蚤；克服摩擦力做的功全部变成热，等等。我们在大学物理教材用几个编号的分子在容器左右两边的分布的可能性来说明某种宏观分布状态出现的几率。现在我们来看稍微复杂的情形。第25页，共30页，2023年，2月20日，星期日在教科书中，我们讨论过大量分子在容器左右两半中分布的可能情况，从而导出了熵的波尔兹曼表示式。实际上，分子的分布不仅有位置分布，还有能量分布。我们来说明这个问题。密闭容器中的定量气体，不仅有确定的总分子数N和体积V,而且有确定的内能E。以i标记一种可能的微观状态，在其中，单个分子的能量为εi，处于这个能量状态的分子数为Ni,于是有打个比方：3个人分3个苹果。此处3个人表示总分子数N=3;3个苹果表示总能量E=3.就单个分子而言，可能的能量有四种：第26页，共30页，2023年，2月20日，星期日总体能量分布情况有以下诸种：N=ΣNiE=ΣNiεiNi微观能量状态1每人1个苹果a,b,cN1=0;N2=3；N3=0；N4=01微观能量状态21人独占3个苹果,2人无苹果a,bcN1=2;N2=0;N3=0;N4=13a,cbb,ca微观能量状态31人2个苹果1人1个苹果1人无苹果abcN1