调和点列在平面几何中的应用

.调和点列平面几何中应用调和点列在几何证明中有着十分广泛的应用，它与梅尼劳斯定理、极线都有着十分密切的关联。下面先给出调和点列的定义：定义：直线上依次四点ABCD满足四点构成调和点列。

ABDC

，则称ABCD由交比的定义：交比（A、CD）=

rArrCBD知ABCD点构成调和点列的充要条件是交比A、BD=-1调和点列具有以下常用性质：性质1在梅尼劳斯图形中，三角形ABC被直线DEF所、

交与点，AG的延长线交

与点H，则BH、F成和点

列

证明：由塞瓦定理，

BHEA故HCHCAD

BFDB由梅尼劳斯定理，，故FCEADBFC所以

BFHCFC

由定义知，BH、C成和点列性质2若ABCOD成调和点列，O为平面上一点，则任意一条直线截

D1、OBOC、OD得的四个点也成调和点列。我们

A

B1

C1F

HGBCDE;.

111111111111称由发出的条射线、OB、为和线束。这是调和点列的一个重要性质。证明：如图，设直线l交OAOBOC、OD于、、、H过A作l的行线交OBOCODB、、D由平行线分线段成比例知交比（、G、H）=比（A

.、B、D）由梅尼劳斯定理，

AB1，BCCO111

OCDA1DCCO11所以交比（A

1

、B、D）=

DA：=比（A、BD）=-1故交比（EG、、H=-1即E、G成调和点列。证毕A性质3如图，A为圆外一点，ABAC为圆O切线，ADEF截圆与DFD交与E则AD、、F点调和证明:

B

E

CA、、E、四点调和FE又而

①FE**BFCFDES*CDVBDCFEBF**sinFCBFC

F故①成立。得证！注本题说明过圆所在平面上任意一点的直线与圆的两个交点与此点关于圆的极线的交点、此点本身四点构成调和点列。事实上，可以将此性质中的圆推广为一般的二次曲线;.

.推广1图圆外一点A关于椭圆的极线为BCA任意一条直线椭圆于

DD，交与E则ADE成和点

C

列。证明：暂略。性质4

A、、、D调

1ABAC

证明：acaA、B、、D调b而//

11211bABADACaa+b+c((a)()bcaaab性质5若ABCD成调和点列平面

上有点

M

满足AMMC

D则必有MC分，MA外角平分这是调和点列应用中相当重要的一个性质。证明：反证法。MA

A'BCC';.

.反设MC平分，作MC平分角BMD交BD’，MA’外角平分角交DB长线与A’，则MC'MA由内角平分线定理，有外角平分线定理，BC'所以②'DC'

'DBA''D

BMMDBMMD由ABCD成调和点列知

BACDAD注意到

'成立DBDBDBA'BA成立'DBDBD所以

BA'BABC与②矛盾！BD所以MC平分BMD，MA外角平分//下面是几道有关调和点列的经典题目题1已知三角形ABC内切圆I切边BC与D（AB>AC）AH为BC边上的高，M为AH中连DM并延长交圆I于P1）2）

求证：CPD设圆O为三角形BPC的接圆，求证：圆O与圆I内于PAK

PM内心内切圆BDH

C

E1）

分析：要证CPD即证PD平角BPC;.

又22.又22由此我们想到调和点列的性质5为此我们取点E使B、D四点成调和点列由性质五，下只要证DPE90o注意到MH只要证P、M、H、E四点共圆即DM*DP=DH*DE①设K与D为内切圆上的两个对径点，则DP从而:VDHM所以DM*DP=MH*KD=r*AH（r为内切圆半径设Hx则22)2x

a222b

2

(a2)21)2a+b+ca222(c)(从而H2a2a由B、C、E成调和点列知：

BEDCb所以

BC2(()aCEDCCEc)DE

a()()(a)22()2(c)DH*DE

14a

()()()2)

1(a)(a)(a而raa1r*AH(a)(a)()=DH*DE③4由②及③知①成立，故从而CPD取弧BC上的中点N，由1）知P、D、N共线

//由引理：两圆内切于P为中一圆切线，切点为A，B为弧MN中点，则P、A共线

易知结论成立;.

.题2已知圆I内于三角形ABC，切于点D，连AD，设E为AD一点，连AD，设E为AD上一点，连BE、CE别交圆于M，NBN求证：BN、AD点证：AFGE内

NM内圆KBD设FG交CB于点K

CQ

AGBDCFAGBKCF****=1GBFABKDC

即K、B、C四点调和由性质一，只要证K、M共线即可证明BN，ED共点反设KM交I与N’（除N外的一点）AFG

E

L内

N'M

T'T内圆KBDCN交BE于点L,LD交MN于T交MN于T由K、B、C四点调和及性质2知K，M，T’四点调和注意到A点极线过K，所以K点极线过A又K点极线过D，故DA为点K关于圆I的线由性质3知K、M、T、N’调和;.

C

.故T=T’从而LD与合即L与E重合，N与N’重合矛盾！故K、M共线原命题得证！题3已知X为圆O外一点，过X作圆O的切线，切点为A过X作圆O的割线XCD满CA与BD交于F，CD与AB交于G，BD与GX中垂线交于H求证：X、F、G、H四点共圆证

：CAFGDXBH;.

HGH.HGH如图，易知X、D、G、C四点调和（由性质3）又BD由性质5知FD平所V的接圆半径为，FXH的外接圆半径为GFHHFX由H在GX的中垂线上知：又sinGFH，