2023届重庆市万州第二高三年级上册学期2月月考数学试题【含答案】

2023届重庆市万州高三上学期2月月考数学试题一、单选题1．已知复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，根据复数相等列方程求解可得结果．【详解】设，由得所以，解得∴．故选：A．2．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A，，且，即是p的不充分不必要条件，A不是；对于B，，且，即是p的不充分不必要条件，B不是；对于C，，即是p的一个充分不必要条件，C是；对于D，，即是p的必要不充分条件，D不是.故选：C3．已知某圆台上下底面的面积之比为1∶9，侧面积为，母线长为2，则该圆台的高为（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高即可．【详解】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，所以下底面的半径为，又母线长，圆台的侧面积为，则，解得，则圆台的高．故选：B．4．已知直线：与圆：，则上各点到距离的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判断直线与圆的位置关系，再结合图形求距离最小值.【详解】易知圆心，半径，圆心到直线l：的距离d，所以圆与直线相离，如图所示：所以圆C上各点到l距离的最小值为，故选：C．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点到焦点的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点在椭圆上得，且，再利用两点距离求得，从而可确定的最大值与最小值，即可求得的值，即可得离心率的值.【详解】解：设椭圆的半焦距为，若椭圆上一点，则，且又，则由于，所以于是可得，，所以椭圆C的离心率.故选：B.6．已知，函数，若方程恰有2个实数解，则可能的值为是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分别求出两段函数的零点，把分段讨论，由两段函数在不同区间内的零点个数得答案.【详解】解：令，由，解得，由，解得或，当时，方程仅有一个实数解，当时，方程恰有两个实数解，，当时，方程有三个实数解，，，当时，方程恰有两个实数解，，方程恰有2个实数解，则的范围是.故选：D.7．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设，则则由得：，由，得，所以，即，所以椭圆的离心率，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：故，由椭圆第三定义得：，故所以椭圆的离心率，故选A.8．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（

）(设男子和女子的人数相等)A． B． C． D．【答案】B【分析】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，分别求得,结合公式，即可求解.【详解】设“男子”，“女子”，“这人有色盲”，则,可得.故选：B.二、多选题9．已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为B．的标准方程为C．的渐近线方程为D．直线经过的一个焦点【答案】ABD【分析】A选项，求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线距离公式求出，从而得到，可以计算出离心率，得到双曲线标准方程及渐近线方程，判断出ABC选项，在直线上，D正确.【详解】由题意得：双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，即，则，解得：，则，解得：，所以的离心率为，A正确；的标准方程为，B正确；的渐近线方程为，C错误；在直线上，故经过的一个焦点，D正确.故选：ABD10．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．－1是函数的极小值点B．－4是函数的极小值点C．函数在区间上单调递减D．函数在区间上先增后减【答案】BC【分析】根据导函数图象确定的单调性，由此确定正确选项.【详解】由图象可知，在上递减，在上递增，所以不是极值点，A选项错误；是极小值点，B选项正确；C选项正确；D选项错误.故选：BC11．第24届冬季奥林匹克运动会圆满结束.根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若椭圆：和椭圆：的离心率相同，且.则下列正确的是（

）A．B．C．如果两个椭圆，分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆（即矩形的四条边与椭圆均有且仅有一个交点）和外接椭圆，则D．由外层椭圆的左顶点向内层椭圆分别作两条切线（与椭圆有且仅有一个交点的直线叫椭圆的切线）与交于两点，的右顶点为，若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为.【答案】BCD【分析】由离心率相同及已知得到、，即可判断A、B；由在椭圆上得到，进而判断C；根据对称性确定的坐标，结合斜率两点式得判断D.【详解】A：由且，则，即，故错误；B：由，得，则，所以，故正确；C：满足椭圆方程，又，则，所以，，故正确；D：由对称性知：、关于轴对称，，，，，，，则，，故正确.故选：BCD.12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点､的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为，下列结论正确的是（

）A．的方程为B．在上存在点到点的距离为4C．上的点到直线的最大距离为6D．过点作直线，若上恰有三个点到直线的距离为2，则该直线的斜率为【答案】ACD【分析】根据题意求出的轨迹，结合圆中的相关知识进行分析判断即可.【详解】设，则，化简得，，则选项正确；将圆的方程化为标准方程为，则圆心为，半径为4，则圆上的点到点的最小距离为，则在圆上不存在点到点的距离为4，则选项B错误；上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径，即，则选项C正确；显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由于圆的半径为4，则要使上恰有三个点到直线的距离为2，只需圆心到该直线的距离为2，即，解得，则选项D正确．故选：ACD．三、填空题13．已知椭圆与双曲线有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为__________．【答案】【分析】将双曲线的方程化为标准方程可得，由双曲线定义可得，再根据椭圆的定义求得a，即可求得离心率．【详解】解：由题意，不妨设P在第一象限，为左焦点，双曲线可化为，由双曲线的定义知：，，则，，由椭圆的定义知：，∴，∵椭圆与双曲线有相同的右焦点，∴椭圆的离心率．故答案为：14．甲乙两名实习生每人各加工一个零件，若甲实习生加工的零件为一等品的概率为，乙实习生加工的零件为一等品的概率为，两个零件中能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为__________．【答案】【分析】两个零件中恰好有一个一等品，即甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品，或乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品，计算概率即可.【详解】甲加工的零件为一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为，乙加工的零件为一等品且甲加工的零件不是一等品的概率为，所以两个零件中恰好有一个一等品的概率为.故答案为：.15．设函数，若不等式恰有两个整数解，则的取值范围是______.【答案】【分析】由题知恰有两个整数解，构造函数，利用导数研究函数的性质，作出函数的大致图象，利用数形结合即得.【详解】由，可得，令，由题意知恰有两个整数，使成立，因为，由，可得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，且，直线恒过点，且斜率为，结合图象可得，即，解得，即的取值范围是.故答案为；.四、双空题16．已知椭圆：的左、右焦点分别为，O为坐标原点，A为椭圆C上顶点，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点，M为弦BC的中点且直线的斜率与OM的斜率乘积为，则椭圆C的离心率为_________；若，则直线的方程为_________．【答案】

##0.5

【分析】应用点差法转化斜率积可求离心率,设直线与椭圆联立,应用已知距离可求直线方程.【详解】设点，，在椭圆上．．．．．．．．．．．．．．①．．．．．．．．．．．．．．．②因为．．．．．．．．．．．．．．③由①-②得，即，所以，由③得，，则，过平行于的直线与椭圆交于B，C两点,，，设直线BC为联立,可得，则,.由题意即直线的方程为故答案为:;五、解答题17．已知是等差数列的前项和，，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式基本量列出方程，求出公差，进而求出通项公式；（2）在第一问的基础上，求出，得到不等式，求出，结合，得到的最小值.【详解】（1）设数列的公差为，因为，所以.解得.所以.（2），所以.令，得，解得：（舍去）.因为，所以的最小值是12.18．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理、基本不等式及三角形三边关系计算可得；【详解】（1）解：由正弦定理及，所以.所以由余弦定理得，又，所以.（2）解：因为，，由余弦定理可得，可得，所以，，可得，当且仅当时取等号，又由三角形三边关系得，所以的取值范围是.19．已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，所有球的大小、形状完全相同．(1)从1号箱中不放回地依次取1个球，求第一次取得红球且第二次取得仍是红球的概率；(2)若从1号箱中任取2个球放入2号箱中，再从2号箱中任取1个球，求取出的这个球是红球的概率．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用独立事件的概率乘法公式求解；(2)利用全概率公式求解.【详解】（1）设“从1号箱中第1次取得红球”为事件，“从1号箱中第2次取得红球”为事件，则，所以第1次取得红球且第2次取得仍是红球的概率为．（2）设“从2号箱中任取1个球是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是红球”为事件，“从1号箱中任取2个球1个红球和1个白球”为事件，“从1号箱中任取2个球都是白球”为事件，则事件，，彼此互斥．，，，，，．所以．所以取出的这个球是红球的概率为．20．如图，分别是矩形上的点，，，把四边形沿折叠，使其与平面垂直，如图所示，连接，得到几何体．(1)当点在棱上移动时，证明：；(2)在棱上是否存在点，使二面角的平面角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在，.【分析】（1）利用题设条件及面面垂直的性质定理证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求得，由此可证得；（2）利用（1）中结论，求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标公式得到关于的方程，解之即可.【详解】（1）由图1易知图2中，有，又因为面面，面面，面，所以面，又面，故，故以为原点，边所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图，则不妨设，，则，故，所以，故..（2）假设存在使二面角的平面角为，其中，因为平面，所以可作为平面的一个法向量，因为，设平面的一条法向量为，则，即，令，则，故，因为二面角的平面角为，所以，即，整理得，解得或（舍去），所以，故在棱上存在点，使二面角的平面角为，且.21．已知椭圆，四点中，恰有三点在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)设直线不经过点，且与椭圆相交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过一定点，并求此定点坐标．【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）先判断出在椭圆上，再代入求椭圆方程；（2）假设斜率存在，设出直线，利用斜率之和为，求出之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可.【详解】（1）由对称性同时在椭圆上或同时不在椭圆上，从而在椭圆上，因此不在椭圆上，故在椭圆上，将，代入椭圆的方程，解得，所以椭圆的方程为（2）当直线斜率存在时，令方程为，由得所以得方程为，过定点当直线斜率不存在时，令方程为，由，即解得此时直线方程为，也过点综上，直线过定点.【点睛】本题关键点在于先假设斜率存在，设出直线，利用题目所给条件得到之间的关系，即可求出定点，再说明斜率不存在时，直线仍过该点即可，属于定点问题的常见解法，注意积累掌握.22．已知，函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）设是的导数.证明：（i）在上单调递增；（ii）当时，若，则.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）利用的二阶导数来求得的单调区间.（2）（i）利用导数证得，从而证得在上递增.（ii）利用差比较法证得和，由此得到，从而证得结论成立