内蒙古呼和浩特市开来中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试卷 Word版含答案

/开来中学2020-2021学年度第一学期期中考试高二年级数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共70分）1.已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6≤0},B=x|x+1x-4>0

,那么集合A∩(∁A.{x|-2≤x<4}B.{x|x≤3或x≥4}C.{x|-2≤x<-1}

D.{x|-1≤x≤3}

2.数列{an}中,对所有的正整数n都有a1A.6116

B.259

C.2519

3.下列说法正确的是（）A.若a>b，则ac>bcB.若a>b，c>d，则ac>bdC.若a>b，则a2>b2D.若a>b4.在等差数列{an}中anA.3

B.6

C.9

D.36

5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知c=5,b=3,A=2π3，则sinAsinCA.7B.5C.3D.76.已知等差数列an的前n项和为Sn，a2=11,S15A.6B.7C.8D.97.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若内角A，B，C依次成等差数列，且不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|a<x<c}，则S△ABC等于（

A.3B.2C.3D.48.在△ABC中，acosB=bcosA，则△ABCA.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形9.对于任意实数x，不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立，则实数aA.(-∞, 2)B.(-∞, 2]C.(-2, 2)D.(-2, 2]10.古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍.已知她5天里共织布5尺，问这女子每天织布多少？”根据此题的已知条件，若要使织布的总数不少于50尺，该女子所需天数至少为(

).A.7

B.8

C.9

D.10

11.如图，CD是山的高，一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶，在点A处时测得点D的仰角为30∘，行驶300m后到达B处，此时测得点C在点B的正北方向上，且测得点D的仰角为45∘，则此山的高CD=()A.150B.75C.150D.30012.设a＞0，b＞0，若2是4a与2b的等比中项，则1a＋A.22

B.8

C.9D.10

13.数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N*有A.2015B.4032C.4034D.201614.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中，恰有3个整数，则a的取值范围是（）A.(4, 5)B.(-3, -2)∪(4, 5)C.(4, 5]D.[-3, -2)∪(4, 5]二．填空题（每小题5分，共20分）15.已知x，y满足约束条件2x+3y-24≤0x-y≤7x≥0y≥016.已知a,b,c分别为ΔABC的三个内角A,B,C的对边，a=2，且(2+b)(sinA-sin17.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,118.数列{an}的前n项和为Sn三、解答题（每小题10分，共60分）19.已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．20.

已知在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a,b,c成等比数列,c=3bsinC-ccosB.(1)求B的大小;(2)若b=23,求△ABC的周长和面积.21.记Sn为数列{an}的前n项和，已知数列{(1)求{a(2)设bn=1log31an⋅22.如图,D是直角△ABC斜边BC上一点,AC=3DC.

(1)若∠DAC=30∘,求角(2)若BD=2DC,且AD=22,求DC23.解关于x的不等式ax24.设a>0,b>0,c>0,ab+bc+ca=1.(1)求证:abc+b(2)求证:a+b+c≥3.答案1.【答案】D【解析】由于A={x|x2-x-6≤0}={x|-2≤x≤3},

B=|x+1x-4>0={x|x<-1或x>4},则有∁UB={x|-1≤x≤4},故A∩(∁UB2.【答案】A【解析】本题考查递推公式的应用、数列的通项公式.因为a1⋅a2⋅a3…an=3.【答案】D【考点】不等式的概念【解析】由a>b，c＝0，可判断A；由a＝2，b＝1，c＝-1，d＝-2计算可判断B；由0>a>b，以及二次函数的单调性可判断C；由不等式的可加性可判断D．【解答】由a>b，c＝0，可得ac＝bc，故A错；

由a>b，c>d，取a＝2，b＝1，c＝-1，d＝-2，可得ac＝bd，故B错；

由0>a>b，可得a2<b2，故C错；

由a>b，c>d，可得a+c>b+d，故4.【答案】C【解析】∵等差数列{an}中，an>0,且a15.【答案】A【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据余弦定理求出a，然后用正弦定理即可求得【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA【答案】B【考点】等差数列的前n项和、等差数列的性质【解答】解：在等差数列an中，由S1515-S77=-8，

得a8-a4=-8，

又

a8-a4=4d，得4d=-8,d=-2.

由题意知，a2=11，

∴an=a2+(n-2)d=11-2(n-2)=15-2n.

7.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法、等差数列的通项公式，正弦定理【解析】利用等差数列的性质求出B，由不等式-x2+6x-8>0的解集求出a，c，再由正弦定理求出△ABC【解答】解：△ABC中，内角A、B、C依次成等差数列，

∴B=60∘.

∵不等式-x2+6x-8>0的解集为{x|2<x<4}，

∴a=2，c=4，

∴S△ABC=8.【答案】D【考点】正弦定理、三角形的形状判断【解析】利用正弦定理asinA=b【解答】解：∵在△ABC中acosB=bcosA，

∴ab=cosBcosA，

又由正弦定理asinA=bsinB=2R，

得：ab=sinAsinB，

∴sinAsinB=cosBcosA，

∴sin2A=sin2B，

9.【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【解答】解：a-2=0，即a=2时，-4<0，恒成立；

a-2≠0时，a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0,

解得-2<a<2，

∴-2<a≤2.10.【答案】C【解析】设该女子第一天织布x尺,则x(1-25)1-2=5,解得x=531,∴前n天织布的总尺数为:

511.【答案】C【考点】解三角形【解析】设此山高h(m)，在△BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在△ABC中利用勾股定理求得h．【解答】设此山高h(m)，由题意在点A处时测得点D的仰角为30∘，得AC=3h，

在△ABC中，∠CBA=90∘，测得点D的仰角为45∘，

∴BC=h，AB=300．

根据勾股定理得，312.【答案】B【解析】本题考查指数的运算及基本不等式.由2是4a与2b的等比中项，得4a×2b=(2)2＝2,即13.【答案】B【考点】数列的求和、数列递推式【解析】利用累加法求出数列的通项公式，得到1an=【解答】解：∵a1=1，

∴由an+1=a1+an+n，

得an+1-an=n+1，

则a2-a1=2，

a3-a2=3，

⋯

an-an-1=n(n≥2)．14.【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】分类讨论，利用判别式，即可得到结论．【解答】解：a-2=0，即a=2时，-4<0，恒成立；

a-2≠0时，a-2<0,4(a-2)2+16(a-2)<0,

解得-2<a<2，

∴-2<a≤2.15.【答案】24【考点】简单线性规划【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+3y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可【解答】作出满足约束条件的可行域，如图所示，

16.【答案】3

17.【答案】-52【考点】一元二次不等式的应用【解析】将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．【解答】解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,12]成立，等价于a≥-x-1x对于一切x∈(0，12〕成立

∵y=-x-1x在区间(0，12〕上是增函数

∴-x-1x<-18.【答案】2600【解析】a1=1

,a2=2,

a3-a1=1-1=0，

a3=1

，

a4-S10019.（Ⅰ），．（Ⅱ）20.(1)【答案】由正弦定理得sin

C=3sin

Bsin

C-sin

Ccos

B,

所以1=3sin

B-cos

B=2sinB-π6,

即sin

B-π6=12,

因为角B是△ABC的内角,所以O<B<π,

所以-π6<B-π6<5π6,所以B-π6=π6,即B=π3.

(2)【答案】因为b=23,所以余弦定理得12=a2+c2-2accosπ3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,

因为a,b,c成等比数列,所以ac=b2,

所以(a+c)2=48,所以a+c=43,

所以三角形ABC的周长为63,S△ABC=12acsin

B=1(1)解：由Sn=1-an2，得Sn+1=1-an+12，

两式相减，得an+1=an-an+12，即(2)证明：因为bn=1log33n⋅log22.(1)【答案】在△ABC中,由正弦定理得ACsin∠ADC=DCsin∠DAC.

∵AC=3DC,∴sin∠ADC=3sin∠DAC=3sin30°=32.

又∠BAD=90°-∠CAD=60°，∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60∘>60∘,∴∠ADC=120°.

∴∠C=180∘-120∘-30∘=30∘,∴∠B=60°.

(2)【答案】设DC=x,则BD=2x,BC=3x,AC=3x.

则sinB=ACBC=33,cosB=63,AB=6x.

在△ABD中,由余弦定理得

AD2