讨论对称矩阵的正定性

讨论对称矩阵的正定性对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，即$A=A^T$。对于对称矩阵的正定性，我们可以从几个方面进行讨论。1.定义对称矩阵$A$是正定的，如果对于任意非零向量$x$，都有$x^TAx>0$。这意味着对于一个对称矩阵，当且仅当它的所有特征值为正时，它才是正定的。2.性质对称矩阵的正定性具有以下重要性质：（1）所有主元素为正的对称矩阵都是正定的。即$A=(a_{ij})_{n\\timesn}$，当$A$的所有主元素$a_{ii}$都为正数时，$A$是正定矩阵。证明：对于非零向量$x=(x_1,x_2,\\cdots,x_n)^T$，有$x^TAx=\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\sum\\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j=\\sum\\limits_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2+\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\sum\\limits_{j\eqi}a_{ij}x_ix_j$。由于$A$的主元素$a_{ii}$都为正数，所以第一项$\\sum\\limits_{i=1}^{n}a_{ii}x_i^2>0$，又由于$x$非零，所以第二项$\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\sum\\limits_{j\eqi}a_{ij}x_ix_j\\geq0$。因此，$x^TAx>0$，即$A$是一个正定矩阵。（2）对称矩阵的全部特征值都大于零的充分必要条件是该矩阵正定。证明：设$A$是一个对称矩阵，它的特征值为$\\lambda_1,\\lambda_2,\\cdots,\\lambda_n$，且满足$\\lambda_1\\geq\\lambda_2\\geq\\cdots\\geq\\lambda_n$。则对于非零向量$x=(x_1,x_2,\\cdots,x_n)^T$，定义$y=Ax$，有$$x^TAx=x^Ty=\\lambda_1(x_1^2+x_2^2+\\cdots+x_n^2)+\\sum\\limits_{i=2}^{n}\\lambda_i(x_i^2+x_j^2+\\cdots+x_n^2)>0$$显然，$\\lambda_1>0$是正定矩阵$A$的必要条件。另一方面，由于$A$是对称矩阵，所以它可以被对角化为$A=Q\\LambdaQ^T$的形式，其中$Q$是正交矩阵，$\\Lambda$是$A$的特征值所构成的对角阵。由于正交矩阵的转置等于它的逆矩阵，因此有$A^{-1}=Q\\Lambda^{-1}Q^T$。对于任意向量$x$，都可以写成$x=Qy$的形式，其中$y$是另一个向量。因此$$x^TAx=(Qy)^TQ\\LambdaQ^TQy=y^T\\Lambday=\\sum\\limits_{i=1}^{n}\\lambda_iy_i^2>0$$即$\\lambda_i>0$是正定矩阵$A$的充分条件。因此，所有特征值为正的对称矩阵都是正定矩阵。（3）对于实对称矩阵，正定性等价于所有主子式的行列式都大于零。证明：设$A$是一个实对称矩阵，其第$k$个主子式为$D_k$，则有$D_k=det(A_k)$，其中$A_k$是$A$的从左上角开始的$k\\timesk$的子矩阵。根据Schur定理可知，对于任意整数$k\\leqn$，$A_k$的特征值都小于等于$A$的特征值中的第$k$大值。又因为所有特征值都大于零的对称矩阵是正定矩阵，因此对于正定矩阵$A$，必有$A_k$所有特征值都大于零。由于$A_k$的特征值都大于零，所以它的行列式也都大于零。设$B_k$表示在$A$的第$k$行和第$k$列处去掉的元素组成的矩阵，则有$$A_k=\\pmatrix{A_{k-1}&\\textbf{0}\\\\\\textbf{0}&a_{kk}}\\quadB_k=\\pmatrix{B_{k-1}&\\textbf{0}\\\\\\textbf{0}&1}$$因此$D_k=det(A_k)=det(A_{k-1})a_{kk}$，即$a_{kk}$是$D_k$的一个因子。又因为$A_k$的所有特征值都大于零，所以$A_{k-1}$的所有特征值也都大于零。因此，对于任意$k\\leqn$，$D_k$都是$A$的所有特征值中的前$k$个的积，即$D_n=det(A)>0$。综上所述，所有主子式的行列式都大于零是正定矩阵的充分必要条件。3.应用对称矩阵的正定性在各个领域都有广泛的应用。以下列举几个例子：（1）线性代数中的一些重要问题，如最小二乘法、奇异值分解、特征值计算等，都需要对称矩阵的正定性。（2）正定矩阵在优化问题中扮演重要角色，如凸优化等。在这些问题中，对称矩阵的正定性可以保证问题的唯一最小解。（3）