2018高考数学备考艺体生百日突围专题09等差数列与等比数列的基本运算附解析

高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。高考资源网（），您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。2018高考数学备考艺体生百日突围专题09等差数列与等比数列的基本运算附解析专题九等差数列与等比数列的基本运算等差数列的概念与运算【背一背基础知识】1．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是.3．等差中项如果，那么A叫做a与b的等差中项．4．等差数列的前n项和(1)公式的推导：等差数列的前n项和公式是用倒序相加法求得的．(2)等差数列{an}的前n项和公式：【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义，an－an－1＝d(常数)(n≥2)，第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．(2)解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断．①通项法：若数列{an}的通项公式为n的一次函数，即an＝An＋B(A、B是常数)，则{an}是等差数列．②前n项和法：若数列{an}的前n项和Sn是Sn＝An2＋Bn的形式(A，B是常数)，则{an}为等差数列．(3)等差数列可以由首项a1和公差d确定，所有关于等差数列的计算和证明，都可围绕a1和d进行．(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．2.典型例题例1【2016高考新课标】已知等差数列前9项的和为27，，则（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】由已知，所以故选C.例2【2017浙江，6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4+S6>2S5”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【练一练趁热打铁】1.【2018届福建省宁德市高三上学期期末】已知等差数列的前和为，若，，则为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】等差数列的前和为，，，，解得，，故选A.2.【2018届安徽省池州市高三上学期期末】在等差数列中，，则的前项和（）A.B.C.D.【答案】D【解析】等差数列中，，化为基本量得到等差数列的性质【背一背基础知识】1.等差数列{an}的常用性质(1)通项推广：an＝am＋(n－m)d(d为数列{an}的公差)．(2)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.特别地：a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….(3)项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.(4)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…构成等差数列，公差为k2d.(5)Sn＝eq\f(a1＋an,2)n＝eq\f(a2＋an－1,2)n＝eq\f(a3＋an－2,2)n＝….2．等差数列的前n项和公式与函数的关系(1)等差数列前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d可化为：Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n.数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和公式Sn＝f(n)是n的常数项为零的二次函数，即.(2)在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，d≠0时，an是n的一次函数．当d>0时，{an}为递增数列，当d<0时，{an}为递减数列，当d＝0时，{an}为常数列．(2)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n.d≠0时，Sn是n的二次函数，且常数项为零．据此特点可判断{an}是否为等差数列．同时，可用配方法或图象法求Sn的最值问题．d＝0时，Sn为n的一次函数．(3)等差数列的单调性等差数列公差为d，若d>0，则数列递增．若d<0，则数列递减．若d＝0，则数列为常数列．(4)等差数列的简单性质已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．①若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq，特别：若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.②am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd.③数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列，公差为m2d.④S2n－1＝(2n－1)an.⑤若n为偶数，则S偶－S奇＝eq\f(n,2)d.若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．⑥数列{c·an}，{c＋an}，{pan＋qbn}也是等差数列，其中c、p、q均为常数，{bn}是等差数列．公差不为0的等差数列，求其前n项和的最值，一是把Sn转化成n的二次函数求最值；二是由an≥0或an≤0找到使等差数列的前n项和取得最小值或最大值的项数n，代入前n项和公式求最值．2.典型例题例1已知为等差数列，若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以＝，故选A．例2在等差数列中，若，则=.EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4【答案】．【练一练趁热打铁】1．已知等差数列满足，则其前10项之和为（）A.140B.280C.168D.56【答案】A【解析】∵数列为等差数列，∴，∴前10项之和为．选A．2.等差数列中，若，，则=______.【答案】.等比数列的概念与运算【背一背基础知识】1．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项.3．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(a1qn－1,q－1)＝eq\f(a1qn,q－1)－eq\f(a1,q－1).【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)对于等比数列的有关计算问题，可类比等差数列问题进行，在解方程组的过程中要注意“相除”消元的方法，同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．(2)在涉及等比数列前n项和公式时要注意对公式q是否等于1的判断和讨论．(3)等比数列的判定方法：①定义法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q为非零常数)或eq\f(an,an－1)＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．②中项公式法：若数列{an}中an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．③通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．④前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．需要说明的是：对于第一、二种方法适用于任何题型，强调推理过程，而第三、四种方法适合于选择、填空题，强调结论的应用，若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可．2.典型例题例1【2017江苏，9】等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=▲.【答案】32【解析】当时，显然不符合题意；当时，，解得，则.例2【2016高考新课标1卷】设等比数列QUOTEan满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为．【答案】【练一练趁热打铁】1.已知是等比数列,,则(

)A.16（1-4-n）B.16(1-2-n）C.（1-4-n）D.（1-2-n）【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，解得，∴，∴，∴数列是首项为8，公比为的等比数列．∴．选C．2.在明朝程大位《算术统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”.这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说“宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的倍，共有盏灯，问塔顶有几盏灯？”根据上述条件，从下往上数第四层有（）盏灯.A.B.C.D.【答案】D等比数列的性质【背一背基础知识】1.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：，(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，{eq\f(1,an)}，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，{eq\f(an,bn)}仍是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.即项数成等差数列则对应项成等比．2．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为.【讲一讲基本技能】1.必备技能：(1)等比数列的单调性．①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,q>1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,0<q<1)){an}为递增数列；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1>0,0<q<1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1<0,q>1)){an}为递减数列；③q＝1{an}为非零常数列；④q<0{an}为摆动数列．(2)等比数列其他性质．①若数列{an}是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{aeq\o\al(2,n)}，{eq\f(1,an)}也是等比数列，若{bn}是等比数列，则{an·bn}也是等比数列．②数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍成等比数列．③若等比数列{an}的项数为2n，则eq\f(S偶,S奇)＝q，其中S偶，S奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和．④eq\f(an,am)＝qn－m(m，n∈N*)2.典型例题例1.在正项等比数列中，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A例2.已知数列为等比数列,若则的值为 （）A．10 B．20 C．60 D．100【答案】D【解析】是等比数列，题中又出现了数列中的两项的积，故可应用其性质，，这样就有．【练一练趁热打铁】1.在各项都为正数的等比数列中，，前三项的和为，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】设等比数列的公比为，则，由于，，化简得，解得，，故选C.2.已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.【答案】（一）选择题（12*5=60分）1．若等差数列中，则（）A.B.C.D.或【答案】B【解析】，选B.2．等差数列中，，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，所以。故选A。3．已知是等差数列的第项，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由等差数列5,8,11,17，知，首项公差，所以通项公式为，令，选D.4．已知数列是等比数列，，，则公比等于（）A.-2B.C.2D.【答案】D【解析】，选D.5．在数列中，，，则的值为（）A.B.5C.D.【答案】B6．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（）A.9B.10C.11D.12【答案】B【解析】设第一天织布尺，从第二天起每天比第一天多织尺由已知得：解得，第十日所织尺数为故选.7．【2018届湖北省天门、仙桃、潜江高三上学期期末】等比数列的前n项和为，已知，则A.B.C.D.【答案】A【解析】设公比为q,则，选A.8．【2018届福建省漳州市高三上学期期末】等差数列和等比数列的首项均为，公差与公比均为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意：则，，故选.9．【2018届安徽省宿州市高三上学期第一次教学质量检测】在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（）A.11B.12C.13D.14【答案】A【解析】数列为等差数列，若，则可得，，，，则当时，的最大值为故选.10．在由正数组成的等比数列中，若，的为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】在等比数列{an}中，由，得则故选A.11．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子.”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是15；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是12.其中说法正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】由题可设这五人的橘子个数分别为：，其和为60，故a=6，由此可知②得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；③得到橘子第三多的人所得的橘