椭圆、双曲线抛物线典型例题整理

./椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1<0,－1>、F2<0,1>,P是椭圆上一点,并且PF1＋PF2＝2F1F2,求椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4,得2a＝4.又c＝1,所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是eq\f<y2,4>＋eq\f<x2,3>＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F1<－1,0>,F2<1,0>,且2a＝10,求解：由椭圆定义知c＝1,∴b＝eq\r<52－1>＝eq\r<24>.∴椭圆的标准方程为eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,24>＝1.二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程．解：〔1当为长轴端点时,,,椭圆的标准方程为：；〔2当为短轴端点时,,,椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。例．求过点<－3,2>且与椭圆eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c2＝9－4＝5,所以设所求椭圆的标准方程为eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,a2－5>＝1.由点<－3,2>在椭圆上知eq\f<9,a2>＋eq\f<4,a2－5>＝1,所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为eq\f<x2,15>＋eq\f<y2,10>＝1.四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程．解：由题意,设椭圆方程为,由,得,∴,,,∴,∴为所求．五、求椭圆的离心率问题。例1一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率．解：∴,∴．例2已知椭圆的离心率,求的值．解：当椭圆的焦点在轴上时,,,得．由,得．当椭圆的焦点在轴上时,,,得．由,得,即．∴满足条件的或．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC的两个顶点坐标A<－4,0>,B<4,0>,△ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A,B的距离之和为定值10,且大于两定点间的距离,因此顶点C的轨迹为椭圆,并且2a＝10,所以a＝5,2c＝8,所以c＝4,所以b2＝a2－c2＝9,故顶点C的轨迹方程为eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,9>＝1.又A、B、C三点构成三角形,所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,9>＝1<y≠0>答案：eq\f<x2,25>＋eq\f<y2,9>＝1<y≠0>2．已知椭圆的标准方程是eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,25>＝1<a>5>,它的两焦点分别是F1,F2,且F1F2＝8,弦AB过点F1,求△ABF2的周长．4a＝4eq\r<41>.3．设F1、F2是椭圆eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2＝2∶1,求△PF1F2的面积．△PF1F2的面积为eq\f<1,2>PF1·PF2＝eq\f<1,2>×2×4＝4.七、直线与椭圆的位置问题例已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程．解法一：设所求直线的斜率为,则直线方程为．代入椭圆方程,并整理得．由韦达定理得．∵是弦中点,∴．故得．所以所求直线方程为．解法二：设过的直线与椭圆交于、,则由题意得①－②得．⑤将③、④代入⑤得,即直线的斜率为．所求直线方程为．八、椭圆中的最值问题例椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标．解：由已知：,．所以,右准线．过作,垂足为,交椭圆于,故．显然的最小值为,即为所求点,因此,且在椭圆上．故．所以．双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征．解：〔1当时,,,所给方程表示椭圆,此时,,,这些椭圆有共同的焦点〔－4,0,〔4,0．〔2当时,,,所给方程表示双曲线,此时,,,,这些双曲线也有共同的焦点〔－4,0,〔4,0．〔3,,时,所给方程没有轨迹．二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例2根据下列条件,求双曲线的标准方程．〔1过点,且焦点在坐标轴上．〔2,经过点〔－5,2,焦点在轴上．〔3与双曲线有相同焦点,且经过点解：〔1设双曲线方程为∵、两点在双曲线上,∴解得∴所求双曲线方程为说明：采取以上"巧设"可以避免分两种情况讨论,得"巧求"的目的．〔2∵焦点在轴上,,∴设所求双曲线方程为：〔其中∵双曲线经过点〔－5,2,∴∴或〔舍去∴所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．〔3设所求双曲线方程为：∵双曲线过点,∴∴或〔舍∴所求双曲线方程为三、求与双曲线有关的角度问题。例3已知双曲线的右焦点分别为、,点在双曲线上的左支上且,求的大小．解：∵点在双曲线的左支上∴∴∴∵∴〔2题目的"点在双曲线的左支上"这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为"点在双曲线上"结论如何改变呢？请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4已知、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,求的面积．分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积．解：∵为双曲线上的一个点且、为焦点．∴,∵∴在中,∵∴∴∴五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．解：根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线．∵,∴∴所求方程为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线．例是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,求的值．解：在双曲线中,,,故．由是双曲线上一点,得．∴或．又,得．六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：〔1与⊙内切,且过点〔2与⊙和⊙都外切．〔3与⊙外切,且与⊙内切．解：设动圆的半径为〔1∵⊙与⊙内切,点在⊙外∴,,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且有：,,∴双曲线方程为〔2∵⊙与⊙、⊙都外切∴,,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支,且有：,,∴所求的双曲线的方程为：〔3∵⊙与⊙外切,且与⊙内切∴,,∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支,且有：,,∴所求双曲线方程为：抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．〔1〔2解：〔1,∴焦点坐标是〔0,1,准线方程是：〔2原抛物线方程为：,①当时,,抛物线开口向右,∴焦点坐标是,准线方程是：．②当时,,抛物线开口向左,∴焦点坐标是,准线方程是：．综合上述,当时,抛物线的焦点坐标为,准线方程是：．二、求直线与抛物线相结合的问题例2若直线与抛物线交于A、B两点,且AB中点的横坐标为2,求此直线方程．解法一：设、,则由：可得：．∵直线与抛物线相交,且,则．∵AB中点横坐标为：,解得：或〔舍去．故所求直线方程为：．解法二：设、,则有．两式作差解：,即．,故或〔舍去．则所求直线方程为：．三、求直线中的参数问题例3〔1设抛物线被直线截得的弦长为,求k值．〔2以〔1中的弦为底边,以x轴上的点P为顶点作三角形,当三角形的面积为9时,求P点坐标．解：〔1由得：设直线与抛物线交于与两点．则有：,即〔2,底边长为,∴三角形高∵点P在x轴上,∴设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h,即或,即所求P点坐标是〔－1,0或〔5,0．四、与抛物线有关的最值问题例4定长为3的线段的端点、在抛物线上移动,求的中点到轴的距离的最小值,并求出此时中点的坐标．解：如图,设是的焦点,、两点到准线的垂线分别是、,又到准线的垂线为,、和是垂足,则．设点的横坐标为,纵坐标为,,则．等式成立的条件是过点．当时,,故,,．所以,此时到轴的距离的最小值为．例已知点,为抛物线的焦点,点在该抛物线上移动,当取最小值时,点的坐标为__________．解：如图,由定义知,故．取等号时,、、三点共线,∴点纵坐标为2,代入方程,求出其横坐标为2,所以点坐标为．椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1<0,－1>、F2<0,1>,P是椭圆上一点,并且PF1＋PF2＝2F1F2,求椭圆的标准方程。二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程．三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。例．求过点<－3,2>且与椭圆eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程．五、求椭圆的离心率问题。例一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC的两个顶点坐标A<－4,0>,B<4,0>,△ABC的周长为18,求顶点C的轨迹方程。2．已知椭圆的标准方程是eq\f<x2,a2>＋eq\f<y2,25>＝1<a>5>,它的两焦点分别是F1,F2,且F1F2＝8,弦AB过点F1,求△ABF2的周长．3．设F1、F2是椭圆eq\f<x2,9>＋eq\f<y2,4>＝1的两个焦点,P是椭圆上的点,且PF1∶PF2＝2∶1,求△PF1F2的面积．七、直线与椭圆的位置问题例已知椭圆,求过点且被平分的弦所在的直线方程．八、椭圆中的最值问题例椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当为最小值时,求点的坐标．双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征．二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例2根据下列条件,求双曲线的标准方程．〔1过点,且焦点在坐标轴上．〔2,经过点〔－5,2,焦点在轴上．〔3与双曲线有相同焦点,且经过点三、求与双曲线有关的角度问题。例3已知双曲线的右焦点分别为、,点在双曲线上的左支上且,求的大小．题目的"点在双曲线的左支上"这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为"点在双曲线上"结论如何改变呢？四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4已知、是双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,求的面积．五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．例是双曲线上一点,、是双曲线的两个焦点,且,求的值．六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：〔1与⊙内切,且过点〔2与⊙和⊙都外切．〔3与⊙外切,且与⊙内切．抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．〔1〔2分析：〔1先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出p,再写出焦点坐标和准线方程．〔2先把方程化为标准方程形式,再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方