矢量分析及场论基础

矢量分析及场论基础第1页，共37页，2023年，2月20日，星期日VectoranalysisIntroductionVectoranalysisisthelanguageusedinthestudyofelectromagneticfields.Withouttheuseofvectors,thefieldequationswillbeunwieldytowriteandoneroustoremember.Asingleequationinvectorformissufficienttorepresentuptothreescalarequations.Webeginourdiscussionbydefiningscalarandvectorquantities.第2页，共37页，2023年，2月20日，星期日§0-1标量(Scalar)和矢量(Vector)Mostofthequantitiesencounteredinelectromagneticfieldscaneasilybedividedintotwoclasses,scalarsandvectors.标量：Aphysicalquantitycanbecompletelydescribedbyitsmagnitudeiscalledascalar.Forexample,mass(质量)、time、temperature、work(功)、electriccharge(电荷)Eachofthesequantitiesiscompletelydescribablebyasinglenumber.Infact,allrealnumbersarescalars.第3页，共37页，2023年，2月20日，星期日矢量：Aphysicalquantityhavingamagnitudeaswellasadirectioniscalledavector.Forexample,force、velocity(速度)、torque(力矩)、acceleration(加速度)、electricfield、magneticfield.

Themagnitudeofavectorisdepictedbyalinesegment,andthedirectionisindicatedbymeansofanarrow.第4页，共37页，2023年，2月20日，星期日Vectoroperations矢量运算Vectoraddition加法Vectorsubtraction减法Multiplicationofavectorbyascalar矢量乘以标量Productoftwovectors两矢量的乘积

Dotproduct点积

Crossproduct叉积第5页，共37页，2023年，2月20日，星期日§0-2Theorthogonalcoordinatesystems

正交坐标系Uptothispointwehavekeptourdiscussionquitegeneralandusedgraphicalrepresentationswhenmanipulatingvectors.Fromamathematicalpointofviewitisveryconvenienttoworkwithvectorswhentheyareresolvedintocomponentsalongthreemutuallyorthogonaldirections.第6页，共37页，2023年，2月20日，星期日Wewillmainlyusethreeorthogonalcoordinatesystems:

Weshallnowdigresstodiscusseachofthesecoordinatesystemsandthenresumeourdiscussionofvectors.坐标系是相对于参考原点确定空间任一点位置的唯一方法，它可以由三个互相垂直的曲面的交点来确定。于是，在该点上这些曲面的法线便可规定为坐标轴。在分析电磁场问题时，往往需要根据具体问题的几何条件选择一种相适应的坐标系。rectangularcylindricalsphericalcoordinatesystem第7页，共37页，2023年，2月20日，星期日TheCartesiancoordinatesystem1.Rectangularcoordinatesystem直角坐标系三个互相垂直平面的交线规定为直角坐标轴(x,y,z)第8页，共37页，2023年，2月20日，星期日在电磁场中，大部分问题必须通过沿曲线、曲面或区域的积分求解，因此应对相应的微分元有充分的了解。Differentialelementsofsurfaceandvolume微分体积元和面积元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第9页，共37页，2023年，2月20日，星期日第10页，共37页，2023年，2月20日，星期日OthercoordinatesystemsTheCartesiancoordinatesystemisgenerallytheoneinwhichstudentsprefertoworkeveryproblem.Thisoftenmeansalotmoreworkforthestudent,becausemanyproblemspossessatypeofsymmetrywhichpleadsforamorelogicaltreatment.第11页，共37页，2023年，2月20日，星期日Itiseasiertodonow,onceandforall,theworkrequiredtobecomefamiliarwithcylindricalandsphericalcoordinates,insteadofapplyinganequalorgreaterefforttoeveryprobleminvolvingcylindricalorsphericalsymmetrylater.Withthisfuturesavingoflaborinmind,weshalltakeacarefulandunhurriedlookatcylindricalandsphericalcoordinates.一个问题无论是柱对称还是球对称，都可以在我们所熟知的直角坐标系中表示和求解，但这将显示不出对称性，而且在多数情况下会带来不必要的麻烦，因此还要用到圆柱坐标系和球坐标系。第12页，共37页，2023年，2月20日，星期日由z、Φ为常数的平面与半径ρ为常数的圆柱面的交线规定的坐标(ρ,Φ,z)2.Cylindricalcoordinatesystem圆柱坐标系第13页，共37页，2023年，2月20日，星期日微分体积元和面积元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第14页，共37页，2023年，2月20日，星期日CylindricalCoordinates第15页，共37页，2023年，2月20日，星期日ThreeSurfacesoftheCylindricalCoordinatecylinder：constant第16页，共37页，2023年，2月20日，星期日Semi-infiniteplane第17页，共37页，2023年，2月20日，星期日constantInfiniteplane第18页，共37页，2023年，2月20日，星期日柱面坐标的坐标面第19页，共37页，2023年，2月20日，星期日第20页，共37页，2023年，2月20日，星期日3.Sphericalcoordinatesystem球坐标系第21页，共37页，2023年，2月20日，星期日微分面元与微分体积元ThegeneraldifferentiallengthelementfromPtoQis:第22页，共37页，2023年，2月20日，星期日Sphericalcoordinates第23页，共37页，2023年，2月20日，星期日ThreeSurfacesoftheSphericalCoordinateconstantSphericalsurface：const第24页，共37页，2023年，2月20日，星期日Semi-infinite第25页，共37页，2023年，2月20日，星期日Conicalsurface：第26页，共37页，2023年，2月20日，星期日球面坐标的坐标面第27页，共37页，2023年，2月20日，星期日第28页，共37页，2023年，2月20日，星期日§0-3Scalarandvectorfields标量场与矢量场场：Afieldisafunctionthatdescribesaphysicalquantityatallpointsinspace.在自然界中，许多问题是定义在确定空间区域上的，在该区域上每一点都有确定的量与之对应，我们称在该区域上定义了一个场。如果这个量是标量我们称该场为标量场(Scalarfield)；如果这个量是矢量，则称该场为矢量场(Vectorfield)。Ifafielddoesnotvarywithtimewerefertoitasastaticfield.如果场与时间无关，称为静态场(staticfield)，反之为时变场(time-varyingfield)。从数学上看，场是定义在空间区域上的函数。第29页，共37页，2023年，2月20日，星期日定义了场量的空间点称为场点。在直角坐标系中，场点M可以由它的三个坐标x,y,z确定。因此，一个标量场和一个矢量场可分别用标量函数和矢量函数表示第30页，共37页，2023年，2月20日，星期日源点和场点

sourcepointandfieldpoint一般说来，场是由场源产生的。场源所在的空间位置称为源点。空间位置上除了定义场量外，也可以定义场源。这样，可以把空间的点表示为场点和源点。Wewillgenerallyuseprimedlettersforthecoordinatesofthesourcepointandunprimedlettersforpointsatwhichthedesiredquantityistobedeterminedinordertoavoidconfusion.为避免混淆，用撇号表示源点，不加撇则表示场点。第31页，共37页，2023年，2月20日，星期日源点P´用坐标(x´,y´,z´)表示，也可以用位置矢量表示；场点P用坐标(x,y,z)表示，也可用位置矢量表示。由源点到场点的距离矢量用表示第32页，共37页，2023年，2月20日，星期日几个有用的场矢量1.位移矢量thepositionvector2.单位矢量theunitvector3.线元矢量thelinevector4.面元矢量thesurfacevector第33页，共37页，2023年，2月20日，星期日1.利用微分体积元求半径为a的球的体积。2.已知：试分别用叉乘和点乘求矢量间的夹角。课堂练习：第34页，共37页，2023年，2月20日，星期日课外作业：1.利用圆柱坐标，求半径为a、高为h的直圆柱的侧面面积及直圆柱的体积。2.Giventhreevectors：Find：1)2)Theunitvectors:3)