2012年广东省茂名市中考数学试卷

2012年广东省茂名市中考数学试卷一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）1．（3分）a的倒数是3，则a的值是（）A． B．﹣ C．3 D．﹣32．（3分）位于环水东湾新城区的茂名市第一中学新校区占地面积约为536.5亩．将536.5用科学记数法可表示为（）A．0.5365×103 B．5.365×102 C．53.65×10 D．536.53．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则DE＝（）A．3 B．4 C．5 D．64．（3分）方程组的解为（）A． B． C． D．5．（3分）一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体的“建”字所在的面的对面所标的字是（）A．设 B．福 C．茂 D．名6．（3分）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个三角形，则n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．97．（3分）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（）A．对一批圆珠笔使用寿命的调查 B．对全国九年级学生身高现状的调查 C．对某品牌烟花爆竹燃放安全的调查 D．对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查8．（3分）某中学初三（1）班的一次数学测试的平均成绩为80分，男生平均成绩为82分，女生平均成绩为77分，则该班男、女生的人数之比为（）A．1：2 B．2：1 C．3：2 D．2：39．（3分）如果x＜0，y＞0，x+y＜0，那么下列关系式中正确的是（）A．x＞y＞﹣y＞﹣x B．﹣x＞y＞﹣y＞x C．y＞﹣x＞﹣y＞x D．﹣x＞y＞x＞﹣y10．（3分）如图，四边形ABCD四边的中点分别为E，F，G，H，对角线AC与BD相交于点O，若四边形EFGH的面积是3，则四边形ABCD的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）．11．（3分）分解因式：x2y﹣y＝．12．（3分）如图所示，建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形结构，这是应用了三角形的哪个性质？答：．（填“稳定性”或“不稳定性”）13．（3分）若分式的值为0，则a的值是．14．（3分）如图，在3×3的方格中（共有9个小格），每个小方格都是边长为1的正方形，O、B、C是格点，则扇形OBC的面积等于（结果保留π）15．（3分）如图，⊙O与直线l1相离，圆心O到直线l1的距离OB＝2，OA＝4，将直线l1绕点A逆时针旋转30°后得到的直线l2刚好与⊙O相切于点C，则OC＝．三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分）16．（7分）先化简，后求值：a（a+1）﹣（a+1）（a﹣1），其中a＝3．17．（7分）求不等式组的整数解．18．（7分）如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0），B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明）四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）19．（7分）某校计划组织学生到市影剧院观看大型感恩歌舞剧，为了解学生如何去影剧院的问题，学校随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果制成了表格、条形统计图和扇形统计图（均不完整）．（1）此次共调查了多少位学生？（2）将表格填充完整；步行骑自行车坐公共汽车其他50（3）将条形统计图补充完整．20．（7分）在4张完全相同的卡片正面分别写上数字1，2，3，3，现将它们的背面朝上洗均匀．（1）随机抽出一张卡片，求抽到数字“3”的概率；（2）若随机抽出一张卡片记下数字后放回并洗均匀，再随机抽出一张卡片，求两次都是抽到数字“3”的概率；（要求画树状图或列表求解）（3）如果再增加若干张写有数字“3”的同样卡片，洗均匀后，使得随机抽出一张卡片是数字“3”的概率为，问增加了多少张卡片？五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．（8分）如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF＝BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：（1）△ABF≌△DEA；（2）DF是∠EDC的平分线．22．（8分）每年六七月份我市荔枝大量上市，今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售，运输过程中质量损耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用．（1）水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本？（2）在销售过程中，水果商发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系：m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？23．（8分）如图，以AB为直径的⊙O是△ADC的外接圆，过点O作PO⊥AB，交AC于点E，PC的延长线交AB的延长线于点F，∠PEC＝∠PCE．（1）求证：FC为⊙O的切线；（2）若△ADC是边长为a的等边三角形，求AB的长．（用含a的代数式表示）六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）24．（8分）阅读下面材料，然后解答问题：在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）为端点的线段的中点坐标为（，）．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＜0）和y＝（x＞0）的图象关于y轴对称，直线y＝+与两个图象分别交于A（a，1），B（1，b）两点，点C为线段AB的中点，连接OC、OB．（1）求a、b、k的值及点C的坐标；（2）若在坐标平面上有一点D，使得以O、C、B、D为顶点的四边形是平行四边形，请求出点D的坐标．25．（8分）如图所示，抛物线y＝ax2++c经过原点O和A（4，2），与x轴交于点C，点M、N同时从原点O出发，点M以2个单位/秒的速度沿y轴正方向运动，点N以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）在点M、N运动过程中，①若线段MN与OA交于点G，试判断MN与OA的位置关系，并说明理由；②若线段MN与抛物线相交于点P，探索：是否存在某一时刻t，使得以O、P、A、C为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

2012年广东省茂名市中考数学试卷参考答案与试题解析一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）1．【分析】根据倒数的定义进行解答即可．【解答】解：∵a的倒数是3，∴3a＝1，解得a＝．故选：A．【点评】本题考查的是倒数的定义，即乘积为1的两个数叫互为倒数．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将536.5用科学记数法表示为：5.365×102．故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】直接根据垂径定理进行解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD于点E，CD＝6，∴DE＝AB＝×6＝3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．4．【分析】先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．【解答】解：，①+②得2x＝6，解得x＝3；把x＝3代入①得3﹣y＝1，解得y＝2．故此方程组的解为：．故选：D．【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．5．【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“设”与“福”是相对面，“幸”与“茂”是相对面，“建”与“名”是相对面．故选：D．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．6．【分析】根据从一个n边形的某个顶点出发，可以引（n﹣3）条对角线，把n边形分为（n﹣2）的三角形作答．【解答】解：设多边形有n条边，则n﹣2＝6，解得n＝8．故选：C．【点评】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从n边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n﹣2）的规律．7．【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【解答】解：A、对一批圆珠笔使用寿命的调查，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；B、对全国九年级学生身高现状的调查，人数太多，不便于测量，应当采用抽样调查，故本选项错误；C、对某品牌烟花爆竹燃放安全的调查，由于具有破坏性，应当使用抽样调查，故本选项错误；D、对一枚用于发射卫星的运载火箭各零部件的检查，只有做到全面调查才能做到准确无误，故必须全面调查，故此选项正确．故选：D．【点评】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．8．【分析】设男、女生的人数分别为x、y，根据加权平均数的概念列式整理即可得解．【解答】解：设男、女生的人数分别为x、y，82x+77y＝80（x+y），整理得，2x＝3y，所以，x：y＝3：2．故选：C．【点评】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．9．【分析】由于x＜0，y＞0，x+y＜0，则|x|＞y，于是有y＜﹣x，x＜﹣y，易得x，y，﹣x，﹣y的大小关系．【解答】解：∵x＜0，y＞0，x+y＜0，∴|x|＞y，∴y＜﹣x，x＜﹣y，∴x，y，﹣x，﹣y的大小关系为：x＜﹣y＜y＜﹣x．故选：B．【点评】本题考查了有理数的大小比较：正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．10．【分析】由相似三角形△AEH∽△ABD的面积比等于相似比的平方可以求得△AEH与△ABD的面积之比，则可得S▱EFGH＝S四边形ABCD．【解答】解：在△ABD中，∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EH＝BD（三角形中位线定理），且△AEH∽△ABD．∴＝＝，即S△AEH＝S△ABD∴S△AEH+S△CFG＝（S△ABD+S△CBD）＝S四边形ABCD．同理可得S△BEF+S△DHG＝（S△ABC+S△CDA）＝S四边形ABCD，∴S四边形EFGH＝S四边形ABCD，∴S四边形ABCD＝2S四边形EFGH＝6；故选：B．【点评】本题考查了三角形的中位线的性质及相似三角形的性质．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．二、细心填一填（本大题共5小题，每小题3分，共15分．请你把答案填在横线的上方）．11．【分析】观察原式x2y﹣y，找到公因式y后，提出公因式后发现x2﹣1符合平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：x2y﹣y，＝y（x2﹣1），＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性．故答案为：稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．13．【分析】根据分式的值为0的条件列出关于a的不等式组，求出a的值即可．【解答】解：∵分式的值为0，∴，解得a＝3．故答案为：3．【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，即分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．14．【分析】根据勾股定理求得OB长，再根据S扇形＝进行计算即可．【解答】解：BO＝＝，S扇形＝＝，故答案为：．【点评】此题主要扇形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式．15．【分析】在直角△ABO中，利用正弦三角函数的定义求得∠OAB＝60°，然后由旋转的角度、图中角与角间的和差关系知∠OAC＝30°；最后由切线的性质推知△AOC是直角三角形，在直角三角形中由“30°角所对的直角边是斜边的一半”即可求得OC＝2．【解答】解：∵OB⊥AB，OB＝2，OA＝4，∴在直角△ABO中，sin∠OAB＝＝，则∠OAB＝60°；又∵∠CAB＝30°，∴∠OAC＝∠OAB﹣∠CAB＝30°；∵直线l2刚好与⊙O相切于点C，∴∠ACO＝90°，∴在直角△AOC中，OC＝OA＝2（30°角所对的直角边是斜边的一半）．故答案是：2．【点评】本题考查了解直角三角形、旋转的性质、切线的性质等知识点．切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．三、用心做一做（本大题共3小题，每小题7分，共21分）16．【分析】先根据单项式乘以多项式的法则和运用平方差公式去掉括号，再合并同类项，最后将a的值代入化简后的式子就可以求出原式的值．【解答】解：原式＝a2+a﹣（a2﹣1）＝a2+a﹣a2+1＝a+1当a＝3时，原式＝3+1＝4．【点评】本题考查了单项式乘以多项式的运用和平方差公式的运用，在解答中注意每步化简时符号的确定．17．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解即可．【解答】解：由①解得：x＞﹣1，由②变形得3x≤5，解得x≤，故原不等式组的解集为﹣1＜x≤，则原不等式组的整数解为0，1．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．18．【分析】（1）根据网格结构找出点C、D的位置，然后连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C、D的坐标；（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定．【解答】解：（1）如图所示，CD即为所求作的线段，D（0，﹣4），C（3，0）；（2）∵AC、BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了利用平移变换作图，菱形的判定，熟练掌握网格结构，准确找出点C、D的位置是解题的关键．四、沉着冷静，缜密思考（本大题共2小题，每小题7分，共14分）19．【分析】（1）由条形统计图可以得出步行的人数为50人，占所抽查的人数的10%，就可以求出调查的总人数．（2）用总人数乘以骑自行车的百分比就求出骑自行车的人数，总人数乘以坐公共汽车的百分比就求出坐公共汽车的人数．总人数﹣步行人数﹣骑自行车人数﹣坐公共汽车人数＝其他人数．（3）由（2）骑自行车的人数就可以补全条形统计图．【解答】解：（1）50÷10%＝500（位）答：此次共调查了500位学生．（2）填表如下：骑自行车：500×30%＝150人，坐公共汽车：500×45%＝225人，其他：500﹣50﹣150﹣225＝75人．故答案为：150，225，75．（3）如图【点评】本题考查了条形统计图，统计表，扇形统计图的运用，解答本题的关键是求出调查的总人数．20．【分析】（1）由有4张完全相同的卡片正面分别写上数字1，2，3，3，抽到数字“3”的有2种情况，利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都是抽到数字“3”的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；（3）首先设增加了x张卡片，即可得方程：＝，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵有4张完全相同的卡片正面分别写上数字1，2，3，3，抽到数字“3”的有2种情况，∴随机抽出一张卡片，抽到数字“3”的概率为：＝；（2）列表得：第二张第一张12331（1，1）（1，2）（1，3）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，3）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，3）∵共有16种等可能的结果，两次都是抽到数字“3”的有4种情况，∴P（两次都是抽到数字“3”）＝＝；（3）设增加了x张卡片，则有：＝，解得：x＝4，∴增加了4张卡片．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．五、满怀信心，再接再厉（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．【分析】（1）根据矩形性质得出∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，推出∠DAE＝∠AFB，求出AF＝AD，根据AAS证出即可；（2）有全等推出DE＝AB＝DC，根据HL证△DEF≌△DCF，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AFB，∵DE⊥AF，∴∠DEA＝∠B＝90°，∵AF＝BC，∴AF＝AD，在△DEA和△ABF中∵，∴△DEA≌△ABF（AAS）；（2）证明：∵由（1）知△ABF≌△DEA，∴DE＝AB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，DC＝AB，∴DC＝DE．∵∠C＝∠DEF＝90°∴在Rt△DEF和Rt△DCF中∴Rt△DEF≌Rt△DCF（HL）∴∠EDF＝∠CDF，∴DF是∠EDC的平分线．【点评】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定，平行线性质等知识点，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，22．【分析】（1）设购进荔枝k千克，荔枝售价定为y元/千克时，水果商要不亏本，由题意建立不等式求出其值就可以了．（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，再根据售价﹣进价＝利润就可以表示出W，然后化为顶点式就可以求出最值．【解答】解：（1）设购进荔枝k千克，荔枝售价定为y元/千克时，水果商才不会亏本，由题意得y•k（1﹣5%）≥（5+0.7）k，∵k＞0，∴95%y≥5.7∴y≥6所以，水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本．（2）由（1）可知，每千克荔枝的平均成本为6元，由题意得W＝（x﹣6）m＝（x﹣6）（﹣10x+120）＝﹣10（x﹣9）2+90，∵a＝﹣10＜0∴W有最大值∴当x＝9时，W有最大值．所以，当销售单价定为9元/千克时，每天可获利润w最大．【点评】本题考查了不等式的运用，二次函数的顶点式在解决实际问题中求最值的运用．在解答中求出荔枝的平均进价是关键．23．【分析】（1）连接OC．欲证FC为⊙O的切线，只需证明OC⊥FC即可；（2）连接BC．由等边三角形的性质、“同弧所对的圆周角相等”推知∠ABC＝∠ADC＝60°；然后在直角△ABC中利用正弦三角函数的定义来求AB线段的长度．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC（⊙O的半径），∴∠EAO＝∠ECO（等边对等角）．∵PO⊥AB，∴∠EAO+∠AEO＝90°（直角三角形中的两个锐角互余）．∵∠PEC＝∠PCE（已知），∠PEC＝∠AEO（对顶角相等）∴∠AEO＝∠PCE（等量代换），∴∠PCO＝∠ECO+∠PCE＝∠EAO+∠AEO＝90°．即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC为⊙O的切线．（2）解：连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵△ADC是边长为a的等边三角形，∴∠ABC＝∠D＝60°，AC＝a．在Rt△ACB中，∵sin∠ABC＝∴AB＝＝a．【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质以及解直角三角形等知识点．解直角三角形要用到的关系：①锐角直角的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sinA＝∠A的对边斜边＝ac，cosA＝∠A的邻边斜边＝bc，tanA＝∠A的对边∠A的邻边＝ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）六、灵动智慧，超越自我（本大题共2小题，每小题8分，共16分）24．【分析】（1）首先把A（a，1），B（1，b）代入y＝和y＝+可以得到方程组，解方程组即可算出a、b的值，继而得到A、B两点的坐标，再把B点坐标代入双曲线y＝（x＞0）上，即可算出k值，再根据中点坐标公式算出C点坐标；（2）此题分三个情况：①四边形OCDB是平行四边形，②四边形OCBD是平行四边形，③四边形BODC是平行四边形．根据点的平移规律可得到D点坐标．【解答】解：（1）依题意得，解得，∴A（﹣3，1），B（1，3），∵点B在双曲线y＝（x＞0）上，∴k＝1×3＝3，∵点C为线段AB的中点，∴点C坐标