等差数列典型例题

【1

高数等数典例在以内有多少个能被整除的自然数？解∵100以能被7整的自然数构成一个等差数列，其中a=7，＝7，a＝98代入a＝a＋－中有＝＋·解得＝14答100以有个能被除的自然数．【2在与7之间顺次插入三个数ab，使这五个数成等差数列，求此数列．解设五个数组成的等差数列为{}由已知：＝－1a＝∴7－＋－解d所求数列为：－1，，3，7．【例】在差数列－，，，，的邻项间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．13解原数的公d=(－＝，所以数列公差d′=21d=，期项为243(nn3即an

323n4【4

在，内能被除且被4除1的数共有多少个？解设a=3n，＝4m－，n∈令a=b，n－3n

为使为整，令m＝3k，得＝－∈N){}}相的项构成的数{}通c＝12n－3(n∈N)则在[1000，2000]{}项·－3，85－3…，166·12

2nk2nk∴n166－841=83∴有个数．【5三个数成等差数列，其和为，其平方和83，求此三个数．解设个数分别为x－dx，＋．－＋x＋＋则－d)＋2＋d)=解得x＝，＝±∴所三个数为、5、或7、5说注学习本题对三个成等差数列的数的设法．【6已知ac成差数列求证＋cc＋＋b也等差数列．证∵、、c成差数列∴＋∴＋＋＋b)a＋＝＋＋c)＋＝＋∴b、＋a＋b成差数列．说如a、、c成等差数列，常化成＝＋的式去运用；反之，如果求证c成等差数列，常改证＋．例的意图即在让读者体会这一点．1【例】若、、成差列，且≠，证：a、、不bc可能是等差数列．分直证明a、不能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．证假、、c是等差数列，则2b=ac11又∵、、成等数列，b∴

211，即2acb(a＋．ba∴＝＋，b＝ac．又∵a、b、不，∴a、b、c为等比数列，又∴a、b、为差数列，∴a、b、c为常数列，与≠b矛盾，∴假是错误的．∴a、b、c不可能成等差列．【8解答下列各题：(1)已知等差数列{}a≠0公差≠0求证：①对任意k∈N，关x的方程ax＋2axa＝有公共根；

kk+2kk+2kkkkkkkk+2kk+2kkkkkk1②若方程的另一根为x求证数列{}差数列；k1xk在△，已知三边、、成等差数列，求证

A2

、cot

cot也成等差数列．2分析与解答(1)ax＋2a＋＝0∵}等差数列，2a＝＋∴x＋＋)xa＝∴(ax＋1)=0a≠∴x＝－或x＝－kkak1aaak1kkkk∵}等差数列，为等于零的常数∴方有一公根－，数{}等数列xk(2)由条件得2b=a∴＝2RsinA，＝＋sinCBBAA∴cos2sin∵＋BC＝π22A+CB∴=BA∴2分析至此，变形目标需明确，即要证BA=cot＋cot2由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有

ACB22332ACB22332ACAcos22cot2AAsinsinsin222

Asin21AA(coscos)222

(将条件代入

B2cos2cotBBsin22∴

AB、、cot成等差列．2【9

若正数，，，a成等差数列，求证：aaa2

a

aa

分析

1aan

n

annan

an

n证设数列的公差为d，则a－－＝…a－=d∴－a=－∴－d=

1左式=

a11

2

a22

3

ann

a

aann

naa

右式∴原式成立．【】

设x≠y，且两数列x，，a，，和