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文档简介
【1
高数等数典例在以内有多少个能被整除的自然数?解∵100以能被7整的自然数构成一个等差数列,其中a=7,=7,a=98代入a=a+-中有=+·解得=14答100以有个能被除的自然数.【2在与7之间顺次插入三个数ab,使这五个数成等差数列,求此数列.解设五个数组成的等差数列为{}由已知:=-1a=∴7-+-解d所求数列为:-1,,3,7.【例】在差数列-,,,,的邻项间插入一个数,使之组成一个新的等差数列,求新数列的通项.13解原数的公d=(-=,所以数列公差d′=21d=,期项为243(nn3即an
323n4【4
在,内能被除且被4除1的数共有多少个?解设a=3n,=4m-,n∈令a=b,n-3n
为使为整,令m=3k,得=-∈N){}}相的项构成的数{}通c=12n-3(n∈N)则在[1000,2000]{}项·-3,85-3…,166·12
2nk2nk∴n166-841=83∴有个数.【5三个数成等差数列,其和为,其平方和83,求此三个数.解设个数分别为x-dx,+.-+x++则-d)+2+d)=解得x=,=±∴所三个数为、5、或7、5说注学习本题对三个成等差数列的数的设法.【6已知ac成差数列求证+cc++b也等差数列.证∵、、c成差数列∴+∴+++b)a+=++c)+=+∴b、+a+b成差数列.说如a、、c成等差数列,常化成=+的式去运用;反之,如果求证c成等差数列,常改证+.例的意图即在让读者体会这一点.1【例】若、、成差列,且≠,证:a、、不bc可能是等差数列.分直证明a、不能是等差数列,有关等差数列的知识较难运用,这时往往用反证法.证假、、c是等差数列,则2b=ac11又∵、、成等数列,b∴
211,即2acb(a+.ba∴=+,b=ac.又∵a、b、不,∴a、b、c为等比数列,又∴a、b、为差数列,∴a、b、c为常数列,与≠b矛盾,∴假是错误的.∴a、b、c不可能成等差列.【8解答下列各题:(1)已知等差数列{}a≠0公差≠0求证:①对任意k∈N,关x的方程ax+2axa=有公共根;
kk+2kk+2kkkkkkkk+2kk+2kkkkkk1②若方程的另一根为x求证数列{}差数列;k1xk在△,已知三边、、成等差数列,求证
A2
、cot
cot也成等差数列.2分析与解答(1)ax+2a+=0∵}等差数列,2a=+∴x++)xa=∴(ax+1)=0a≠∴x=-或x=-kkak1aaak1kkkk∵}等差数列,为等于零的常数∴方有一公根-,数{}等数列xk(2)由条件得2b=a∴=2RsinA,=+sinCBBAA∴cos2sin∵+BC=π22A+CB∴=BA∴2分析至此,变形目标需明确,即要证BA=cot+cot2由于目标是半角的余切形式,一般把切向弦转化,故有
ACB22332ACB22332ACAcos22cot2AAsinsinsin222
Asin21AA(coscos)222
(将条件代入
B2cos2cotBBsin22∴
AB、、cot成等差列.2【9
若正数,,,a成等差数列,求证:aaa2
a
aa
分析
1aan
n
annan
an
n证设数列的公差为d,则a--=…a-=d∴-a=-∴-d=
1左式=
a11
2
a22
3
ann
a
aann
naa
右式∴原式成立.【】
设x≠y,且两数列x,,a,,和
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