曲线曲面的阴影

第11章曲线、曲面立体的阴影曲线和圆的落影曲面立体的阴影曲面建筑形体阴影的绘制现在是1页\一共有75页\编辑于星期六曲线和圆的落影平面曲线的落影

作出曲线上一系列点的影，依次光滑相连，即可得到平面曲线的影

曲线平面平行于承影面，其落影反映实形

曲线平面与承影面不平行，则可在曲线上取一些点，求出这些点的落影后依次光滑连接各点即可现在是2页\一共有75页\编辑于星期六

［例1］求立柱及电缆线在地面上的落影

作图步骤：一、求两立柱AB、CD的落影落在地面上为45°线二、求电缆线的落影在曲线上取若干点，求出各点的落影后，将所求点光滑连接成线现在是3页\一共有75页\编辑于星期六圆的落影（一）

平行于承影面的圆，其在承影面上的落影与该圆平行且反映实形求出圆心的落影后作圆现在是4页\一共有75页\编辑于星期六圆的落影（二）

与承影面不平行的圆，其落影为椭圆该椭圆可用八点法作出，即求出圆外切正方形的四个切点和两条对角线和圆的四个交点的落影，然后顺序连接各点画出落影椭圆现在是5页\一共有75页\编辑于星期六八点法画椭圆的步骤（一）一、作圆的外切正方形ⅠⅡⅢⅣ并画出对角线；得到四个切点A、B、C、D二、求出圆心及外切正方形的落影，得到四个切点的落影其中a0’b0’两点的连线为水平方向并等于圆的直径，c0’d0’两点的连线为45°方向现在是6页\一共有75页\编辑于星期六八点法画椭圆的步骤（二）三、作出正方形对角线的落影，其中一条对角线因平行光线，落影为垂直方向并等于圆的直径四、以o0′为圆心、以圆的半径为半径画圆，交c0′d0′于5′、6′两点五、过5′、6′分别作平行a0′b0′的线与平行四边形的两条对角线交于四个点六、将所求八点连线即得落影椭圆现在是7页\一共有75页\编辑于星期六已知圆心到V面的距离L，可用如下方法作椭圆：八点法画椭圆的单面作图法注：过圆心落影所作的两条互相垂直且等于直径的线段，其中一条与圆的积聚性投影平行；菱形的四边，其中两边平行圆的积聚性投影，另两边平行光线在该投影面投影的方向现在是8页\一共有75页\编辑于星期六［例2］已知侧平圆的圆心到W面的距离L，用单面作图法作其在V面的落影

现在是9页\一共有75页\编辑于星期六［例3］求如图所示的正平圆在两个投影面上的落影（一）一.作出圆落在V面上的落影圆圆与轴线相交于两折影点A0、B0；圆在V面落影为X轴上方部分的圆弧二.作出圆落在H面的落影椭圆1.求圆心落在H面的假影（OO）

作图步骤现在是10页\一共有75页\编辑于星期六［例3］求如图所示的正平圆在两个投影面上的落影（二）2.作出圆外切正方形的落影，求圆上特殊点的落影因落在H面部分小于半圆，故图中只画了菱形的一半3.将所求得的五个点及两个转折点用光滑的曲线连接，得到半个落影椭圆，X轴线下方部分为圆在H面的落影正平圆在V、H两面的落影的影线相交于折影点A0、B0现在是11页\一共有75页\编辑于星期六曲面立体的阴影求曲面立体的阴影，要分别求出曲面上的阴面和阴线以及阴线在承影面上的落影。常用回转体的阴影本节主要介绍圆柱、圆锥、圆球的阴影

现在是12页\一共有75页\编辑于星期六圆柱阳面阴面阳面阴线(半圆)阴线(半圆)阴线(素线）阴线(素线）圆柱面的阴线为光平面和圆柱面相切的两条素线现在是13页\一共有75页\编辑于星期六［例4］求圆柱的落影一.求圆柱的阴线由水平投影可得光平面与圆柱相切的两条切线位置二.求圆柱的落影作出上、下底圆的影子，作两影子的公切线，该例中圆柱的影全部落在H面上注：如图所示，圆柱两条阴线位置的确定可作辅助半圆，利用45°线作出现在是14页\一共有75页\编辑于星期六［例5］求圆柱的落影该例中圆柱的影落在两个投影面上，其作图的关键是求顶圆在V面的落影，可参看圆的落影的求法由于顶圆的一半是阴线，故所求影线是半个椭圆铅垂的两条阴线落在H面上为和底圆相切的45°线，落在V面上为和落影椭圆相切的两条铅垂方向线现在是15页\一共有75页\编辑于星期六圆锥圆锥面的阴线为光平面和圆锥面相切的两条素线阴线(素线）阴线(素线）阴面阳面阴线(圆弧)现在是16页\一共有75页\编辑于星期六锥面阴线的求法1.求出锥顶在承影面上的落影2.求出底圆在承影面上的落影3.过锥顶的落影向底圆的落影作两条切线，切点和锥顶的连线即为阴线的落影4.利用返回光线的方法，在圆锥的投影上确定两条阴线的位置现在是17页\一共有75页\编辑于星期六锥面阴线的求法正立圆锥倒立圆锥现在是18页\一共有75页\编辑于星期六锥面阴线的单面作图正立圆锥倒立圆锥现在是19页\一共有75页\编辑于星期六圆球球面上的阴线是球面上和光线垂直的一个最大圆。因为常用光线和三个投影面的倾角都相等，所以球面的阴线大圆和三个投影面的倾角也都相等，因此，阴线的三个投影都是大小相等的椭圆。若球面半径为R，则椭圆的长轴等于R、椭圆的短轴约等于0.58R。球面在投影面上的落影就是阴线大圆在投影面上的落影，也是一个椭圆，且椭圆的短轴等于R、椭圆的长轴约等于1.73R。现在是20页\一共有75页\编辑于星期六球面阴线的作图短轴长轴一.过球心作直径与光线同名投影垂直，即为阴线圆在该投影面上投影椭圆的长轴二.过长轴两端点作对角为60°的菱形，则菱形的另外两端点连线即为阴线椭圆的短轴。三.根据椭圆的长、短轴画出阴线圆的投影现在是21页\一共有75页\编辑于星期六球面落影的作图一.求出球心的落影二.过球心的影点作与光线同面投影垂直的线，并取长度为球的直径，得到落影椭圆短轴的两端点三.包含短轴两端点作对角为120°的菱形，则菱形的另外两端点连线即为椭圆的长轴。四.根据椭圆的长、短轴画出球面在投影面上的落影。长轴短轴现在是22页\一共有75页\编辑于星期六一般曲线回转面的阴影（一）

切锥法是求一般曲线回转面上阴线的常用方法作图原理：作一辅助圆锥与一般曲线回转面相切，切线圆是曲线回转面上的一个纬圆。该圆与辅助圆锥面上阴线的交点，也就是一般曲线回转面阴线上的一个阴点，求出一系列的阴点后光滑连接成线，即可得一般曲线回转面上阴线现在是23页\一共有75页\编辑于星期六几个特殊圆锥面的阴线位置

为方便求解，在用切锥法作图时可作一些特殊的锥面现在是24页\一共有75页\编辑于星期六［例6］求鼓形回转曲面的阴影（一）一.作与鼓形回转曲面相切的、锥底角为45°的正立圆锥，得两个阴点Ⅴ(5,5′)、Ⅶ(7,7′)二.作与鼓形回转曲面相切的、锥底角为45°的倒立圆锥，得两个阴点Ⅰ(1,1′)、Ⅲ(3,3′)现在是25页\一共有75页\编辑于星期六［例6］求鼓形回转曲面的阴影（二）三.作与鼓形回转曲面相切的、锥底角为35°的正立圆锥，得阴点Ⅵ(6,6′)四.作与鼓形回转曲面相切的、锥底角为35°的倒立圆锥，得阴点Ⅱ(2,2′)注：在锥面上过Ⅱ、Ⅵ两点的素线，其水平投影和正面投影均为45°，故也可过锥顶直接作45°线先求得两阴点的正面投影阴点Ⅵ是阴线上的最高点，阴点Ⅱ是阴线上的最低点现在是26页\一共有75页\编辑于星期六［例6］求鼓形回转曲面的阴影（三）五.作与鼓形回转曲面相切的圆柱，得两阴点Ⅳ、Ⅷ(4,4′)（8,8′)(此圆柱与曲面相切的圆为最大的纬圆）六.依次光滑连接各点的同面投影，并判别各段的可见性，完成鼓形回转曲面阴线的作图

现在是27页\一共有75页\编辑于星期六［例6］求鼓形回转曲面的阴影（四）七.求鼓形回转曲面的落影作出各阴点的落影，依次光滑连接各影点，并判别影线各段的可见性，完成鼓形回转曲面阴影的作图

现在是28页\一共有75页\编辑于星期六［例7］求作卵形回转曲面的阴线和阴面(一）一.作与卵形回转曲面相切的正立45°、35°圆锥及与卵形回转曲面相切的倒立45°、35°圆锥以及与卵形回转曲面相切的圆柱，从而求出阴点Ⅰ－Ⅷ作图步骤与上例相同

现在是29页\一共有75页\编辑于星期六［例7］求作卵形回转曲面的阴线和阴面(二）二.任作一与卵形回转曲面相切的圆锥用求锥面阴线的单面作图的方法确定阴点Ⅸ(9′)、Ⅹ(10′)三.用一条光滑的曲线依次连接上述各阴点，并判别各段的可见性。最后加绘细密点完成卵形回转曲面阴线、阴面的作图现在是30页\一共有75页\编辑于星期六一般曲线回转面的阴影（二）

包络线法是求一般曲线回转面上阴线的另一种方法作图原理：作出曲面上一系列纬圆在承影面上的落影，然后画出各落影圆的包络线，该包络线就是曲线回转面的影线。再由包络线与各落影圆周的切点作返回光线，求出各切点在各纬圆上的对应阴点，并连线得到回转面上的阴线现在是31页\一共有75页\编辑于星期六［例8］求作回转曲面的阴面及落影（一）一.在适当位置取若干个纬圆，并求出它们及底圆、最高点A在地面上的落影二.作一条光滑的曲线ba0c依次与上述四个圆的落影相切,b、c两点是切曲线与底圆的两个切点。该曲线即为回转曲面落在地面上的影线现在是32页\一共有75页\编辑于星期六［例8］求作回转曲面的阴面及落影（二）三.求阴线的水平投影过各切点作返回光线分别与各对应纬圆的水平投影圆交于1、2、3…等点，这些点即为回转曲面上阴点的水平投影四.求阴线的正面投影求出各阴点的正面投影1′、2′、3′、c’、b’…，其中c’、b’在底圆上五.分别用一条光滑的曲线将阴点的同面投影相连，得到阴线的两面投影现在是33页\一共有75页\编辑于星期六线在曲面承影面上的落影

若承影面是曲面，则求一条直线或曲线在曲面承影面上的落影，常用以下的几种方法：一.利用承影曲面的积聚性投影作图二.利用直线的落影规律作图三.利用辅助承影面作图现在是34页\一共有75页\编辑于星期六一.利用承影曲面的积聚性投影作图承影面为柱面，可利用水平投影的积聚性，求曲线AB上若干点的落影，连接各影点完成作图现在是35页\一共有75页\编辑于星期六二.利用直线的落影规律作图根据垂直线的落影规律3，侧垂线AB在铅垂的圆柱面上落影的正面投影与圆柱有积聚性的水平投影对称，为一段朝上的圆弧，圆弧的圆心到a’b’的距离为L［例9］已知圆柱、侧垂线AB的正面投影及AB到圆柱轴线的距离L，求直线在圆柱面的落影现在是36页\一共有75页\编辑于星期六三.利用辅助承影面作图作图原理：将直线连同承影曲面一起落影到一个辅助承影面上，然后从直线与曲面素线(直线或圆)在辅助承影面上落影的交点处引返回光线，与各素线(直线或圆)相交，则交点即为直线落在各素线上的影点现在是37页\一共有75页\编辑于星期六一、求圆锥的阴面和在H面的落影二、求直线在H面的落影三、由直线落在圆锥落影范围的一段影线，返回求其在圆锥上的落影［例10］求直线MN在圆锥面上的落影（一）现在是38页\一共有75页\编辑于星期六四、求特殊点：轮廓线SA上的点Ⅰ底圆上的点Ⅱ阴线SB上的点Ⅲ［例10］求直线MN在圆锥面上的落影（二）现在是39页\一共有75页\编辑于星期六五、求一般点：在影线m0n0上任取一点Ⅳ（4）作出过Ⅳ点的圆锥素线的落影，并求出其对应的投影由4点作返回光线，对应到过Ⅳ点的素线上，求得Ⅳ点在锥面上的落影六、将所求各点连接，完成直线在锥面上的落影［例10］求直线MN在圆锥面上的落影（三）锥面上过Ⅳ点的影线锥面上过Ⅳ点的素线现在是40页\一共有75页\编辑于星期六曲面建筑形体阴影的绘制圆孔的落影已知圆窗洞的立面图并知深度为D，求圆窗洞的落影现在是41页\一共有75页\编辑于星期六半圆拱圆柱部分的阴面为半圆柱孔内表面的左上部、圆柱外表面的右上部，可作45°线确定他们的范围圆柱部分的阴线为外表面的一段圆弧1’2’，内表面的一段圆弧3’4’

［例11］已知带半圆拱遮阳蓬窗子的正面和侧面投影，求雨蓬及窗洞的阴影（一）分析其余部分的阴面、阴线未作分析现在是42页\一共有75页\编辑于星期六一.求出圆拱的中心O在墙面和窗上的落影的正面投影o10′和o20′二.求阴线ⅢⅣ在墙面和窗上的落影阴线平行承影面，落影为半径R2的圆弧

［例11］已知带半圆拱遮阳蓬窗子的正面和侧面投影，求雨蓬及窗洞的阴影（二）作图步骤现在是43页\一共有75页\编辑于星期六三.求阴线ⅠⅡ在墙面的落影阴线平行承影面，落影为半径R1的圆弧四.求其余阴线的落影五.涂色表示阴影

［例11］已知带半圆拱遮阳蓬窗子的正面和侧面投影，求雨蓬及窗洞的阴影（三）作图步骤现在是44页\一共有75页\编辑于星期六结果

［例11］已知带半圆拱遮阳蓬窗子的正面和侧面投影，求雨蓬及窗洞的阴影（四）现在是45页\一共有75页\编辑于星期六柱头的阴影方盖的影一部分落在半圆柱上，一部分落在墙面上；半圆柱的影一部分落在墙面上，一部分落在地面上方盖上的阴线为折线ABCDE圆柱上的阴线为ⅠⅡ

［例12］如图所示为带有方盖的半圆柱，求方盖圆柱的阴影（一）分析现在是46页\一共有75页\编辑于星期六一.求侧垂线在圆柱面上的落影根据垂直线落影规律，影线与承影面有积聚性的投影对称二.求其余阴线的落影作图步骤

［例12］如图所示为带有方盖的半圆柱，求方盖圆柱的阴影（二）现在是47页\一共有75页\编辑于星期六一.求出圆盖及圆柱的阴面部分二.作圆弧阴线AN落在圆柱上的影子求特殊点：落在半圆柱最左轮廓线上的影点b0′半圆柱阴线上的影点e0′轴线上的影点d0′影线上的最高点c0′作图步骤

［例13］如图所示为带有圆盖的半圆柱，求圆盖圆柱的阴影（一）现在是48页\一共有75页\编辑于星期六影线上的最高点c0′最高点C0在过圆柱轴线所作光平面上因为c’c0’=cc0,而阴点到影点距离的水平投影中，cc0最短，故c’c0’也最短，因此c0′为影线的最高点由于B点、D点对称于过圆柱轴线所作的光平面，故B、D两点的落影高度相同作图步骤

［例13］如图所示为带有圆盖的半圆柱，求圆盖圆柱的阴影（二）现在是49页\一共有75页\编辑于星期六三.求圆弧阴线AN在墙面上的两段椭圆弧落影a0′b0′和e10′n0′可先作半圆的落影椭圆（参看圆的落影）再将端点N，过渡点E的对应落影求出四.作铅垂线NF、ⅠⅡ的落影五.作圆弧阴线FG在墙面上的落影其落影与下底面落影椭圆弧应平行作图步骤

［例13］如图所示为带有圆盖的半圆柱，求圆盖圆柱的阴影（三）现在是50页\一共有75页\编辑于星期六

［例13］如图所示为带有圆盖的半圆柱，求圆盖圆柱的阴影（结果）现在是51页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（分析一）为分析方便，作出该立体的侧面投影正垂线NA、侧垂线AB为阴线它们在圆锥面上的落影为过NA、AB的光平面与圆锥的交线，在空间为相同的两段椭圆；两段影线的交点为A点的落影过NA的光平面过AB的光平面现在是52页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（分析二）NA的落影椭圆正面投影为45°线，最高点Ⅰ在圆锥最左轮廓线上，最前点Ⅱ、最后点Ⅲ在圆锥最前、最后的素线上AB的落影椭圆侧面投影为45°线，最高点Ⅳ在圆锥最前轮廓线上，最左点Ⅴ、最右点Ⅵ在圆锥最左、最右的素线上过NA的光平面过AB的光平面1’2’3’4”5”6”由图中可看出，1’与4”、2’3’与5”6”高度相同现在是53页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（求解一）一.求AB的落影椭圆（不用侧面投影）1.利用NA落影椭圆已知点的高度，求出4’、5’、6’，椭圆应经过这三个点过NA的光平面过AB的光平面1’2’3’4”5”6”4’5’6’2.求A点的落影（方法一）包含过A点的光线作铅垂面P，P平面恰好经过圆锥轴线；求P面与圆锥的交线（为素线CD），再求CD与直线的交点，即可求得A点的落影现在是54页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（求解二）1’2’3’4’5’6’2.求A点的落影（方法二）把过A点的光线AO绕圆锥轴线旋转45°A点旋转到A1(a1′、a1)处，A点在圆锥面上的落影也同时旋转到圆锥的左轮廓线上的c点处在旋转的过程中，各点高度始终保持不变，因此自c点引水平线与过a′点所作的45°线交于a0′，则a0′即为A点在圆锥面上落影的正面投影c注：旋转后，a1′o′与水平方向线的夹角约等于35°。反映光线与H投影面的真实夹角现在是55页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（求解三）1’2’3’4’5’6’3.求A点落影的对称点由于线段AB在圆锥面上的落影对称于轴线，由此可以作出a0′的对称点e0′，则e0′也是AB影线上的点4.将5’a0′4’e0′6’各点连线a0′至6’为AB的落影二.求AN的落影落影的正面投影为45°线，为1’a0′三.作圆锥自身的阴线用求圆锥阴线的方法作出圆锥自身的阴线c现在是56页\一共有75页\编辑于星期六

［例14］如图所示为带有方盖的半圆锥面，求作其阴影（求解四）1’2’3’4’5’6’五.求方盖及圆锥在墙面上的落影六.涂色表示阴影部分c现在是57页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（分析）该题可采用辅助承影面和返回光线法求作圆盖在圆锥面上的落影作图原理：任取一个与圆盖底圆平行的平面Q作为辅助承影面，求出圆盖阴线和某条锥面素线在Q平面上的落影，然后从两落影的交点处引45°返回光线与所取的锥面素线相交，则交点即为圆柱阴线落在该锥面素线上的影点现在是58页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（求解一）一.将圆锥锥顶作出二.取圆盖底圆作为辅助承影面Q三.求圆盖阴线在Q面上的落影由于圆盖阴线为圆盖底圆的一部分，它在Q平面上的落影就是其本身，落影的水平投影也就是圆柱的水平投影

s’圆柱底圆的H面投影现在是59页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（求解二）五.求圆柱阴线落在锥面素线SⅡ上的影点10′(一般位置点）连s02，s02即为锥面素线SⅡ在Q平面上落影的水平投影作出SⅡ的V面投影s’2’，并向下延伸延长s02并和圆盖底圆交于1点，并求出1点的对应投影1’从1’作45°线与s’2’交于10′，则10′即为圆盖阴线上Ⅰ点落在锥面素线SⅡ上的影点s’圆柱底圆的H面投影S0圆锥顶圆的H面投影11’2’10’现在是60页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（求解三）六.求落影的特殊点1.求锥面左轮廓线上的影点a0′作图方法与求10′点相同2.求圆盖阴线落在锥面阴线FG上的影点d0′锥面阴线也就是过切点F的素线，求出其正面投影作出锥面阴线在Q面的落影与圆盖落影圆的交点D的投影d、d’，D点落在圆锥的阴线上

s’圆柱底圆的H面投影S0圆锥顶圆的H面投影11’2’10’4aa’a0’fgd0’dd’现在是61页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（求解四）六.求落影的特殊点3.求锥面最前轮廓线上的影点c0′最前轮廓线上的影点c0′和最左轮廓线上的影点a0′对称于光平面，故高度相同，可直接求出c0′4.求圆盖阴线落在锥面上的最高点该点位于锥面左前方45°素线SⅢ上，因此可用相同方法求出最高点b0′七.将各影点连线，得圆柱阴线在锥面的落影s’S011’2’10’4aa’a0’fgd0’dd’c0’b’b3b0’现在是62页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（求解五）八.求出圆盖及锥面的阴线和阴面九.求圆盖及锥面阴线在墙面及地面上落影的正面投影十.涂色表示阴面和影子s’S011’2’10’4aa’a0’fgd0’dd’c0’b’b3b0’现在是63页\一共有75页\编辑于星期六

［例15］如图所示为带有圆盖的半圆锥面，求作其阴影（结果）现在是64页\一共有75页\编辑于星期六

［例16］如图所示为带有方盖的半圆环面，求作其阴影（分析）包含方盖的两条阴线AB、AC所作的光平面与圆环的交线也就是两条阴线的影，它们是形状完全相同的两条封闭曲线AC影的正面投影是45°线，最高点为e′，最低点是d′AB影的最高、最低点高度与e′、d′相同，是在最前的转向线上现在是65页\一共有75页\编辑于星期六

［例16］如图所示为带有方盖的半圆环面，求作其阴影（求解一）一.求AB影的最高、最低点根据e′、d′的高度，对应到轴线上，得AB影的最