系统模型方法

系统模型方法第1页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．1模型的概念2．2建立模型的方法2．3系统结构模型2．4层次分析方法目录第2页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．3系统结构模型第3页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．3系统结构模型

建立模型的模型技术主要包括结构模型、模糊模型、优化模型、仿真模型、统计预测模型、决策分析模型等。结构模型是图形模型中的一种，是图论和矩阵相结合的技术，主要用来刻画大规模复杂系统的结构特征。结构模型基本上还属于定性模型的范畴，但它是进一步定量分析的基础。第4页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．3．1结构模型的概念

结构模型是描述系统各单元之间相互关系，即系统元素结构的模型。从性质上看，结构模型是一个客观模型，表述的是静态的、定性的结构。从作用上看，它以层次结构的形式表明要素之间的相互关系，包括直接关系、间接关系、隶属关系、相对地位等。第5页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．3．3解析结构模型的求解步骤建立结构模型的方法包括只着眼于系统组成要素间有无关联的解释型结构模型ISM方法、用具体数值表示关联度的模糊结构模型FSM方法、决策试行和评价试验室DEMATEL方法等，其中最具代表性的是ISM方法。ISM方法的建模步骤如下:ISM方法建立模型的流程分为画出有向图、构造可达矩阵、分解可达矩阵、形成系统结构模型等几步。第6页，共55页，2023年，2月20日，星期六1．画出有向图

ISM特点呈多阶级递进形式，它采用有向图描述系统的结构关系。有向图是由点（又称节点或顶点）与连接点的枝组成的图形，枝有方向性，用带箭头的线段或弧线段表示，节点代表系统的要素，枝代表要素之间的因果关系或层次关系。

图节点与枝第7页，共55页，2023年，2月20日，星期六简单有向图第8页，共55页，2023年，2月20日，星期六生成描述系统的有向图，是在充分了解系统的组成要素Si（i=1，2，…，n）的基础上，规定任意两个要素Si和SJ之间的关系，规定两项的关系表示为SiRSJ，其代表“要素Si对SJ存在着关系R”，关系R可以是“给予影响”、“先决条件”、“重要”等不同的影响程度。第9页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．生成邻接矩阵邻接矩阵与有向图一样，都是描述要素之间的直接影响。它在各个要素之间逐一比较，以输出（施加影响的）要素为行、输入（受到影响的）要素为列，当两个要素之间影响的关系成立时取1、不成立时取0，即矩阵中各个元素为然后根据两项关系的有和无，归纳表示成邻接矩阵的形式。第10页，共55页，2023年，2月20日，星期六3．生成可达矩阵

邻接矩阵A生成后，接下来求其与单位矩阵I的和A+I,再对某一整数n做矩阵A＋I的幂运算，直到下式成立为止。幂运算是基于布尔代数运算（0、1的逻辑和、逻辑积）进行的，即1＋1＝1，1＋0＝0+1=1，1×1＝1，1×0＝0×1＝0。第11页，共55页，2023年，2月20日，星期六矩阵称称为可达矩阵，可达矩阵用于描述元素间的所有影响。可达矩阵M的元素miJ为1代表要素Si到SJ之间存在一步或若干步可以到达的路径，即可达矩阵完全表征了要素间的直接和间接的关系，它在把握系统的结构方面有着非常重要的作用。第12页，共55页，2023年，2月20日，星期六4．各要素的级别分配

，应用可达矩阵M，对各要素Si求如下集合其中，P(Si)称为可达集合M，即从要素Si出发可以到达的全部要素的集合，这可以通过寻找可达矩阵M的第i行上元素值为1的列所对应的要素求得。而Q(Si)称为先行集合，即可以到达要素Si的全部要素的集合，这可以通过寻找可达矩阵M的第i列上元素值为1的行所对应的要素求得。第13页，共55页，2023年，2月20日，星期六再根据P(Si)和Q(Si)

（i=1，2，…,n），求满足下式的要素的集合L1。L1中的要素所具有的特征是，从其他要素可以到达该要素，而从该要素则不能到达其他要素，即L1中的要素是位于最高层次（第1级）的要素。然后，从原来的可达矩阵M中删去L1中要素所对应的行和列得到矩阵M’，对M’进行同样的操作，以确定属于第2级的集合L2的要素。以后重复同样操作，依次求出L3、L4，…，从而将各要素分配到相应的级别上。第14页，共55页，2023年，2月20日，星期六归纳以上内容，可得，令M=A+I，则元素对于，矩阵元素由n个要素组成的有向图，显然如果可达的话，至多只需要n-1步，否则将是不可达的。第15页，共55页，2023年，2月20日，星期六实际上，该步骤是在分解可达矩阵。在多数情况下，需要做三项内容的工作。（1）区域划分区域划分的作用是识别出系统中在结构上没有关系的子系统。具体分为以下几个步骤。①分别求出各要素的可达集（矩阵每行中结点为1所对应的列元素集合）、前因集（矩阵每列中结点为1所对应的行元素集合）、以及二者的交集；②找出交集与前因集对应相等的要素；第16页，共55页，2023年，2月20日，星期六③根据这些要素的可达集是否不相交划分为不同的区域；④若有区域划分，再根据这些要素的可达集中各要素的可达集是否相交确定各区域所包含的要素。第17页，共55页，2023年，2月20日，星期六（2）级别划分级别划分的作用是确定每一区域的层次。具体分为以下几个步骤。①可达集为前因集子集的要素确定为最高层；②去掉上一层要素后余下类似进行，依次求得第二、三、……层；③前因集为可达集子集的要素为最低层。第18页，共55页，2023年，2月20日，星期六（3）连接划分

连接划分的作用是找出各层中紧密联系可以合并的要素。方法是找出具有互为可达且互为前因的强连接子集的要素，选择其中之一作为代表、而去掉其余的要素。第19页，共55页，2023年，2月20日，星期六5．生成层次结构图级别分配结束后，按照区域、级别、连接等要求，调整可达矩阵的行和列，使得可达矩阵的行和列按照级别的顺序排列放置，通过这一操作将化成分块三角阵，最后再分块画图。在最上层放第1级L1的要素，它的下面放第2级L2的要素，依次类推，把各要素从上至下按级别顺序放置。另外，由于可达矩阵M中各元素的数值是从有向枝所代表的相邻级别要素间关系以及同一级别要素间关系转化来的，因而可以用有向图的形式来表示系统的层次结构。第20页，共55页，2023年，2月20日，星期六下面用一个计算的例子来说明前面介绍的各个步骤。以7个要素s1，s2…，s7组成的系统为对象，分析系统的结构。在找出各个要素之间相互影响的形式后，针对它们之间的相互关系，假设得到邻接矩阵A。第21页，共55页，2023年，2月20日，星期六

=第22页，共55页，2023年，2月20日，星期六

=该可达矩阵M中，存在着邻接矩阵A中取值不为1的元素（记做1），这说明这些要素之间没有直接关系，而是通过其他要素为中介发生间接关系的。第23页，共55页，2023年，2月20日，星期六

下面根据可达矩阵M，求与各要素对应的可达集合P(Si)、先行集合Q(Si)以及共同集合如表所示。满足级别划分条件的要素只有s5，由此确定第1级L1＝{s5}。然后，从可达矩阵M中删去与要素S5对应的第5行及第5列，得到矩阵M’.M’=第24页，共55页，2023年，2月20日，星期六同理，求出满足级别划分条件的要素是s2和s6.即第二级L2={s2,s6}.依次类推，可得L3＝{s3}，L4＝{s1,s4,s7}。因此，该例中的7个要素可分配在4个级别上。11，2，3，5，61122，5，61，2，3，4，6，72，632，3，5，61，3，4，7342，3，4，5，644⑤51，2，3，4，5，6，7562，5，61，2，3，4，6，72，672，3，5，6，777第25页，共55页，2023年，2月20日，星期六11，2，3，611②2，61，2，3，4，6，72，632，3，61，3，4，7342，3，4，644⑥2，61，2，3，4，6，72，672，3，6，77711，311③31，3，4，7343，44473，777①111④444⑦777第26页，共55页，2023年，2月20日，星期六再将可达矩阵M的行和列按照级别顺序排列，得到第27页，共55页，2023年，2月20日，星期六参照这一分块三角化的矩阵，用有向枝连接相邻级别间的要素及同一级别的要素，即可得到系统的解析结构模型，其表达了该系统的层次结构。系统的层次结构图第28页，共55页，2023年，2月20日，星期六应用中，结构模型往往不是分析问题的最终结果，而只是建立定量模型的初步过程。建立和明确系统的结构，只是为进一步运用定量的方法进行系统评价、系统决策所做的基础工作。实际上，解析结构模型的建立过程就是运用层次分析方法解决问题的初始步骤。第29页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．4层次分析方法第30页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．4．1原理和特点层次分析方法（AnalyticHierarchyProcess，AHP）是美国运筹学家沙旦（T.L,saaty）于20世纪70年代提出的一种定性分析与定量分析相结合的多目标决策分析方法。层次分析方法可以对非定量事件作定量分析，以及对人的主观判断作出定量描述。该方法采用数学方法描述需要解决的问题，适用于多目标、多因素、多准则、难以全部量化的大型复杂系统，对目标（或因素）结构复杂并且缺乏必要数据的情况也比较实用。从具体方法步骤上看，层次分析方法是一种加权求和方法，是求解多目标问题最重要的方法之一。第31页，共55页，2023年，2月20日，星期六层次分析方法作为管理方面的系统分析或系统评价方法，首先把分析或评价的对象层次化。它是根据问题的性质和评价的要求，将评价的问题分解为不同的组成因素或评价指标，并按照这些因素之间的互相关联、相互影响和隶属关系，将因素以不同层次进行聚集组合，形成一个多层次的、有明确关系的、条理化的分析评价结构模型。对于组成因素或者子系统的评价，实际上是最底层对最高层次的相对重要性权值的确定，或者是构成相对优劣次序的排队问题。第32页，共55页，2023年，2月20日，星期六这种方法的特点，一是思路简单明了，将人们的思维过程数字化、系统化，便于接受并容易计算；二是所需要的定量数据信息较少，对于问题本质、包含因素及其内在关系分析得比较清楚；三是可用于复杂的无结构特征问题的分析，以及多准则等各种类型事物的评价与决策。第33页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．4．2分析的步骤用层次分析方法解决复杂问题的基本思想是，把决策问题按总目标、子目标、评价标准直至具体措施的顺序分解为不同层次的结构，然后利用求判断矩阵特征向量的方法，求出每层次的各元素对上层次某元素的权重，最后用加权和的方法递阶归并，求出各方案总目标的权重。越重要的因素权重越大，权重值最大者即为最优方案。第34页，共55页，2023年，2月20日，星期六根据方法的基本思想，整个分析过程主要包括两个方面的内容，一是各层次目标的权重确定，二是根据最低层次各目标的权重和各方案的属性值对方案做出综合评价。因此，用层次分析方法分析问题，大体经过建立层次结构模型、构造判断矩阵、层次单排序及一致性检验、层次总排序及一致性检验四个步骤。第35页，共55页，2023年，2月20日，星期六1．建立层次结构模型面对复杂的决策问题，从利于进行决策分析的角度出发，运用层次分析方法进行系统分析时，处理的方法是先对问题所涉及的因素进行分类，即把系统所包含的因素进行分组，每一组作为一个层次，按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来，构成一个各因素之间相互联结的层次结构模型。第36页，共55页，2023年，2月20日，星期六最高层表示解决问题的目的，即应用AHP所要达到的最终目的；中间层表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节，一般又分为策略层、约束层、准则层等，图中采用的是准则层；最低层表示解决问题的措施或政策（即方案）。图中方框之间的连线表示在不同层次的因素之间存在关系。第37页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．构造判断矩阵任何系统分析都以一定的信息为基础，层次分析方法的信息基础主要是人们对每一层次各因素的相对重要性给出的判断。将这些判断用数值表示出来，写成的矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵中各元素表示针对上一层次某因素而言，本层次与之有关的各因素之间的相对重要性。比较每一个下层相关元素Bi、BJ之间对于上层某元素Ak的相对重要性，即构成一组多元素的判断矩阵B。第38页，共55页，2023年，2月20日，星期六其中，biJ是对于Ak而言，Bi对BJ的相对重要性的数值表示，biJ是Bi与BJ的比值，通常用表所示的1—9比例标度法规定量化指标。矩阵中对应结点两元素对上层元素影响比较相等稍微重要明显重要强烈重要极端重要13（1/3）5（1/5）7（1/7）9（1/9）第39页，共55页，2023年，2月20日，星期六实际应用时，相对重要性的数值也可以取2、4、6、8，其表示的重要程度分别介于和它相邻的数字表示的重要程度之间。取倒数也具有相应的类似意义。由上述可得，任何判断矩阵都应满足biJ=1/bJi，且bii=1（i，j=1，2，…，n）。事实上，对于n阶判断矩阵，仅需要对n(n-1)/2个矩阵元素给出数值。第40页，共55页，2023年，2月20日，星期六3．层次单排序及一致性检验层次单排序是将每层内的元素进行排序。它是根据上层某元素的判断矩阵，利用和积法或方根法，计算出某层次的因素之间对上一层某因素的相对重要性的权值，然后根据权值排列次序。它是本层次所有因素相对于上一层次、乃至最高层次重要性进行排序的基础。第41页，共55页，2023年，2月20日，星期六层次单排序可以归结为计算判断矩阵的特征值和特征向量的问题。即对判断矩阵B，计算满足BW=的最大特征值和对应的、经过归一化的特征向量W，其中特征向量W＝（w1，w2，…，wn），就是B1，B2，…，Bn对于上一层次元素Ak的单排序的权值，W的元素和Ak的下层各元素是一一对应的。第42页，共55页，2023年，2月20日，星期六而最大特征值是用来检验判断矩阵B的一致性。通常，定义一致性指标

CI=衡量判断矩阵的不一致程度。一般情况下，CI>0，即>n.CI越小，表示一致性越好，即稍微大于n就是满意的。CI＝0时，则完全一致，这时判断矩阵有最大特征值，即满足＝n。实际操作中，判断矩阵B是否具有一致性，是将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。

第43页，共55页，2023年，2月20日，星期六平均随机一致性指标一阶、二阶判断矩阵总是具有一致性，所以不必检验。当判断矩阵的阶数大于2时，记CR=CI/RI为判断矩阵的随机一致性比例。如果CR<0.10，就认为矩阵具有满意的一致性，可根据w1，w2，…，wn的大小将B1，B2，…，Bn排序；否则需要调整判断矩阵，重新估计biJ，再进行检验。矩阵阶数123456789RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.45第44页，共55页，2023年，2月20日，星期六4．层次总排序及一致性检验

当针对上一层次A中m个因素A1，A2，…，Am，逐个对B层次中的n个因素B1，B2，…，Bn进行单排序（即进行了m次单排序）后，就可以利用这些结果对整个A层次得到B1，B2，…，Bn的一组权值，作为层次各因素按重要性排序的依据，这就是层次总排序。层次总排序是逐层间的元素排序，从上到下、顺序逐层，计算同层各元素对于最高层的相对重要性权值。由于最高层就是一个元素，所以最高层下面的一层的单排序就是总排序。第45页，共55页，2023年，2月20日，星期六例如，C层元素通过B层元素对A元素的重要性可以表示成如下矩阵的形式。

第46页，共55页，2023年，2月20日，星期六对层次总排序也要进行一致性检验。记对Ak进行B层次单排序的一致性指标是CIk，相应的平均随机一致性指标是RIk，则定义总排序的一致性指标和总排序的平均随机一致性指标CI=RI=如上所述，当CR=CI/RI时，认为层次总排序的一致性是满意的。第47页，共55页，2023年，2月20日，星期六2．4．3最大特征值及其特征向量的计算层次分析方法中的主要计算问题是如何计算判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量。常采用的计算方法有两种。1．和积法和积法的计算步骤如下。（1）将判断矩阵按列归一化：=（2）每列归一化后的判断矩阵按行相加：＝i,j=1,2,…,n第48页，共55页，2023年，2月20日，星期六（3）对向量=[,…,]T归一化：

W＝，得到的W=[W1,W2,…,Wn]T即为所求特征向量。（4）计算判断矩阵最大特征根：

=式中(AW)i表示向量AW的第i个分量。第49页，共55页，2023年，2月20日，星期六方根法的计算步骤如下。（1）将判断矩阵的元素按行相乘：uij=i,j=1,2,…n,（2）所得乘积分别开n次方：ui=（3）将方根向量归一化：Wi=即得特征向量w。（4）计算判断矩阵最大特征根：=