工程力学B第10章弯曲变形

qqF平面弯曲时，梁轴线弯曲成一条光滑、连续的平面曲线；称为挠曲线。挠曲线上的一点包含了梁的两种位移：挠度和转角。1.

挠度：

横截面形心沿y方向的线位移.记为:w。2.

转角：横截面绕中性轴的转角或挠曲线的切线与x轴的夹角。记为：

。称为挠曲线方程。w＝

f(x)

(a)称为转角方程。向上为正逆时针转向为正10.1引言第一页，共27页。第一页，共27页。第二页，共27页。第二页，共27页。

挠曲线y第三页，共27页。第三页，共27页。

挠曲线y挠曲线的曲率半径与弯矩之间的关系为：由高等数学，可得ρ(x)与w(x)之间的关系为：10.2

梁变形的基本方程10.2.1

梁的挠曲线微分方程第四页，共27页。第四页，共27页。这里的正负号应该如何选定呢？看下面的分析：

第五页，共27页。第五页，共27页。挠曲线近似微分方程注意：坐标系不能任选，必须如上图所示选取。第六页，共27页。第六页，共27页。对（10.4）式两边乘以dx，不定积分得：挠曲线方程转角方程两边再乘以dx，不定积分得：10.2.2

边界条件与连续条件由挠曲线近似微分方程（10.4）式：注意：这里C和D

是积分常数。当弯矩方程M(x)需要分段列出时，则积分常数的个数是梁分段数的二倍，此时它们可由梁的边界条件（支撑条件）和连续性条件确定。第七页，共27页。第七页，共27页。边界条件连续性条件-弹簧变形wA=0wA=0wA=ΔwA左=wA右wA左=wA右F在分段点处在中间铰处在确定了常数C和D之后，可以很容易地得到梁的转角方程和挠曲线方程，也就能够计算梁任意横截面的转角和挠度了。若弹簧的刚度为K，则：第八页，共27页。第八页，共27页。例10.1用积分法求梁的挠度时，弯矩方程应分为几段列出？共有几个积分常数？写出确定这些积分常数的支承条件和连续条件。2.7应分为3段，

共有6个积分常数

2.8应分为3段，

共有6个积分常数

支承条件：连续条件：题2.7图F=qaADCBaaaq题2.8图F=qaADCBaaam=qa2（练习册P35，填2.7，2.8）支承条件：连续条件：第九页，共27页。第九页，共27页。例10.2用积分法求梁的挠度时，弯矩方程应分为几段列出？共有几个积分常数？写出确定这些积分常数的支承条件和连续条件。ACDqBlaa答：支承条件：连续条件：共有6个积分常数

应分为3段，

（练习册P35，计3.1（a））第十页，共27页。第十页，共27页。用二次积分法计算梁的变形的主要步骤:1)选择正确的坐标系;2)分段列出弯矩方程M(x);4)根据支承条件和连续性条件确定积分常数;6)计算梁的最大位移和最大转角。3)写出挠曲线近似微分方程并对其进行二次积分；5)求挠曲线方程和转角方程;注意：积分常数的个数是梁分段数的两倍。10.2.3

计算梁变形的二次积分法第十一页，共27页。第十一页，共27页。例10.3梁的荷载及尺寸如图所示，若AB梁的抗弯刚度为EI。试用积分法求AB梁的转角方程和挠曲线方程。并求B截面的转角和挠度。Oxy解:1.取直角坐标系Oxy（不能任取），如图。2.写出梁的弯矩方程:x（练习册P36，计3.2）第十二页，共27页。第十二页，共27页。3.写出挠曲线微分方程并对其进行二次积分：对方程进行两次积分可得：由挠曲线近似微分方程（10.4）式:挠曲线方程:转角方程：第十三页，共27页。第十三页，共27页。4.求积分常数：由固定端的边界条件:5.求转角方程和挠曲线方程:Oxyx第十四页，共27页。第十四页，共27页。

当

x=l时：6.求B截面的转角和挠度：(向下)(顺时针)y第十五页，共27页。第十五页，共27页。

在线弹性范围内和小变形条件下，构件（杆、轴、梁等）在多个载荷作用下产生的效果（支反力、内力、应力和变形等）是每个载荷单独作用时产生同类效果的简单叠加（代数和）。10.3.1载荷叠加法求梁的弯曲变形：10.3计算梁变形的叠加法叠加原理（力的独立作用原理）：

根据叠加原理，当梁上同时作用几个载荷时，可分别求出每个载荷单独作用时引起的变形，然后把所有变形叠加起来即为这些载荷共同作用时引起的变形。第十六页，共27页。第十六页，共27页。例10.4

对于如下简支梁，请计算挠度wC

和转角θB

。其中q、l和EI为已知。第十七页，共27页。第十七页，共27页。解:1.有三个载荷作用的梁可以看作是每个载荷单独作用时的三个梁的叠加，即：因此，由叠加原理：yyy=++第十八页，共27页。第十八页，共27页。yyy2.查表10.1（P229)，可得：第十九页，共27页。第十九页，共27页。3.将以上结果叠加，得到截面C的挠度和截面B的转角:积分叠加法(载荷叠加法)：见例10.4，P233。第二十页，共27页。第二十页，共27页。ABlaCF将梁分成AB和BC两段，研究其中一段的变形时将另一段视作刚体（即不变形或刚化）。10.3.2

逐段分析求和法（逐段刚化法）常用于求外伸梁、分段等直梁的弯曲变形。例10.5外伸梁受载荷如图所示，试用叠加法中的逐段刚化法计算外伸端C截面的挠度和转角。解：第二十一页，共27页。第二十一页，共27页。ABlaCFABCFABC1.研究AB段的变形：wC2qB1Fa2.研究BC段的变形：wC1F将BC段视作刚体（刚化）。qC2将AB段视作刚体(刚化)。第二十二页，共27页。第二十二页，共27页。上述方法即为求弯曲变形的逐段刚化法（逐段分析求和法）。对于变形表10.1中没有的梁（如外伸梁等），首先将其分解成表中有的梁（如简支梁、悬臂梁）；然后分段进行刚化分析。当以某一段为研究对象时，其余各段均视为刚体（刚化）。注意：ABlaCF第二十三页，共27页。第二十三页，共27页。（大纲未要求，不讲）10.4

简单超静定梁第二十四页，共27页。第二十四页，共27页。10.5.1梁的刚度条件可从相应的设计规范或手册中查得。许用挠度许用转角10.5梁的刚度条件与合理刚度设计见P239，例10.8第二十五页，共27页。第二十五页，共27页。10.5.2梁的合理刚度设计选择合理的横截面，以增大梁的刚度(增大I)。由（10.6）式选择合适的支撑位置，以减小Mmax。选择合适