初二数学培优之等腰三角形的性质

初二数学优之等腰三形的性质阅读与考等腰三角形是一类特殊三角形，具有特殊的性质，这些性质为角度的计算、线段相等、直线位关系的证明等问题提供了新的理论依据．因此，在解与等腰三角形相关的问题时，除了要运用全三角形知识方法外，又不能囿于全等三角形，应善于利用等腰三角形的性质探求新的解题途径，应熟以下基本图形、基本结论．⑴图，

A

，

∠C

180A2

，

∠B∠

．⑵图，只要下述四个条件：①

②

；③

；④

AD⊥

中任意两个成立，就可以推出其余两个成立．B

DA图1

AC图2

C例题与解【1】如图在ABC中D在上E在AB上且，=BDAD=BE则∠A=___________（五城市联赛试题）解思：中有很多相关的角，用的代数式表示这些角，建立关于的等式．AE

DB

C【2】如图，△ABC中，已知∠BAC=90，AB=ACD为AC中BD于E，延长AE交BC于F求证：ADB=∠CDF．（安徽省竞赛试题）解思：与对应的三角形不全等，因此，需构造全等三角形，而等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的高中是一条常用的辅线．AE

DB

F

C

【3】图，在中AC=BC∠=900D上点，且AE垂直BD的长线于E，又=

12

，求证BD是角平分线．（北京市竞赛试题）解思：ABC的平分线与边的高重合，故应作辅助线补全图形，构造全等三角形、等腰三角形．AE

DC

B【】图在△中∠BAC=BCA

M△内一点∠MCA0

∠=16，求∠BMC度．（北京市竞赛试题）BMA解思：等腰△ABC的对称轴(如图，通过计算，证明全等三角形，又0

+16

=60

；可以AB为边，向点C所的一侧作等边ABN，连结，MN(图；或以为一边，向点所的一侧作等边，结BN如图．B

B

NO

BA

MD图1

C

A

MN图2

C

A

M图3

C

【5如图，ABC是边长为的边三角形，是顶角∠=120

的等腰三角形，以D为顶点作一个的周长等于．

角的边分别交AB于M交AC于结MN成一个三角形求eq\o\ac(△,：)（天津市竞赛试题）解思：证的长等于2只需证明BM+CN考虑用补短法证明．AM

NB

CD【】图，ABC中，∠ABC，D是边上一点，DCAB∠DAB0

，试确定∠的度数．（北京市竞赛试题）解思：本题的关键是利用DC=AB一条件．ABDC能力训A级如等腰三角形腰上的高另一腰的夹角为45

那这个等腰三角形的底角为_____________．．如图，已知∠=15，AB==CD=DE，∠FEM．．如图，在等边ABC的，BC边各取一点、Q使=，AQ，BP相交于点O则∠=____________.．如图，在中∠BCA=90

，∠=60，=4在的长线取点，，则D，B两之间的距离．A

BC

E

M

O

PA

BD(第题)

F

N

B

Q(第题

C

D

A(第题)

C

．如图，在中，，D为上点=CDCE，那么∠EDF等（）A900

-

12

∠

B900

-∠AC．1800-∠A

D．0

12

∠．如图，在中，ACB=90A600C．AF

，=AE，=BF，则ECF（B450D．确

）（安徽省竞赛试题）E

A

F

EB

C

C

B第5题

第题．△一个内角的大小是40，且∠=∠B，那么∠C的角的大小是（）A．

B800

或100

C．1000

或1400

D．

或．三角形三边长，b，c满

111abca

(“希望杯”邀请赛试题)，则三角形一定是（）A等边三角形

B以

为底边的等腰三角形C．

为底边的等腰三角形D等三角形（北京市竞赛试题）．如图，在中，D，分是腰ABAC延长上的点，且BD，连结交BC于，求证DG=EG（湖北省竞赛试题）ADB

G

CE

DEFCEFDEFCEFDEFCEFDEFCEF．如图，在，∠BAC0AB，BE平分ABCCE⊥，求证CE=

12

．（江苏省竞赛试题）AEDBC．已知eq\o\ac(△,Rt)ABC中=，∠=90，为边中点，∠EDF=90

，将∠EDF点转，它的两边分别交，BC(或它们的延长线于F，当∠绕D点转到DE于时如图，易证：

12

，当∠EDF绕D点转到和AC垂直时，在图和图3这种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（牡丹江市中考试题）AA

ADE

D

DE

B

FC

F

B

C

F

C图1

图2

图．如图，在AB=AC∠BAC

，O为内点，且OBC=10

，∠OCA=200

，求∠BAO的数．（天津市竞赛试题）AOB

AEPAEPB级．如图，在中，ABC，AM=ANCN=，则∠MNP．C

A

AN

EP

FA

M(第题)

BB

P(第题)

C

BM

(第题)

N

C．如图，在中AB=，∠BAC0直角∠的顶点是的点，两边PE，分别交ABAC于点出下个结论AE△等腰直角三角形S=

12

；④EF=AP当∠在△ABC内绕顶点旋时点E不A，重．上述结论正确的是____________（苏州市中考试题）．如图，在ABC中，N为边两点，并且BAM∠CAN，则∠的度数_．．如图，在中AB=AC∠BAC与∠的分线相交于D，∠ADC0

，那么CAB的大小是（）A．80

B

．40

D．20A

MA

CDD

EB

(第题)

C

B

D(第题)

C

(第题)

B．如图，在中，BAC，⊥于，且ABBD=，则∠大小是（）A200

B250

C．

D．45．如图，在ABCACBC，∠ACB=900平∠交BD⊥于DDM⊥AC交AC的长线于，连，下列四个结论：①∠ADC=450

；②BD=

12

；③+=；④ABMC．其中正确结论的个数为（）A．1个B．个C．个D．个如已△等边三角形延至D延BA至并且使AE连CEDE求证：．EAB

C

D

．如图，△中已知∠C=600

，＞BC又△ABC、eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BCeq\o\ac(△,)都eq\o\ac(△,是)ABC外的等边三角形，而点D在AC上且BC=DC⑴证：eq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,B)eq\o\ac(△,)DC⑵证：eq\o\ac(△,)D≌eq\o\ac(△,)；⑶对△ABC△ABC、eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BC、eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)，面积大小关系上，你能得出什么结论？（江苏省竞赛试题）CABDB

CA．在ABC中，已知=，过某顶点的直线可将ABC分两个等腰三角形，试求△ABC各内