2022-2023学年山东省烟台市莱州市高二年级下册学期第一次质量检测数学试题【含答案】

2022-2023学年山东省烟台市莱州市高二下学期第一次质量检测数学试题一、单选题1．设随机变量服从两点分布，若，则（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】D【分析】由题意可得，再结合，可求出，从而可求出【详解】由题意得，因为，所以解得，所以，故选：D2．将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（

）A．120种 B．240种 C．480种 D．960种【答案】B【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可.【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法，故字母b不相邻的排列方法共有（种），故选：B3．在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（

）A．8种 B．12种 C．20种 D．24种【答案】C【解析】先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊.【详解】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，当甲排在第二位时，共有种发言顺序，所以一共有种不同的发言顺序.故选：C.【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.4．随机变量ξ的分布列为，其中c为常数,则等于A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据分布列中所有的概率和为1求出参数c，再判断出满足的随机变量的值，代入分布列求出值即可．【详解】根据分布列中所有的概率和为1，得解得,∴=故选C．【点睛】解决随机变量的分布列问题，一定要注意分布列的特点，各个概率值在[0，1]之间；概率和为1．5．某公园有如图所示A至H共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（

）A．168 B．336 C．338 D．84【答案】B【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种，第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择，由于女生可以互换，故女生的排法有种，根据分步计数原理，共有种，故选：B.6．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，则男员工中，肥胖者有人，女员工中，肥胖者有人，设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，则，，则.故选：D.7．将杨辉三角中的每一个数都换成分数，可得到如图所示的分数三角形，成为“莱布尼茨三角形”，从莱布尼茨三角形可以看出，存在使得，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据，可得，再根据组合数得计算，计算即可得出答案.【详解】解：根据题意可得，，所以.故选：C8．设是1，2，3，4，5的一个排列，若对一切恒成立，就称该排列是“交替”的，则“交替”的排列的数目是（

）A．16 B．25 C．32 D．41【答案】C【分析】由已知可知当时，此时有或.由“交替”的排列的概念可得，当时，或，分别求解即可得到当时，或时，有8种方法.同理可求得当，或，此时也有8种方法.然后得出时，或时“交替”的排列数目，相加即可得出结果.【详解】由已知可得，，.（ⅰ）当时，，可推出，，，此时有或.①当时，由已知可得或当，时，此时必有，排列可以是或两种；当时，时，此时可选择1，2，3中的任意排列，共中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当，可得或，也有8种方法.综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16；（ⅱ）当时，，可推出，，，此时有或.①当时，由已知可得或当，时，此时必有，排列可以是或两种；当时，时，此时可选择3，4，5中的任意排列，共中排列.综上所述，共有8种方法；②同理可得当，可得或，此时也有8种方法.综上所述，当时，“交替”的排列的数目是16.所以，“交替”的排列的数目是32.故选：C.二、多选题9．已知，若能被5整除，则的取值可以是（

）A．6 B．7 C．11 D．12【答案】BD【分析】和的展开式类似，易得，能被整除，只需个位数是或即可．【详解】，所以的个位数是，若能被5整除，则除以余数应该是，故B、D合题．故选：BD．10．已知在的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（

）A．展开式中所有项的系数之和为 B．展开式中系数最大项为第项C．展开式中有项有理项 D．展开式中不含的一次项【答案】CD【分析】根据题意列关于的方程，求出值，然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法，结合组合数的性质可解答此题．【详解】在的展开式中，前3项的系数成等差数列，，解得：或1（舍去）．当时，所有项的系数和为：，错；通项为：展开式中第3项与第4项系数最大，错，当，6时为有理项，共2项，对；由上面通项可令，解得不为整数，展开式不含一次项，对．故选：．11．袋中有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取球，则下列结论正确的是（

）A．抽取次后停止取球的概率为B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为C．取球次数的期望为D．取球次数的方差为【答案】BD【分析】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可判断出A选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为，可判断出B选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量的期望和方差，可判断C、D选项的正误，综合可得出结论.【详解】设取球次数为，可知随机变量的可能取值有、、，则，，.对于A选项，抽取次后停止取球的概率为，A选项错误；对于B选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为，B选项正确；对于C选项，取球次数的期望为，C选项错误；对于D选项，取球次数的方差为，D选项正确.故选：BD.12．已知随机变量，，，，记，其中，，则（

）A． B．C． D．若，则【答案】ABD【分析】利用随机变量概率的性质证明选项A判断正确；利用二项分布数学期望的性质证明选项B判断正确；举反例否定选项C；利用单调性证明选项D判断正确.【详解】对于A，，所以A正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，当时，，所以C错误；对于D，因为，所以当时，最大，所以D正确；证明如下：若，则，若，则，解得，故当时，单调递增，当时，单调递减，即当为整数时，或时，取得最大值，当不为整数，k为的整数部分时，取得最大值．故选：ABD．三、填空题13．若的展开式中第5项为常数项，则的值是__________.【答案】6【分析】利用二项展开式的通项公式求得展开式中第5项，列出关于的方程，即可求得的值．【详解】的展开式中，，因为第5项为常数项，所以，解之得故答案为：614．已知随机变量，若，则______．【答案】【分析】由二项分布的均值和方差公式列方程求得，再由概率公式计算．【详解】因为，所以，解得或（舍去），所以．故答案为：．15．50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为________．【答案】15【分析】根据超几何分布概率公式列出不等式，进而解出n.【详解】用X表示中奖票数，P(X≥1)＝，所以，解得n≥15.故答案为：15.16．的展开式中不含的各项系数之和______.【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得项幂次为0，确定项数后即可得到答案.【详解】利用二项展开式的通项公式进行展开，设项为，项为，项为.展开后得对每一项进行合并得，因为展开式中不含，所以，又得取值为，得取值为，故得.代入展开式得，又得取值为，分别带入后各项系数之和为.故答案为：128四、解答题17．（1）求值：．（2）若，且．求的值．【答案】（1）时，；时，；（2）【分析】（1）根据组合数的性质推出n的取值范围，再分类求解；（2）先求出n的值，再运用赋值法求解.【详解】（1）由组合数的性质，可得解得．又因为，所以或，当时，原式，当时，原式；（2）由，得，即，解得或（舍去），所以，当时，由已知，得，令，得，令，得，所以18．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”．求(1)“每个项目都有人报名”的报名情况种数；(2)“四名同学最终只报了两个项目”的概率；(3)．【答案】(1)种(2)(3)【分析】（1）两人报同一个项目，故报名情况有种情况，计算得到答案.（2）报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，计算得到答案.（3）计算，，再根据条件概率公式计算即可.【详解】（1）“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有种；（2）“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，故共有种报名情况，则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是；（3）事件为“恰有两名同学所报项目相同”，有种报名方法，则，事件为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，若，同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，则有种报名方法，则，故．19．有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的人，被感染的概率是．王某被确诊为新冠病毒感染者后，当地准备对王某的密切接触者共78人逐一进行核酸检测．（1）设为这78名密切接触者中被感染的人数，求的数学期望；（2）核酸检测并不是准确，有可能出现假阴性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）．假设当地核酸检测的灵敏度为（即假阴性率为），特异度为（即假阳性率为）．已知王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感染的概率（结果保留3位有效数字）．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由服从二项分布可得答案；（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，由题意，，，计算出可得答案.【详解】（1）为这78名密切接触者中被感染的人数，可取0，1，2，，78，，所以.（2）设事件为“核酸检测结果为阳性”，事件为“密切接触者被感染”，由题意，，，所以，，王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，他被感染的概率为.20．为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为．(1)求甲队第二场比赛获胜的概率；(2)用表示比赛结束时比赛场数，求的期望；(3)已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．根据对立事件的概率公式即可求解；（2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.【详解】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3．由全概率公式．（2）的可能取值为2，3．由题意知，由（1）知，则，，，，．（3），此时，．21．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．(1)求频率分布直方图中实数a，b的值；(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布列和数学期望．【答案】(1)；(2)；(3)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）根据图表得，解出值，根据小矩形面积和为1可求得值；（2）首先求得总数为21种，求出其中有男生的概率为，求出有女生的概率为，再利用条件概率公式即可；（3）求出在各自区间的人数，设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,分计算，最后求出期望值.【详解】（1）由,解得,解得.（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，记任选2人有男生为事件,则，记任选2人有女生为事件,则，则.（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和的学生中抽取8人,抽中的8人每天学习时间在的人数为人.抽中的8人每天学习时问在的人数为人.设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则的分布列为:012的数学期望为.22．某中学开展劳动实习，学生前往电子科技产业园，学习加工制造电子元件．已知学生加工出的每个电子元件正常工作的概率都是，且各个电子元件正常工作的事件相互独立．现要检测个这样的电子元件，并将它们串联成元件组进行筛选检测，若检测出元件组正常工作，则认为这个电子元件均正常工作；若检测出元件组不能正常工作，则认为这个电子元件中必有一个或多个电子元件不能正常工作，