2020年山西高二下期中数学试卷文科

期中数学试卷（文科）题号 4总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）TOC\o"1-5"\h\z.已知z=10-4i（i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）A.4i B.-4i C.4 D.-4.结构图中其基本要素之间的关系一般为（ ）A.上位与下位关系 B.递进关系C.从属关系或逻辑关系 D.没有直接关系.已知i为虚数单位，则复数=在复平面内对应的坐标为（ ）[aA.（-3，1）B.（-3，-1） C.（3，1）D.（3，-1）.下列说法正确的是（ ）A.流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的全部步骤B.结构图通常用来描述一个过程性的活动C.流程图的基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系D.结构图通常可以用来刻画问题的解决过程.下列说法不正确的是（ ）A.回归直线必过样本点的中心B.残差图的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高C.残差平方和「户'—''一越大，说明模型的拟合效果越好D.相关指数R2的值越大，说明模型的拟合效果越好. “余弦函数是偶函数，f（x）=cos（3x2+2）是余弦函数，因此f（x）=cos（3x2+2）TOC\o"1-5"\h\z是偶函数”，以上推理（ ）A.结论正确B.小前提不正确C.大前提不正确D.全部正确.下面关于复数z=-1+2i（i为虚数单位）的四个命题：①二在复平面内对应的点在第二象限；②EY-二：；③复数上的模为力；④』二.，其中真命题的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4. 观察下列各式：i1=i， i2=-1， i3=-i， i4=1， i5=i， i6=-1， i7=-i， i8=1，…，由此规律可推测，i2019=（ ）A.-1 B.1 C.-i D.i.下列关于独立性检验的叙述①常用等高条形图表示列联表数据的频率特征；②独立性检验依据小概率原理；③独立性检验的结果是完全正确的；④对分类变量X与y的随机变量k2的观测值k来说，k越小，X与y有关系的把握程度就越大.其中叙述正确的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4.在《中华好诗词大学季》的决赛赛场上，由南京师范大学郦波老师、中南大学杨雨老师、著名历史学者纪连海和知名电视节目主持人赵忠祥四位大学士分别带领的四支大学生团队进行了角逐.将这四支大学生团队分别记作甲、乙、丙、丁，且比赛结果只有一支队伍获得冠军，现有小张、小王、小李、小赵四位同学对这四支参赛第1页，共11页

团队的获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得冠军”；小王说：“丁团队获得冠军”；小李说“乙、丙两个团队均未获得冠军”；小赵说：“甲团队获得冠军”.若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得冠军的团队是()TOC\o"1-5"\h\zA.甲 B.乙 C.丙 D.丁.在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有( )A.1个 B.5个 C.7个 D.9个.观察一列算式：1@1,1@2,2@1,1@3,2@2,3@1,l@4,2@3,3@2,4@1,…，则式子4@12是第( )A.109项 B.110项 C.111项 D.112项二、填空题(本大题共4小题，共20.0分).用线性回归模型求得甲、乙、丙、丁、戊5组不同的数据对应的R2的值分别为0.69,0.76,0.93,0.85,0.54,其中(填甲、乙、丙、丁、戊中的一个)组数据的线性回归的效果最好..如图是一结构图，在I 处应填入.观察下列各式：根据以上规律可得，「小［嫁,一，=..已知一组数据的回归直线方程为一-1"+I且,,=|,发现有两组数据(-1.7,,(-2.3,5.1)的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为"r_),3 7一••..，则当％,=-3时，，.二.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分).(1)请用合适的框图画出数学选修《1-2》第一章《统计案例》的知识结构；(2)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，请用合适的框图画出建立回归模型的基本步骤..已知复数z=(m2+m-2)-(1-m2)，，其中i为虚数单位.(1)当实数m取什么值时，复数z是虚数；(2)若复数z+m=n(1-i)2+(1+4i),求实数m,n的值.第2页，共11页

.某校高二年级的数学兴趣小组采取抽签方式随机分成甲、乙两个小组进行数学解题对抗赛.每组各20人，根据各位学生在第三次数学解题对抗赛中的解题时间（单位：秒）绘制了如图茎叶图：（1）请评出第三次数学对抗赛的优胜小组，并求出这40位学生完成第三次数学解题对抗赛所需时间的中位数m；（2）对于（1）中的中位数m，根据这40位学生完成第三次数学对抗赛所需时间超过m和不超过m的人数，完成下面的列联表，并判断能否有99%的把握认为甲、乙两个小组在此次的数学对抗赛中的成绩有差异？超过m不超过m总计甲组乙组总计P(K2>k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828.(1)证明：若％>0,y>0,贝U 二；(2(2)已知_.,：=l,求证:sin2a=2-2cos2a..已知｛与｝是等差数列，其前2n+1项中的奇数项的和与偶数项的和之差为an+.（1）请证明这一结论对任意等差数列也an｝（｛an｝中各项均不为零）恒成立；（2）请类比等差数列的结论，对于各项均为正数的等比数列｛2｝,提出猜想，并加以证明.第3页，共11页

.国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.如表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据:月份1234567违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用尸a+bx与尸c-dx（b<0,0Vd<1）哪一个更适宜作为违法案件数y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y关于x的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.参考数据：y工：=遇/102.5462.141.5494536.186140346.74其中匕=lg%,••一」「参考公式：对一组数据51，匕），（u2,v2）,…，（un，匕），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=——-,=「.'，.g时4-加B$第4页，共11页答案和解析.【答案】D【解析】解：已知复数z=a+bi(aER,bGR)，其中a,b分别叫做复数z的实部与虚部，・・.z=10-4i的虚部为-4,故选：D.直接利用复数的虚部的定义即可求出结果.本题主要考查了复数的虚部概念，是基础题..【答案】C【解析】解：根据结构图的概念可得，其基本要素之间一般为概念上的从属关系或逻辑上的先后关系.故选：C根据结构图反映的要素之间关系即可得解.本题主要考查了结构图的概念，属于基础题..【答案】B【解析】解：•・•：=-，二：--：；-；，・z所对应的向量坐标为(-3,-1).故选：B.利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题..【答案】A【解析】解：流程图的功能常常用来表示一些动态过程，可以判断A正确.故选：A.通过流程图与结构图的功能判断选项的正误即可.本题考查流程图与结构图的功能的应用，是基本知识的考查..【答案】C【解析】解：回归直线必过样本点的中心，正确；残差图的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，正确；根据回归分析的基本思想和初步应用的知识可得，残差平方和-；/1•'一'」越小，说明模型的拟合效果越好，故C不正确；相关指数R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，正确；故选：C.利用回归直线方程的性质，判断A正确；残差的性质判断B，残差的平方和判断C,利用相关指数判断选项D的正误.本题考查命题的真假的判断与应用，是基本知识的考查，基础题..【答案】B【解析】解：由于f(x)=cos(3x2+2)不是余弦函数，所以小前提不正确.故选：B.根据题意，分析该演绎推理的三段论形式，据此分析可得到答案.第5页，共11页本题考查演绎推理的应用，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题..【答案】A【解析】解：已知复数z=-1+2i，则—「3,所以对应的点(-1，-2)在第三象限，故①不正确；二：因为复数不能比较大小，故④不正确.故选：A.利用复数的运算性质、几何意义、共轭复数的定义等基础知识即可得出.本题考查了复数的运算性质、几何意义、共轭复数的定义等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】C【解析】解：由题中各式可得到规律：讪n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+4=1(nGN),•••2019=4x504+3,i2019=-i.故选：C.先通过观察已知等式得到规律，再利用规律即可求出i2019的值.本题主要考查了in运算，以及简单的合情推理，是基础题..【答案】B【解析】解：因为独立性检验常用等高条形图表示列联表数据的频率特征，故①正确；独立性检验依据的是小概率原理，故②正确；独立性检验的结果是不完全正确的，故③不正确；对分类变量X与y的随机变量的观测值k2来说，k越大，X与y有关系的把握程度才越大，故④不正确.故选：B.利用独立性检验的定义及其性质即可判断出真假.本题考查了独立性检验的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】D【解析】解：若甲获得冠军，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符；若乙获得冠军，则小王、小李、小赵的预测不正确，与题意不符；若丙获得冠军，则四个人的预测都不正确，与题意不符；若丁获得冠军，则小王、小李的预测都正确，小张和小赵预测的都不正确，与题意相符.故选：D.分别假设获得冠军的团队是甲、乙、丙、丁，分析四位同学的预测结果，能求出正确结果.本题考查学生的逻辑推理能力，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题..【答案】B【解析】解：根据三角形的内切圆和旁切圆可得与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个，由此类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等，第6页，共11页还有四个旁切球的球心到四个面所在平面的距离相等，因此在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有且只有5个.故选：B.类比到四面体中，四面体的内切球的球心到四个面所在平面的距离相等，还有四个旁切球的球心到四个面所在平面的距离相等，由此能求出在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点的个数.本题考查在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点的个数的判断，考查演绎推理、归纳推理、类比推理等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，属于基础题..【答案】A【解析】解：观察算式可得到规律：TOC\o"1-5"\h\zl@1 1项1@22@1 2项1@32@23@1 3 项1@42@33@24@1 4 项1@52@43@34@25@1 5 项1@62@53@44@35@26@1 6项根据以上规律可得：1@n,2@(n-1),…，n@1,共有n项，所以从1@1,1@2,2@1,……，到14@1,共有_ ="七项，再加上1@15,2@14,3@13,4@12这4项，共109项.故4@12是第109项，故选：A.根据以上规律可得：1@n,2@(n-1),…，n@1,共有n项所以从1@1,1@2,2@1,……，一，...n…"a一一一.. 、、一..至1」14@1,共有 . ="小项，再加上1@15,2@14,3@13,4@12这4项，共109项.故4@12是第109项.本题主要考查了归纳推理，是中档题..【答案】丙【解析】解：线性回归模型中R2越接近1,效果越好，所以丙组效果最好.故答案为：丙.根据线性回归模型中R2越接近1,拟合效果越好，即可得解.本题考查线性回归模型中R2的性质，属于基础题..【答案】归纳推理【解析】解：推理是人们思维活动的过程，是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，一般分为合情推理和演绎推理，合情推理又分为归纳推理和类比推理.故答案为：归纳推理.根据要素之间关系是从属关系，即可得出结论.本题考查的知识点是结构图，由于结构图反映的要素之间关系有:从属关系和逻辑关系..【答案】一丁卜；;第7页，共11页

【解析】解：（法一）根据规律，可猜，I京，一=将.<I：♦、•"，将n=14代入，■J 8-F" &—zn„a714 147T 14?r 1胆可得一| =「；.•、.I；：；；・=：I.：./、,一、.n...巴14一汗一..三 . "...斤、士,.A.（法一）一I，二［•,；' .，<，1\' ，i，..I.■.（法一）根据已知等式，归纳出规律，即可计算；（法二）直接利用三角函数公式化简求值.本题主要考查了归纳推理，是基础题..【答案】5【解析】解：由回归直线方程过样本中心点,上•.一，可将，,—1代入一一1".+1,得所以原数据的样本中心点为（-2,4）,去掉两组数据（-1.7,2.9）,（-2.3,5.1）后的新数据的•，=। :,第一二碗-0.9+51)碗-0.9+51)y=-u-2—二4一.，将（-2一.，将（-2,4）代入得.一二因为新数据的回归直线方程为当％'=-3时，=三故答案为：5.先通过回归直线方程过样本中心点，可求出,，从而得到样本中心点，然后算出去掉两组数据后的新数据的样本中心点，并将其代入新回归直线方程即可求得,，进而得解.•A本题考查回归直线方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题..【答案】解：（1）运用结构图可以恰当的表示所学知识结构：厂|回归分析统计案例卜T一语’检总（2）运用流程图可以恰当的表示“建立回归模型的基本步骤”：第8页，共11页

第一步：确定解释变量和预报变量第二步：画出解释娈量和预报变量的散点图第三步：由经脸确定回归方程的类型第四步求回归方程第五步：判断所建立模型的拟合效果【解析】(1)运用结构图的画法即可表示所学知识结构.(2)运用流程图的画法即可表示“建立回归模型的基本步骤”.本题主要考查了流程图，结构图的画法，属于基础题..【答案】解：(1)•••复数z是虚数，.•」-m2，0，解得m丹1.m¥±1时，复数z是虚数.(2)复数z+m=n(1-i)2+(1+4i),二(m2+2m-2)-(1-m2)i=1+(4-2n)i,m2+2m-2=1,-(1-m2)=4-2n,联立解得：m=1,n=2；m=-3,n=-2.【解析】(1)由复数z是虚数，可得1-m2，0,解得m.(2)复数z+m=n(1-i)2+(1+4i),可得：(m2+2m-2)-(1-m2)i=1+(4-2n)i,根据复数相等可得：m2+2m-2=1,-(1-m2)=4-2n，联立解得：m,n.本题考查了复数的运算性质、复数相等、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题..【答案】解：(1)第三次数学对抗赛的优胜小组是乙组，这40位学生完成第三次数学解题对抗赛所需时间的中位数:1=：：。；(2)甲组、乙组学生完成第三次数学对抗赛所需时间是否超过中位数m的列联表:超过m超过m甲组15乙组5总计20不超过m总计52015202040假设甲、乙两组学生的成绩无差异，40(KX40(KX1J:乂行=Hi>6,635,・••有99%的把握认为甲、乙两个小组在此次的数学对抗赛中的成绩有差异.【解析】(1)由茎叶图可得40个数据的中间两个数，则中位数可求；(2)由茎叶图完成2x2列联表，求出K2的值，结合临界值表得结论.本题考查由茎叶图求中位数，训练了独立性检验的应用，考查计算能力，是中档题.第9页，共11页.【答案】证明：（1）：当l>0,y>0,欲证.— ,则只需证：（%+y）2>4%y,即证：（%+y）2-4%y>0,即证：％2-2%y+y2>0,即证：（％-y）2>0,显然恒成立，故一成立.r一，+1/1（2）由已知二.一=1,可得tana=.,.〜〜ZsinnftTDicr+Zfcoj'fli-Ztana+Z—2tanLa2〜・・・sin2a+2cos2a= = . ==2.sin'flf+£oslit tcrrT@+1.♦•sin2a=2-2cos2a,命题成立.【解析】(1)用分析法时等价转化证明即可，先两边平方，再进行化简；(2)利用同角的三角函数的关系，二倍角公式即可证明.本题考查了基本不等式的应用和分析法证明不等式，当用综合法不易发现解题途径时，我们可以从求证的不等式出发，逐步分析寻求使这个不等式成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的不等式成立，这种执果所因的思考和证明方法叫做分析法..【答案】(1)证明：由题意，记S奇为等差数列｛%｝前2n+1项中奇数项的和，S偶为等差数列｛叫前2n+1项中偶数项的和.则S奇=%+廿%+…+&n+1，S偶=a2+a4+…+a2n,.S奇-S偶=(%+%+4+•••+a2n+J-(a2+a4+…+aa2n)=a1+(a3-4)+(a5-%，+-+(a2n+1-a2n)=a1+d+d+…+d=a1+nd=an+1..命题成立.(2)猜想：各项均为正数的等比数列｛2｝,其前2n+1项中奇数项的积与偶数项的积的比为人证明：记各项均为正数的等比数列｛bn｝的前2n+1项中奇数项的积为T奇，偶数