线性代数建模

线性代数建模第1页，共103页，2023年，2月20日，星期日目录§1线性代数内容简介(同济五版)§2线性代数教材（略）§3线性代数及其应用§4线性代数在数学建模中的应用举例第2页，共103页，2023年，2月20日，星期日§3线性代数内容简介

第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性第五章相似矩阵及二次型第六章线性空间与线性变换第3页，共103页，2023年，2月20日，星期日§3线性代数及其应用教材《线性代数及其应用》作者：（美）莱（Lay,D.C.）著，刘深泉等译ISBN：10位［7111167090］13位［9787111167099］出版社：机械工业出版社

第4页，共103页，2023年，2月20日，星期日内容提要线性代数是处理矩阵和向量空间的数学分支，在现代科学的各个领域都有应用。本书是一本优秀的现代教材，给出最新的线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助学生掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外，本书包含大量的练习题、习题、例题等，便于读者参考。本书内容深入浅出，论述清晰，适合作为高等院校理工科线性代数课程的教材，还可作为相关研究人员的参考书。第5页，共103页，2023年，2月20日，星期日本书特点●介绍了线性代数的基本概念、理论和证明，包含大量例题、练习题、习题等，广泛选取的应用说明了线性代数的作用，可以用于在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、经济学和统计学中解释基本原理和简化计算。●提前介绍重要概念，许多基本概念含在每章开始的“介绍性实例”中，然后从不同的观点逐步深入讨论。●矩阵乘法采用了现代观点，本书在定义和证明中处理的是矩阵的列，而不是矩阵的元素，这种现代方法简化了许多论据，且将向量空间思想和线性系统的研究联系在一起。●结合应用数学软件，强调了计算机对科学和工程学中线性代数的发展和实践的影响。“数值计算的注解”指出了数值计算中出现的问题，以及理论概念（如矩阵求逆）和计算机实现（如LU分解）之间的区别。第6页，共103页，2023年，2月20日，星期日作者简介DavidC.Lay在美国加利福尼亚大学获得硕士和博士学位。他是马里兰大学帕克学院数学系教授，同时还是阿姆斯特丹大学、阿姆斯特丹自由大学和德国凯泽斯劳滕大学的访问教授。Lay教授是“线性代数课程研究小组”的核心成员，发表了30多篇关于泛函分析和线性代数方面的论文，并与他人合著有多部数学教材。第7页，共103页，2023年，2月20日，星期日目录第1章线性代数中的线性方程组介绍性实例经济学与工程中的线性模型

1.1线性方程组

1.2行化简与阶梯形矩阵

1.3向量方程

1.4矩阵方程

1.5线性方程组的解集

1.6线性方程组的应用

1.7线性无关

1.8线性变换介绍

1.9线性变换的矩阵

1.10经济学、科学和工程中的线性模型第1章补充习题

第8页，共103页，2023年，2月20日，星期日第2章矩阵代数介绍性实例飞机设计中的计算机模型

2.1矩阵运算

2.2矩阵的逆

2.3可逆矩阵的特征

2.4分块矩阵

2.5矩阵因式分解

2.6列昂惕夫投入产出模型

2.7计算机图形学中的应用

2.8Rn的子空间

2.9维数与秩第2章补充习题第3章行列式介绍性实例解析几何中的行列式

3.1行列式介绍

3.2行列式的性质

3.3克拉默法则、体积和线性变换第3章补充习题

第9页，共103页，2023年，2月20日，星期日第4章向量空间介绍性实例空间飞行与控制系统

4.1向量空间与子空间

4.2零空间、列空间和线性变换

4.3线性无关集和基

4.4坐标系

4.5向量空间的维数

4.6秩

4.7基的变换

4.8差分方程中的应用

4.9马尔可夫链中的应用第4章补充习题第5章特征值与特征向量介绍性实例动力系统与斑点猫头鹰

5.1特征向量与特征值

5.2特征方程

5.3对角化

5.4特征向量与线性变换

5.5复特征值

5.6离散动力系统

5.7微分方程中的应用

5.8特征值的迭代估计第5章补充习题

第10页，共103页，2023年，2月20日，星期日第6章正交性和最小二乘法介绍性实例重新整理北美地质数据

6.1内积、长度和正交性

6.2正交集

6.3正交投影

6.4格拉姆-施密特方法

6.5最小二乘问题

6.6线性模型中的应用

6.7内积空间

6.8内积空间的应用第6章补充习题第7章对称矩阵和二次型介绍性实例多波段的图像处理

7.1对称矩阵的对角化

7.2二次型

7.3条件优化

7.4奇异值分解

7.5图像处理和统计学中的应用第7章补充习题第11页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4线性代数在数学建模中的应用举例§4.1距离问题§4.2状态转移问题§4.3马氏链模型（常染色体遗传模型、竞赛模型）§4.4差分方程模型（市场经济的蛛网模型、国民经济的稳定性、投入产出分析、商品销售量预测、人口问题的差分方程模型）第12页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.1距离问题

§4.1.1基因间“距离”的表示§4.1.2常见的距离公式（聚类分析,相似性度量）第13页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.1.1基因间“距离”的表示第14页，共103页，2023年，2月20日，星期日第15页，共103页，2023年，2月20日，星期日第16页，共103页，2023年，2月20日，星期日第17页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.1.2常见的距离公式（聚类分析）绝对值距离欧式距离明考斯基距离兰氏距离马氏距离第18页，共103页，2023年，2月20日，星期日绝对值距离两个n维向量X1与X2，距离D=∣x11-x21∣+∣x12-x22∣+…+∣x1n-x2n∣第19页，共103页，2023年，2月20日，星期日欧式距离(分量平方求和再开方)

欧氏距离定义：欧氏距离（Euclideandistance）也称欧几里得距离，它是一个通常采用的距离定义，它是在m维空间中两个点之间的真实距离。在二维和三维空间中的欧式距离的就是两点之间的距离，二维的公式是

d=sqrt((x1-x2)^+(y1-y2)^)三维的公式是

d=sqrt(x1-x2)^+(y1-y2)^+(z1-z2)^)推广到n维空间，欧式距离的公式是

d=sqrt(∑(xi1-xi2)^)这里i=1,2..n

xi1表示第一个点的第i维坐标,xi2表示第二个点的第i维坐标

n维欧氏空间是一个点集,它的每个点可以表示为(x(1),x(2),...x(n)),其中x(i)(i=1,2...n)是实数,称为x的第i个坐标,两个点x和y=(y(1),y(2)...y(n))之间的距离d(x,y)定义为上面的公式.欧氏距离看作信号的相似程度。距离越近就越相似，就越容易相互干扰，误码率就越高。第20页，共103页，2023年，2月20日，星期日明考斯基距离(分量p次方求和再开p次方)d=(∑(x1i-x2i)p)1/p这里i=1,2..n兰氏距离d=1/p∑∣x1i-x2i∣/(x1i+x2i)这里i=1,2..n第21页，共103页，2023年，2月20日，星期日马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯(P.C.Mahalanobis)提出的，表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知ion=edit">样本集的相似度的方法。与ion=edit">欧式距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系（例如：一条关于身高的信息会带来一条关于体重的信息，因为两者是有关联的）并且是尺度无关的(scale-invariant)，即独立于测量尺度。第22页，共103页，2023年，2月20日，星期日第23页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.2状态转移问题所谓状态转移问题讨论的是在一定的条件下，系统由一状态逐步转移到另一状态是否可能，如果可以转移的话，应如何具体实现？

例4.1

人、狗、鸡、米过河问题这是一个人所共知而又十分简单的智力游戏。某人要带狗、鸡、米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米，问此人应如何过河。在本问题中，可采取向量表示状态：一物（或人）在此岸时相应位置用1表示，在彼岸时用0表示。例如（1,0,1,0）表示人和鸡在此岸，而狗和米则在对岸。第24页，共103页，2023年，2月20日，星期日（i）可取状态：根据题意，并非所有状态都是允许的，例如（0,1,1,0）就是一个不可取的状态。本题中可取状态（即系统允许的状态）可以用穷举法列出来，它们是：人在此岸人在对岸(1，1，1，1)(0，0，0，0)(1，1，1，0)(0，0，0，1)(1，1，0，1)(0，0，1，0)(1，0，1，1)(0，1，0，0)(1，0，1，0)(0，1，0，1)共有十个可取状态，对一般情况，应找出状态为可取的充要条件。（ii）可取运算：状态转移需经状态运算来实现。在实际问题中，摆一次渡即可改变现有状态。为此也引入一个四维向量（转移向量），用它来反映摆渡情况。例如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡过河。根据题意，允许使用的转移向量只能有（1，0，0，0，）、（1，1，0，0）、（1，0，1，0）、（1，0，0，1）四个。第25页，共103页，2023年，2月20日，星期日规定一个状态向量与转移向量之间的运算。规定状态向量与转移向量之和为一新的状态向量，其运算为对应分量相加，且规定0+0=0，1+0=0+1=1，1+1=0。

在具体转移时，只考虑由可取状态到可取状态的转移。问题化为：由初始状态（1，1，1，1）出发，经奇数次上述运算转化为（0，0，0，0）的转移过程。我们可以如下进行分析：（第一次渡河）第26页，共103页，2023年，2月20日，星期日（第二次渡河）＝以下可继续进行下去，直至转移目的实现。上述分析实际上采用的是穷举法，对于规模较大的问题是不宜采用的。第27页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.2夫妻过河问题这是一个古老的阿拉伯数学问题。有三对夫妻要过河，船最多可载两人且无船夫，且所有人均会划船。约束条件是阿拉伯教义，任何已婚女子不得在其丈夫不在场的情况下与其他男子呆在一起，否则将被处死！问此时这三对夫妻能否安全过河？这一问题的状态和运算与前一问题有所不同，根据题意，状态应能反映出两岸的男女人数，过河也同样要反映出性别

故可如下定义：（i）可取状态：用H和W分别表示此岸的男子和女子数，状态可用矢量（H，W）表示，其中0≤H、W≤3。可取状态为（0,i），(i,i)，(3,i)，0≤i≤3。(i,i)为可取状态，这是因为总可以适当安排而使他们是i对夫妻。（ii）可取运算：每次过河可以是一对夫妻、两个男人或两个女人，当然也可以是一人过河。转移向量可取成((－1)im,(－1)in)，其中m、n可取0、1、2，但必须满足1≤m+n≤2。当j为奇数时表示过河。当j为偶数时表示由对岸回来，运算规则同普通向量的加法。

第28页，共103页，2023年，2月20日，星期日问题归结为由状态(3,3)经奇数次可取运算，即由可取状态到可取状态的转移，转化为(0,0)的转移问题。和上题一样，我们既可以用计算机求解，也可以分析求解，此外，本题还可用作图方法来求解。在H~W平面坐标中，以“·”表示可取状态，从A(3,3)经奇数次转移到达O(0,0)。奇数次转移时向左或下移动1-2格而落在一个可取状态上，偶数次转移时向右或上移动1-2格而落在一个可取状态上。为了区分起见,用红箭线表示奇数次转移，用蓝箭线表示第偶数次转移,下图给出了一种可实现的方案,故A(3,3)O(0,0)HW这三对夫妻是可以过河的。假如按这样的方案过河,共需经过十一次摆渡。不难看出,在上述规则下,4对夫妻就无法过河了,读者可以自行证明之.类似可以讨论船每次可载三人的情况,其结果是5对夫妻是可以过河的,而六对以上时就无法过河了。

第29页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.3马氏链模型随着人类的进化，为了揭示生命的奥秘，人们越来越注重遗传学的研究，特别是遗传特征的逐代传播，已引起人们广泛的注意。无论是人，还是动、植物都会将本身的特征遗传给下一代，这主要是因为后代继承了双亲的基因，形成自己的基因对，由基因又确定了后代所表现的特征。本节将利用数学的马氏链方法来建立相应的遗传模型等，并讨论几个简单而又有趣的实例。马氏链（马尔柯夫链）研究的是一类重要的随机过程，研究对象的状态s(t)是不确定的，它可能取K种状态si(i=1,…,k)之一，有时甚至可取无穷多种状态。在建模时，时间变量也被离散化，我们希望通过建立两个相邻时刻研究对象取各种状态的概率之间的联系来研究其变化规律，故马氏链研究的也是一类状态转移问题。第30页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.6设某商店经营情况可能有三种状态：好（S1：利润丰厚）、一般（S2）和不好（S3：亏损）。根据统计资料，上月状态为Si，下月状态为Sj的概率为pij（i=1,2,3;j=1,2,3），0≤pij≤1例4.6中的关系既可用一转移矩阵表示第31页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.7研究某一草原生态系统中物质磷的循环，考虑土壤中含磷、牧草含磷、牛羊体内含磷和流失于系统之外四种状态，分别以S1，S2，S3和S4表示这四种状态。以年为时间参数，一年内如果土壤中的磷以0.4的概率被牧草生长吸收，水土流失于系统外的概率为0.2；牧草中的含磷以0.6的概率被牛羊吃掉而转换到牛羊体内，0.1的概率随牧草枯死腐败归还土壤；牛羊体中的磷以0.7的概率因粪便排泄而还归土壤，又以自身0.1的比率因屠宰后投放市场而转移到系统外。我们可以建立一个马尔柯夫链来研究此生态系统问题，其转移概率列表于下：1000S4流失系统外0.10.200.7S3羊体含磷00.60.30.1S2牧草含磷0.200.40.4S1土壤含磷i时段状态S4S3S2S1i+1时段状态状态转移概率第32页，共103页，2023年，2月20日，星期日相应的转移矩阵为：且Sj+1=SjM马氏链模型的性质完全由其转移矩阵决定，故研究马氏链的数学工具是线性代数中有关矩阵的理论。首先，任一转移矩阵的行向量均为概率向量，即有（1）（I,j=1,…,n）（2）（i=1,…,n）这样的矩阵被称为随机矩阵。第33页，共103页，2023年，2月20日，星期日常染色体遗传模型

下面给出双亲体基因型的所有可能的结合，以及其后代形成每种基因型的概率，如表所示。

在常染色体遗传中，后代从每个亲体的基因对中各继承一个基因，形成自己的基因时，基因对也称为基因型。如果我们所考虑的遗传特征是由两个基因A和a控制的，（A、a为表示两类基因的符号）那么就有三种基因对，记为AA，Aa，aa。

1000aa010Aa0001AA后代基因型aa－aaAa－aaAa－AaAA－aaAA－AaAA－AA父体——母体的基因型双亲随机结合的较一般模型相对比较复杂，这些我们仅研究一个较简单的特例。第34页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.8农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？（a）假设：令n=0,1,2,…。（i）设an,bn和cn分别表示第n代植物中，基因型为AA,Aa和aa的植物占植物总数的百分比。令x(n)为第n代植物的基因型分布：当n=0时表示植物基因型的初始分布（即培育开始时的分布）例4.8农场的植物园中某种植物的基因型为AA,Aa和aa。农场计划采用AA型的植物与每种基因型植物相结合的方案培育植物后代。那么经过若干年后，这种植物的任一代的三种基因型分布情况如何？第35页，共103页，2023年，2月20日，星期日（b）建模根据假设(ii)，先考虑第n代中的AA型。由于第n－1代的AA型与AA型结合。后代全部是AA型；第n－1代的Aa型与AA型结合，后代是AA型的可能性为1/2，而第n－1代的aa型与AA型结合，后代不可能是AA型。因此当n=1,2…时即类似可推出cn=0

显然有（ii）第n代的分布与第n－1代的分布之间的关系是通过表5.2确定的。(4.2)(4.3)(4.4)第36页，共103页，2023年，2月20日，星期日将（4.2）、（4.3）、（4.4）式相加，得根据假设(I)，可递推得出：对于(4.2)式.(4.3)式和(4.4)式，我们采用矩阵形式简记为其中（注：这里M为转移矩阵的位置）

(4.5)第37页，共103页，2023年，2月20日，星期日由（4.5）式递推，得(4.6)（4.6）式给出第n代基因型的分布与初始分布的关系。为了计算出Mn，我们将M对角化，即求出可逆矩阵P和对角库D，使M=PDP-1因而有Mn=PDnP-1,n=1,2,…其中这里，，是矩阵M的三个特征值。对于(4.5)式中的M，易求得它的特征值和特征向量：=1，=1/2，=0第38页，共103页，2023年，2月20日，星期日因此所以

通过计算，P-1=P，因此有第39页，共103页，2023年，2月20日，星期日即第40页，共103页，2023年，2月20日，星期日所以有当时，，所以从（4.7）式得到即在极限的情况下，培育的植物都是AA型。若在上述问题中，不选用基因AA型的植物与每一植物结合，而是将具有相同基因型植物相结合，那么后代具有三种基因型的概率如表所示。11/40aa01/20Aa01/41AA后代基因型aa－aaAa－AaAA－AA父体——母体的基因型第41页，共103页，2023年，2月20日，星期日并且，其中M的特征值为通过计算，可以解出与、相对应的两个线性无关的特征向量e1和e2，及与相对应的特征内量e3：因此第42页，共103页，2023年，2月20日，星期日解得：当时，，所以因此，如果用基因型相同的植物培育后代，在极限情况下，后代仅具有基因AA和aa。第43页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.9

常染体隐性疾病模型现在世界上已经发现的遗传病有将近4000种。在一般情况下，遗传疾病和特殊的种族、部落及群体有关。例如，遗传病库利氏贫血症的患者以居住在地中海沿岸为多，镰状网性贫血症一般流行在黑人中，家族黑蒙性白痴症则流行在东欧犹太人中间。患者经常未到成年就痛苦地死去，而他们的父母则是疾病的病源。假若我们能识别这些疾病的隐性患者，并且规定两个隐性患者不能结合（因为两个隐性病患者结合，他们的后代就可能成为显性患者），那么未来的儿童，虽然有可能是隐性患者，但绝不会出现显性特征，不会受到疾病的折磨。

第44页，共103页，2023年，2月20日，星期日现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。

（a）假设（i）常染色体遗传的正常基因记为A，不正常基因记为a，并以AA，Aa，aa

分别表示正常人，隐性患者，显性患者的基因型（ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为

AA，Aa的人占总人数的百分比，记，n=1,2,…（这里不考虑aa型是因为这些人不可能成年并结婚）（iii）为使每个儿童至少有一个正常的父亲或母亲，因此隐性患者必须与正常人结合，其后代的基因型概率由下表给出：1/20Aa1/21AA后代基因型AA－AaAA－AA父母的基因型第45页，共103页，2023年，2月20日，星期日（b）建模由假设（iii），从第n－1代到第n代基因型分布的变化取决于方程所以，其中如果初始分布x(0)已知，那么第n代基因型分布为解将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得第46页，共103页，2023年，2月20日，星期日计算=(4.8)因为，所以当时，，隐性患者逐渐消失。从(4.8)式中可知每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1/2。

(4.9)第47页，共103页，2023年，2月20日，星期日（c）模型讨论研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以把（4.9）式改写为(4.10)下面给会出数值例子：某地区有10%的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制结合，根据（4.9）式可知下一代（大约27年）的隐性患者将减少到5%；如果随机结合，根据（4.10）式，可以预言下一代人中有9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生400个黑人孩子，其中有一个是显性患者。第48页，共103页，2023年，2月20日，星期日（近亲繁殖）近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其中□代表男性，○代表女性。设曾祖父有某基因对A1A2，曾祖母有某基因对A3A4，容易求得：祖父母各自取得A1的概率为1/2，故祖父母同有A1基因的概率为1/4；父母同有A1基因的概率为1/16，而子女从父母那里获得基因对A1A1的概率为1/64，而获得相同基因对（称为基因纯合子）A1A1、A2A2、A3A3或A4A4之一的概率为1/16,此概率被称为表兄妹(或堂兄妹)结婚(表亲)的近交系数。类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数为1/32，从表亲（父母为表亲）的近交系数为1/64；非近亲结婚不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基因对的情况，故近交系数为0。第49页，共103页，2023年，2月20日，星期日（群体的近交系数）设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如，某村镇共有2000对婚配关系，其中有59对表亲，22对半堂亲和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为现在，我们来研究近亲结婚会产生什么结果。设某基因对由A、a两种基因组成，出现A的概率为p，出现a的概率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女为AA、Aa及aa型的概率分别为p2、2pq及q2。对近交系数为F的群体，根据条件概率公式，后代出现aa型基因对的概率为第50页，共103页，2023年，2月20日，星期日比较存在近亲交配的群体与不允许近亲交配(F=0)的群体，令若a为某种隐性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产生遗传病（aa型）的概率增大了，且F越大，后代患遗传病的概率也越大。同样，后代出现AA型基因对的概率为p2+Fpq。Aa型不可能是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-F)。第51页，共103页，2023年，2月20日，星期日例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子aa型疾病（a为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率，求表兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。由前，表兄妹结婚的近交系数为1/16,故其子女发生该疾病的概率为而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率仅为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病的概率增大为大约7.19倍，由此可见，为了提高全民族的身体素质，近亲结婚是应当禁止的。第52页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.10

X—链遗传模型的一个实例X—链遗传是指另一种遗传方式：雄性具有一个基因A或a，雌性具有两个基因AA，或Aa，或aa。其遗传规律是雄性后代以相等概率得到母体两个基因中的一个，雌性后代从父体中得到一个基因，并从母体的两个基因中等可能地得到一个。下面，研究与X—链遗传有关的近亲繁殖过程。（a）假设（i）从一对雌雄结合开始,在它们的后代中,任选雌雄各一个成配偶,然后在它们产生的后代中任选两个结成配偶,如此继续下去,(在家畜、家禽饲养中常见这种现象)（ii）父体与母体的基因型组成同胞对，同胞对的形式有

(A,AA),(A,Aa),(A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa)6种。初始一对雌雄的同胞对，是这六种类型中的任一种，其后代的基因型如下表所示。第53页，共103页，2023年，2月20日，星期日（iii）在每一代中，配偶的同胞对也是六种类型之一，并有确定的概率。为计算这些概率,设an,bn,cn,dn,en,fn

分别是第n代中配偶的同胞对为(A,AA)，(A,Aa)，(A,aa),(a,AA),(a,Aa),(a,aa)型的概率，n=0,1,…。令（iv）如果第n－1代配偶的同胞对是（A,Aa）型，那么它们的雄性后代将等可能地得到基因A和a，它们的雌性后代的基因型将等可能地是AA或Aa。又由于第n

代雌雄结合是随机的，那么第n代配偶的同胞对将等可能地为四种类型(A,AA),(A,Aa),(a,AA),(a,Aa)之一，对于其它类型的同胞对，我们可以进行同样分析，因此有11/20000aa01/2111/20Aa00001/21AA11/2011/20a01/2101/21AA后代基因型(a,aa)(a,Aa)(a,AA)(A,aa)(A,Aa)(A,AA)父体——母体的基因型(4.11)第54页，共103页，2023年，2月20日，星期日其中从（4.11）式中易得经过计算，矩阵M的特征值和特征向量为

，，，，，第55页，共103页，2023年，2月20日，星期日,M对角化，则有(4.12)第56页，共103页，2023年，2月20日，星期日其中：第57页，共103页，2023年，2月20日，星期日第58页，共103页，2023年，2月20日，星期日当时因此，当时，（4.12）式中第59页，共103页，2023年，2月20日，星期日即因此，在极限情况下所有同胞对要么是（A,AA）型，要么是（a,aa）型。如果初始的父母体同胞对是（A,Aa）型，即b0=1，而a0=c0=d0=e0=f0=0，于是，当时即同胞对是(A,AA)型的概率是2/3，是(a,aa)型的概率为1/3。第60页，共103页，2023年，2月20日，星期日（正则链与吸收链）根据转移矩阵的不同结构，马氏链可以分为多个不同的类型，这里，我们只简单介绍其中常见而又较为重要的两类：正则链与吸收链。定义2对于马氏链，若存在一正整数K，使其转移矩阵的K次幂MK>0（每一分量均大于0），则称此马尔链为一正则（regular）链。定理2若A为正则链的转移矩阵，则必有：（1）当时，，其中W为一分量均大于零的随机矩阵。（2）W的所有列向量均相同。第61页，共103页，2023年，2月20日，星期日定理3记定理2中的随机矩阵W的列向量为V=(v1,…,vn),则：（1）对任意随机向量x，有（2）V是A的不动点向量,即VA=V,A的不动点向量是唯一的。定义3状态Si称为马氏链的吸收状态，若转移矩阵的第i列满足：Pii=1，Pij=0（j≠i）定义4马氏链被称为吸收链，若其满足以下两个条件：（1）至少存在一个吸收状态。（2）从任一状态出发,经有限步转移总可到达某一吸收状态根据定义3，例4.7中状态S4即为一吸收链第62页，共103页，2023年，2月20日，星期日具有r个吸收状态，n－r个非吸收状态的吸收链，它的n×n转移矩阵的标准形式为（注：非标准形式可经对状态重新编号）其中Ir为r阶单位阵，O为r×s零阵，R为s×r矩阵，S为s×s矩阵。令其中的子阵Sn表达了以任何非吸收状态作为初始状态，经过n步转移后，处于s个非吸收状态的概率。在吸收链中，令F=(I－S)-1，称F为基矩阵。第63页，共103页，2023年，2月20日，星期日定理4吸收链的基矩阵F中的每个元素，表示从一个非吸收状态出发，到达另一非吸收状态的平均转移次数。定理5设N=FC，F为吸收链的基矩阵，C=(1,1,…,1)T，则N

的每个元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态被吸收之前的平均转移次数。定理6设B=FR=（bij），其中F为吸收链的基矩阵，R为标准 形式T中的子阵，则bij表示从非吸收状态i出发，被吸收 状态j吸收的概率。第64页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.12（竞赛问题）甲乙两队进行一场抢答竞赛，竞赛规则规定：开始时每队各记2分，抢答题开始后，如甲取胜则甲加1分而乙减1分，反之则乙加1分甲减1分,(每题必需决出胜负)。规则还规定，当其中一方的得分达到4分时，竞赛结束。现希望知道：（1）甲队获胜的概率有多大？（2）竞赛从开始到结束，平均转移的次数为多少？（3）甲获得1、2、3分的平均次数是多少？设甲胜一题的概率为p，（0<p<1），p与两队的实力有关。甲队得分有5种可能，即0，1，2，3，4。我们分别记为状态S0，S1，S2，S3，S4，其中S0和S4是吸收状态，a1，a2和a3是非吸收状态。过程以S2作为初始状态。根据甲队赢得1分的概率为p，建立转移矩阵：第65页，共103页，2023年，2月20日，星期日S

0S

1

S

2S

3S

4

将上式改记为标准形式T：其中第66页，共103页，2023年，2月20日，星期日计算F：令q=1-p，则因为a2是初始状态，根据定理4，甲队获分为1，2，3分的平均次数为，，。又

第67页，共103页，2023年，2月20日，星期日==根据定理5，以a2为初始状态，甲队最终获胜的平均转移欠数为。又因为，根据定理6，甲队最后获胜的概率。第68页，共103页，2023年，2月20日，星期日§4.4差分方程建模

一、差分方程简介以t表示时间，规定t只取非负整数。t=0表示第一周期初，t=1表示第二周期初等。记yt为变量y在时刻t时的取值，则称为yt的一阶差分，称为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。由t、yt及yt的差分构成的方程称为yt差分方程，其中含的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程也可改写成第69页，共103页，2023年，2月20日，星期日满足一差分方程的序列yt称为此差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解，例如，考察两阶差分方程易见与均是它的特解，而则为它的通解，其中c1，c2为两个任意常数。类似于微分方程，称差分方程

为n阶线性差分方程，当≠0时称其为n阶非齐次线性差分方程，而第70页，共103页，2023年，2月20日，星期日则被称为方程对应的齐次线性差分方程。若所有的ai(t)均为与t无关的常数，则称其为常系数差分方程，即n阶常系数线性差分方程可写成（4.15）

的形式，其对应的齐次方程为（4.16）

容易证明，若序列与均为方程（4.16）的解，则也是方程（4.16）的解，其中c1、c2为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个线性空间（解空间）。

此规律对于（4.15）也成立。第71页，共103页，2023年，2月20日，星期日方程（4.15）可用如下的代数方法求其通解：（步一）先求解对应的特征方程

（4.17）

（步二）根据特征根的不同情况，求齐次方程(4.16)的通解

情况1若特征方程（4.17）有n个互不相同的实根,…,，则齐次方程（4.16）的通解为(C1,…,Cn为任意常数)，情况2若λ

是特征方程（4.17）的k重根，通解中对应于λ的项为为任意常数，i=1,…,k。情况3若特征方程（4.17）有单重复根通解中对应它们的项为为λ的模，为λ的幅角。

第72页，共103页，2023年，2月20日，星期日情况4若为特征方程（4.17）的k重复根，则通解对应于它们的项为为任意常数，i=1,…,2k。

.若yt为方程(4.16)的通解,则非齐次方程(4.15)的通解为（步三）求非齐次方程(4.15)的一个特解

求非齐次方程（4.15）的特解一般要用到常数变易法，计算较繁。对特殊形式的b(t)也可使用待定系数法。第73页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.13求解两阶差分方程解对应齐次方程的特征方程为，其特征根为，对应齐次方程的通解为

原方程有形如的特解。代入原方程求得，，故原方程的通解为在应用差分方程研究问题时，一般不需要求出方程的通解，在给定初值后，通常可用计算机迭代求解，但我们常常需要讨论解的稳定性。对差分方程(4.15),若不论其对应齐次方程的通解中任意常数C1,…,Cn如何取值,在时总有,则称方程(7.14)的解是稳定的,否则称其解为不稳定的.根据通解的结构不难看出,非齐次方程(4.15)稳定的充要条件为其所有特征根的模均小于1。第74页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.14（市场经济的蛛网模型）在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。另一方面，生产者提供的商品数量又是由该商品的价格决定的，价格上升将刺激生产者的生产积极性，导致商品生产量的增加。反之，价格降低会影响生产者的积极性，导致商品生产量的下降。在市场经济中，对每一商品事实上存在着两个不同的函数：（1）供应函数x=f(P)，它是价格P的单增函数，其曲线称为供应曲线。（2）需求函数x=g(P)，它是价格P的单降函数，其曲线称为需求曲线，供应曲线与需求曲线的形状如图所示。第75页，共103页，2023年，2月20日，星期日记t时段初市场上的供应量(即上一时段的生产量)为xt，市场上该商品的价格为Pt。商品成交的价格是由需求曲线决定的，即随着,Mt将趋于平衡点M*,即商品量将趋于平衡量x*,价格将趋于平衡价格P*。图中的箭线反映了在市场经济下该商品的供应量与价格的发展趋势。xoPP0P2P*P1xx1x2x0x*需求曲线供应曲线M0M2M1M*①PoM3M2M1②第76页，共103页，2023年，2月20日，星期日图①和图②的区别在哪里，如何判定平衡点的稳定性呢？但是，如果供应曲线和需求曲线呈图②中的形状，则平衡点M*是不稳定的，Mt将越来越远离平衡点。即使初始时刻的供应量和价格对应于平衡点，一点微小的波动也会导致市场供求出现越来越严重的混乱。上述用图示法分析市场经济稳定性的讨论在经济学中被称为市场经济的蛛网模型。不难看出，在图①中平衡点M*处供应曲线的切线斜率大于需求曲线切线斜率的绝对值，而在图②中情况恰好相反。第77页，共103页，2023年，2月20日，星期日现在利用差分方程方法来研究蛛网模型，以验证上述猜测是否正确。我们知道，平衡点M*是否稳定取决于在M*附近供、需曲线的局部性态。为此，用M*处供、需曲线的线性近似来代替它们，并讨论此线性近似模型中M*的稳定性。设供应曲线与需求曲线的线性近似分别为

和式中，a、b分别为供应曲线在M*处的切线斜率与需求曲线在M*处切线斜率的绝对值。

根据市场经济的规律，当供应量为xt时，现时段的价格，又对价格，由供应曲线解得下一时段的商品量

第78页，共103页，2023年，2月20日，星期日由此导出一阶差分方程：（4.18）而此差分方程的解在(b/a)<1时是稳定的，从而证实了我们的猜测。注意到a和b的实际含义，上述结果在经济学上可作如下解释：当a>b时，顾客需求对价格的敏感度较小（小于生产者的敏感程度），商品供应量和价格会自行调节而逐步趋于稳定；反之，若a<b（商品紧缺易引起顾客抢购），该商品供售市场易造成混乱.如果生产者对市场经济的蛛网模型有所了解，为了尽可能减少因价格波动而造成的经济损失，他应当提高自己的经营水平，不应当仅根据上一周期的价格来决定现阶段的生产量。比如他可以根据本时段与前一时段价格的平均值来确定生产量。此时，若t时段的商品量为xt

时，仍有第79页，共103页，2023年，2月20日，星期日（4.21）将（4.19）式、（4.21）式代入（4.20）式，整理得（4.19）但t+1时段的商品量则不再为而被修正为（4.20）由（4.19）式得（4.22）（4.22）式是一个常系数二阶线性差分方程，特征方程为其特征根为第80页，共103页，2023年，2月20日，星期日记。若，则此时差分方程（4.22）是不稳定的。

，若，此时特征根为一对共轭复数，。

由线性差分方程稳定的条件，当r<2即b<2a时（4.22）式是稳定的，从而M*是稳定的平衡点。不难发现，生产者管理方式的这一更动不仅使自己减少了因价格波动而带来的损失，而且大大消除了市场的不稳定性。生产者在采取上述方式来确定各时段的生产量后，如发现市场仍不稳定（b≥2a），可按类似方法试图再改变确定生产量的方式，此时可得到更高阶的差分方程。对这些方程稳定性条件的研究很可能会导出进一步稳定市场经济的新措施。第81页，共103页，2023年，2月20日，星期日例4.15

国民经济的稳定性国民收入的主要来源是生产，国民收入的开支主要用于消费资金、投入再生产的积累资金及政府用于公共设施的开支。现在我们用差分方程方法建立一个简略的模型，粗略地分析一下国民经济的稳定性问题。再生产的投资水平It取决于消费水平的变化量，设政府用于公共设施的开支在一个不太大的时期内变动不大，设为常数G。故由可得出。将及代入。

记yt为第t周期的国民收入，Ct为第t周期的消费资金。Ct的值决定于前一周期的国民收入，设第82页，共103页，2023年，2月20日，星期日（4.23）（4.23）式是一个二阶常系数差分方程，其特征方程为，相应特征根为（4.24）成立时才是稳定的。（4.24）式可用于预报经济发展趋势。现用待定系数法求方程（4.23）的一个特解。令代入（4.23）式，得故当（4.24）式成立时，差分方程（4.23）的通解为其中ρ为的模，ω为其幅角。第83页，共103页，2023年，2月20日，星期日例如，若取，易见，此时关系式（4.12）成立，又若取y0=1600，y1=1700，G=550，则由迭代公式求得y2=1862.5,y3=2007.8,y4=2110.3,y5=2171.2,y6=2201.2,y7=2212.15,y8=2213.22,y9=2210.3,…。易见第84页，共103页，2023年，2月20日，星期日投入产出分析（人大）

/jpkc/kcji.htm投入产出分析，是研究经济系统各个部分间表现为投入与产出的相互依存关系的经济数量方法。瓦西里·列昂剔夫（WassilyW.Leontief，1906—1999）是投入产出账户的创始人（SURVEYOFCURRENTBUSINESS，March1999,pp9）。1936年，列昂剔夫发表了《美国经济体系中的投入产出的数量关系》一文，接着在1941年又出版了《美国经济结构1919—1929》一书，1953年，又出版了《美国经济结构研究》一书。在这些著作中，列昂剔夫提出了投入产出方法。（何其祥，《投入产出分析》，科学出版社，1999.pp4）第85页，共103页，2023年，2月20日，星期日投入产出分析是通过编制投入产出表来实现的。投入产出表有实物和价值两种形式：

实物表亦称综合物资平衡表,按实物单位计量,主栏为各种产品，宾栏有三部分：①“资源”。反映各种产品的来源，如年初库存（或储备）、当年生产、进口和其他来源。②“中间产品”。这一部分的项数、所列产品名称、排列都和主栏相同顺序，形成一个棋盘式平衡表。③“最终产品”。分别列出固定资产的更新、改造、大修，年末库存（或储备），集体消费，个人消费和出口。这种平衡表的另一种形式，是去掉“资源”部分，将它与“最终产品”部分的有关项目合并，如将年初库存（或储备）与年末库存（或储备）合并成为库存（或储备）变化差额，将进口与出口合并成为进出口差额，列入“最终产品”部分。

价值表按纯部分编制的。纯部分是由生产工艺、消耗构成、产品用途基本相同的产品所构成的部门。投入产出分析表可以从横向和纵列两个方向进行考察，横向从使用价值的角度反映各部门产品的分配使用情况，分为第一、第二两部分；纵列反映部门产品的价值形成，分为第一、第三部分。第四部分反映非生产部门和个人通过国民收入再分配所得到的收入，一般不编这一部分。第86页，共103页，2023年，2月20日，星期日第87页，共103页，2023年，2月20日，星期日数学模型在投入产出表的基础上，可以建立以下投入产出模型

投入产出分析产品平衡模型Ax+y=x，式中A是直接消耗系数矩阵；x为各部门总产值列向量；y为最终产品列向量。移项求逆后得：（I-A）-1y=x，式中I为单位矩阵。价值构成模型ATx+v+m=x，式中，AT为A的转置矩阵；v为劳动报酬；m为剩余产品。移项求逆后得：（I-AT）-1（v+m）=x。消耗系数在投入产出原理中，消耗系数分为直接消耗系数和完全消耗系数。前者又称为投入系数、工艺系数或技术系数,用于反映国民经济的生产技术结构,一般用符号aij表示，即纯部门j生产单位产品对纯部门i产品的消耗量，如炼一吨钢所消耗的生铁。计算公式是式中xij为j部门生产产品时对i部门产品的消耗量，又叫做中间流量；xj为j部门的产量。第88页，共103页，2023年，2月20日，星期日直接消耗系数与计划统计工作中广泛使用的消耗定额基本相同，但也有一些区别。其区别表现在：①消耗定额是指生产单位产品的工艺消耗量，直接消耗系数除这种消耗外，还包括车间、厂部和公司的相应消耗；②消耗定额一般只按实物计量，而直接消耗系数除按实物计量外，还采用货币计量；③消耗定额一般是按某种产品的具体品种、型号确定的，如钢材的具体品种、型号，而直接消耗系数一般是按大类产品（如钢材）确定的。在直接消耗系数的基础上可以计算出完全消耗系数，它是生产单位最终产品对某种总产品或中间产品的直接消耗与间接消耗之和。例如，生产一台机器除直接消耗钢材外，还要消耗电力，而发电需要设备，生产设备又要消耗钢材。生产机器通过电力发电设备对钢材的消耗，叫做间接消耗。第89页，共103页，2023年，2月20日，星期日生产单位k种最终产品对i种产品的完全消耗系数（记作bik）的计算公式是

计算公式上式写成矩阵为B=AB+I。由此得

B=（I-A）-1完全消耗系数还有另一种计算公式

计算公式（i,j,k=1,2,3,…,n）式中cik为生产单位k种最终产品对i种产品的完全消耗系数。上式写成矩阵为C=A+AC。由此得：

C=（I-A）-1A两种完全消耗系数的关系如下:

B-C=（I-A）-1-（I-A）-1A=（I-A）-1（I-A）=I第90页，共103页，2023年，2月20日，星期日实际应用上面所说的是静态投入产出模型，利用它可以进行经济分析、政策模拟、计划论证和经济预测，并为电子计算机在经济管理中的应用开辟了途径。投入产出分析的提出已经近半个世纪，在这段时间里，它有很大的发展。除上面所说的产品模型外，还有固定资产模型、生产能力模型、投资模型、劳动模型以及研究人口、环境保护等专门问题的模型。除上面所说的静态模型外，还有动态模型、优化模型等。第91页，共103页，2023年，2月20日，星期日企业投入产生分析模型第92页，共103页，2023年，2月20日，星期日第93页，共103页，2023年，2月20日，