匀速圆周运动典型例题

“匀速圆周运动”的典型例题【例1】如图所示的传动装置中，A、B两轮同轴转动.A、B、C三轮的半径大小的关系是RA=RC=2RB.当皮带不打滑时，三轮的角速度之比、三轮边缘的线速度大小之比、三轮边缘的向心加速度大小之比分别为多少？【分析】皮带不打滑，表示轮子边缘在某段时间内转过的弧长总是跟皮带移动的距离相等，也就是说，用皮带直接相连的两轮边缘各处的线速度大小相等.根据这个特点，结合线速度、角速度、向心加速度的公式即可得解.【解】由于皮带不打滑，因此，B、C两轮边缘线速度大小相等，设vB=vC=v.由v=3R得两轮角速度大小的关系3B：3C=RC:RB=2:1.因A、B两轮同轴转动，角速度相等，即3a=3b，所以A、B、C三轮角速度之比coA：«B：«C=2：2：1.因A轮边缘的线速度vA=oARA=2oBRB=2vB，所以A、B、C三轮边缘线速度之比vA：vB：vC=2：1：1.根据向心加速度公式a=o2R，所以A、B、C三轮边缘向心加速度之比U如：叱二⑴辑广叽时心「=8：4：2=4：2：1.【例2】一圆盘可绕一通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动.在圆盘上放置一木块，当圆盘匀速转动时，木块随圆盘一起运动（见图），那么木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆盘中心木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆盘中心因为木块随圆盘一起运动，所以木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同因为摩擦力总是阻碍物体运动，所以木块所受圆盘对它的摩擦力的方向与木块的运动方向相反因为二者是相对静止的，圆盘与木块之间无摩擦力0o4-——^3【分析】由于木块随圆盘一起作匀速圆周运动，时刻存在着一个沿半径指向圆心的向心加速度，因此，它必然会受到一个沿半径指向中心、产生向心加速度的力一一向心力.0o4-——^3以木块为研究对象进行受力分析：在竖直方向受到重力和盘面的支持力，它处于力平衡状态.在盘面方向，可能受到的力只有来自盘面的摩擦力（静摩擦力），木块正是依靠盘面的摩擦力作为向心力使它随圆盘一起匀速转动.所以，这个摩擦力的方向必沿半径指向中心【答】B.【说明】常有些同学认为，静摩擦力的方向与物体间相对滑动的趋势方向相反，木块随圆盘一起匀速转动时，时时有沿切线方向飞出的趋势，因此静摩擦力的方向应与木块的这种运动趋势方向相反，似乎应该选D.这是一种极普遍的错误认识，其原因是忘记了研究运动时所相对的参照系.通常说做圆运动的物体有沿线速度方向飞出的趋势，是指以地球为参照系而言的.而静摩擦力的方向总是跟相对运动趋势的方向相反，应该是指相互接触的两个相关物体来说的，即是对盘面参照系.也就是说，对站在盘上跟盘一起转动的观察者，木块时刻有沿半径向外滑出的趋势，所以，木块受到盘面的摩擦力方向应该沿半径指向中心【例3】在一个水平转台上放有A、B、C三个物体，它们跟台面间的摩擦因数相同.A的质量为2m，B、C各为m.A、B离转轴均为r，C为2r.贝若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，A、C的向心加速度比B大若A、B、C三物体随转台一起转动未发生滑动，B所受的静摩擦力最小当转台转速增加时，C最先发生滑动当转台转速继续增加时，A比B先滑动【分析】A、B、C三物体随转台一起转动时，它们的角速度都等于转台的角速度，设为3.根据向心加速度的公式an=32r，已知rA=rB〈rC，所以三物体向心加速度的大小关系为aA=aB〈aC.A错.三物体随转台一起转动时，由转台的静摩擦力提供向心力，即f=Fn=m32r，所以三物体受到的静摩擦力的大小分别为fA=mA32rA=2m32r，fB=mB32rB=m32r，fC=mc32rc=m32•2r=2m32r.即物体B所受静摩擦力最小.B正确.由于转台对物体的静摩擦力有一个最大值，设相互间摩擦因数为u，静摩擦力的最大值可认为是fm=umg.由fm=Fn，即Rmg二mS*得不发生滑动的最大角速度为1X1皿即离转台中心越远的物体，使它不发生滑动时转台的最大角速度越小.1X1皿由于rC>rA=rB，所以当转台的转速逐渐增加时，物体C最先发生滑动.转速继续增加时，物体A、B将同时发生滑动.C正确，D错.【答】B、C.【例4】如图，光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B，相距L0=0.1m.长L=1m的柔软细线一端拴在A上，另一端拴住一个质量为500g的小球.小球的初始位置在AB连线上A的

一侧.把细线拉直，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度，使它做圆周运动.由于钉子B的存在，使细线逐步缠在A、B上.AE0UIL*若细线能承受的最大张力Tm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长?【分析】小球转动时，由于细线逐步绕在A、B两钉上，小球的转动半径会逐渐变小，但小球转动的线速度大小保持不变.【解】小球交替地绕A、B作匀速圆周运动，因线速度不变，随着转动半径的减小，线中张力T不断增大，每转半圈的时间t不断减小.在第一个半圆内T]在第二个半圆内马在第三个半圆内匚在第n个半圆内L=兀LV2『兀(L—LQ=m占=(L-Lo)2v/H(L-2L0)=皿产"一v2v_^[L-fa-l)L在第一个半圆内T]在第二个半圆内马在第三个半圆内匚在第n个半圆内L=兀LV2『兀(L—LQ=m占=(L-Lo)2v/H(L-2L0)=皿产"一v2v_^[L-fa-l)L0]mL-(ii-1)LOnVnnfti-n=—[nL-当—LJ,=牛咨]_.皿，Rg.为.【说明】圆周运动的显著特点是它的周期性.通过对运动规律的研究，用递推法则写出解答结果的通式（一般表达式）有很重要的意义.对本题，还应该熟练掌握数列求和方法.如果题中的细线始终不会断裂，有兴趣的同学还可计算一下，从小球开始运动到细线完全绕在A、B两钉子上，共需多少时间？【例5】如图(a)所示，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角为2。，当圆锥和球一起以角速度3匀速转动时，球压紧锥面.此时绳的张力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？ie【分析】小球在水平面内做匀速圆周运动，由绳子的张力和锥面的支持力两者的合力提供向心力，在竖直方向则合外力为零。由此根据牛顿第二定律列方程，即可求得解答。ie图⑹【解】对小球进行受力分析如图(b)所示，根据牛顿第二定律，向心方向上有T•sin。-N•cos。=m«2r①y方向上应有N•sin。+T•cos。-G=0②.•r=L•sin9③由①、②、③式可得T=mgcos9+m32Lsin9当小球刚好离开锥面时N=0(临界条件)则有Tsin9=m32r④T•cos9-G=0⑤由、（5）式可得3=CZZyLcosw即小球的角速度至少为，乒』VLcqsy【说明】本题是属于二维的牛顿第二定律问题，解题时，一般可以物体为坐标原点，建立xoy直角坐标，然后沿x轴和y轴两个方向，列出牛顿第二定律的方程，其中一个方程是向心力和向心加速度的关系，最后解联立方程即可。【例6】杂技节目中的“水流星”表演，用一根绳子两端各拴一个盛水的杯子，演员抡起杯子在竖直面上做圆周运动，在最高点杯口朝下，但水不会流下，如下图所示，这是为什么？【分析】水和杯子一起在竖直面内做圆周运动，需要提供一个向心力。当水杯在最低点时，水做圆周运动的向心力由杯底的支持力提供，当水杯在最高点时，水做圆周运动的向心力由重力和杯底的压力共同提供。只要做圆周运动的速度足够快，所需向心力足够大，水杯在最高点时，水就不会流下来。【解】以杯中之水为研究对象，进行受力分析，根据牛顿第二定律可知；y,此时重力G与N的合力充当了向心力,即F向=G+N.•.G+N=m'y由上式可知E,,当N=0时，w有最小值为感.即若使本不掉下来，则本杯在最高点的速度u必须大于屋.【例7】如下图所示，自行车和人的总质量为M，在一水平地面运动.若自行车以速度v转过半径为R的弯道.（1）求自行车的倾角应多大？（2）自行车所受的地面的摩擦力多大？【分析】骑车拐弯时不摔倒必须将身体向内侧倾斜.从图中可知，当骑车人拐弯而使身体偏离竖直方向a角时，从而使静摩擦力f与地面支持力N的合力Q通过共同的质心0,合力Q与重力的合力F是维持自行车作匀速圆周运动所需要的向心力.【解】(1)由图可知，向心力F=Mgtga，由牛顿第二定律有：mgtgCl=m—=tg-—R酬(2)由图可知，向心力F可看做合力Q在水平方向的分力，而Q又是水平方向的静摩擦力f和支持力N的合力，所以静摩擦力f在数值上就等于向心力F,即f=Mgtga【例8】用长L1=4m和长为L2=3m的两根细线，拴一质量m=2kg的小球A，L1和L2的另两端点分别系在一竖直杆的01，02处，已知O1O2=5m如下图(g=10m・s-2)当竖直杆以的角速度3匀速转动时，02A线刚好伸直且不受拉力.求此时角速度31.当01A线所受力为100N时，求此时的角速度32.(j【分析】小球做圆周运动所需的向心力由两条细线的拉力提供，当小球的运动速度不同时，所受拉力就不同。【解】(1)当02A线刚伸直而不受力时，受力如图所示。贝F1cos9=mg①Flsin9=mR«12②由式(1)⑵赭"=j唯③由几何知识知RT：-0A=R，且-—=4,q-=3?inycos°•.・R=2.4m9=37代入式③31=1.77(rad/s)(2)当O1A受力为100N时，由(1)式Flcos9=100X0.8=80(N)>mg由此知O2A受拉力F2。则对A受力分析得F1cos9-F2sin9-mg=0④F1sin9+F2cos9=mR322⑤由式(4)(5)得_cqs26-mg©+耳sin©2_'100XQ.64-2QXQ.8+100x0.6_2X2.4=474(rad/s)【说明】向心力是一种效果力，在本题中O2A受力与否决定于物体A做圆周运动时角速度的临界值.在这种题目中找好临界值是关键.［例9］一辆实验小车可沿水平地面(图中纸面)上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离MN为d=10m,如图所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图箭头所示。当光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？(结果保留二位数字)

［分析］激光器扫描一周的时间T=60s,那么光束在△t=2.5s时间内转过的角度.At冬田=〒X36/=15°激光束在竖直平面内的匀速转动，但在水平方向上光点的扫描速度是变化的，这个速度是沿经向方向速度与沿切向方向速度的合速度。当小车正向N点接近时，在△［内光束与MN的夹角由45°变为30°=u=u切/cos小a八昨随着0减小，v扫在减小若45°时光照在小车上，此时v扫〉v车时，此后光点将照到车前但v扫l随着0减小，v扫在减小若45°时［解］在△「内，光束转过角度△巴=辛乂3对=15如图，有两种可能（1）光束照射小车时车走过L1，速度应为小车正在接近N点，△《内光束与MN的夹角从45°变为30°，小由图可知L1=d(tg45°-tg30°)@（1）光束照射小车时车走过L1，速度应为由②、③两式并代入数值，得v1=1.7m/s④(2)光束照到小车时，小车正在远离N点，△《内光束与MN的夹角从45°为60°，小车走过L2速度为法⑤由图可知L2=d(tg60°-tg45°)⑥由⑤、⑥两代并代入数值，得v2=2.9m/s［说明］光点在水平方向的扫描速度是变化的，它是沿经向速度和切向速度的合速度。很多人把它理解为切向速度的分速度，即=1■①*GO'S$=V-①*CO5日=制cosy则扫描速度不变化，就谈不上与小车的“追赶”了，将不可能发生经过一段时间，再照射小车的问题。这一点速度的合成与分解应理解正确。另外光束与MN的夹角为45°时，光束正好射到小车上有两种情况(见分析)要考虑周全，不要丢解。［例10］图所示为测量子弹速度的装置，一根水平转轴的端部焊接一个半径为R的薄壁圆筒(图为其横截面)，转轴的转速是每分钟n转，一颗子弹沿圆筒的水平直径由A点射入圆筒，在圆筒转过不到半圆时从B点穿出，假设子弹穿壁时速度大小不变，并在飞行中保持水平方向，测量出A、B两点间的孤长为L，写出子弹速度的表达式。［分析］子弹穿过筒壁，子弹与筒壁发生相互作用，既影响筒的转速，又影响子弹飞行速度，因为这种影响忽略不讲，所以测出的子弹速度是近似值，子弹穿过圆筒的时间，可从圆筒的转速和转过的角