中考数学二轮复习考点精讲专题19 函数与角度有关问题（教师版）

专题19函数与角度有关问题专题19函数与角度有关问题知识导航知识导航方法技巧方法技巧1．（特殊角）若点P在抛物线上，且∠PBD=90°，求点P的坐标。利用直线BD的解析式及勾股定理，数形结合，列出有关的方程，即可求出点P的坐标.题型精讲题型精讲题型一：等角问题【例1】（2021·四川自贡市）如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠OCA=45°，AB=a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．【分析】（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB的长；（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可证明△DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案．【详解】（1）∵抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．∴当x=0时，y=-a，当y=0时，，解得：，，∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），∴OB=1，OA=OC=a，∴△OCA是等腰直角三角形，∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，∵点D为的外心，∴DB=DC，∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，∴∠OAC=45°，AC=，∵∠BDC和∠BAC是所对的圆心角和圆周角，∴∠BDC=2∠BAC=90°，∴∠DBC=45°，∴∠DBC=∠OAC，∴△DBC∽△OCA，∵与的周长之比为，∴，即，解得：，经检验：是原方程的根，∵,∴a=2，∴抛物线解析式为：=．（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，∵a=2，∴C（0，-2），A（2，0），AC=，∵∠OCA=45°，∴∠OCF=45°，∴△OCF是等腰直角三角形，∴F（-2，0），设直线CF的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线CF的解析式为，∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，∴OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，∵点D为的外心，∴点D在直线OG上，∵A（2，0），C（0，-2），∴G（1，-1），设直线OG的解析式y=mx，∴m=-1，∴直线OG的解析式y=-x，∵点D为△ABC的外心，∴点D在AB的垂直平分线上，∴点D的横坐标为=，把x=代入y=-x得y=-，∴D（，-），∴DH=，BH=1+=，∵，∠BHD=∠ACE=90°，∴△BHD∽△ACE，∴，即，解得：，∵点E在直线CF上，∴设点E坐标为（n，-n-2），∴CE==，解得：，∴（，），（，），设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，∴，解得：，∴直线AE1的解析式为，同理：直线AE2的解析式为，联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），∴P1（，），联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，解得：，（与点A重合，舍去），∴P2（1，-2）．综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）．题型二：二倍角问题【例2】（2021·山东泰安市）二次函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，交于点Q，过点P作SKIPIF1<0轴于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，求直线的表达式；（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为【分析】（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：解得：，∴二次函数的表达式为；（2）设与y轴交于点E，∵轴，，，，，，设，则，，在中，由勾股定理得，解得，，设所在直线表达式为解得∴直线的表达式为．（3）设与交于点N．过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标分别为，可得所在直线表达式为∴M点坐标为，由，可得，设，则，∴当时，有最大值0.8，此时P点坐标为．【例3】如图①，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向点A移动，同时点Q从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向点B移动，当点P与点A重合时移动停止．设点P移动的时间为t秒．（1）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（2）当t＝1时，抛物线y＝x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图②所示，该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=12∠MKQ？若存在，请求出所有满足条件的点【分析】（1）分△QBC∽△PAQ、△CBQ∽△PAQ，两种情况分别求解；（2）证明∠MKE＝∠QKE=12∠MKQ．（ⅰ）当点D在直线MQ的上方时，证明△HMQ∽△MEK．∴MHMQ=MEEK．∴MH3=322+14．（ⅱ）当点D在直线【解析】解：（1）如图①，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，∴0＜t＜3．∵四边形OABC是矩形，∴∠B＝∠PAQ＝90°．∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：①当△QBC∽△PAQ时，∴BCAQ=BQ∴4t2﹣15t+9＝0．∴t1＝3（舍），t2=3②当△CBQ∽△PAQ时，∴CBPA∴33−t∴t2﹣9t+9＝0．∴t=9±352综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t=34或t（2）当t＝1时，P（1，0），Q（3，2）．把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y＝x2+bx+c中并解得：抛物线：y＝x2﹣3x+2．∴顶点k（32，−连接MQ，∵Q（3，2），M（0，2），∴MQ∥x轴，作抛物线对称轴，交MQ于E，∴KM＝KQ．∴KE⊥MQ．∴∠MKE＝∠QKE=12∠MKQ．设DQ交y轴于（ⅰ）当点D在直线MQ的上方时，如图②所示，则∠DQM=12∠MKQ＝∠∵∠HMQ＝∠MEK＝90°，∴△HMQ∽△MEK．∴MHMQ∴MH3=3∴H（0，4）．∴直线HQ的解析式为y=−23由方程组y=−23x+4y=x2−3x+2得x解得x1＝3（舍），x2=−2∴D（−23，（ⅱ）当点D在直线MQ的下方时，y轴上存在点H，如图③所示，使∠HQM=12∠MKQ＝∠由对称性得H（0，0），即H与原点重合．∴直线OQ的解析式y=23由方程组y=23xy=x2解得x1＝3（舍），x2=2∴D（23，4综上所述，点D的坐标为（−23，409）或（2题型三：其他角度问题【例4】（2021·四川）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点SKIPIF1<0为该抛物线上一点（不与点SKIPIF1<0重合），直线SKIPIF1<0将SKIPIF1<0的面积分成2：1两部分，求点SKIPIF1<0的坐标；（3）点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位的速度沿SKIPIF1<0轴移动，运动时间为SKIPIF1<0秒，当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0（6，-8）；（3）当点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位的速度沿SKIPIF1<0轴正方向移动时，SKIPIF1<0秒；沿CO方向在SKIPIF1<0轴移动时，SKIPIF1<0秒．【分析】（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；（2）在SKIPIF1<0的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将SKIPIF1<0的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；（3）先利用图形在SKIPIF1<0内构造SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出OM长即可解答，【详解】解：（1）由抛物线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0即：条抛物线所对应的函数表达式为：SKIPIF1<0；（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）∵点SKIPIF1<0和点SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将SKIPIF1<0的面积分成2：1两部分，如解（2）图，∵点SKIPIF1<0为该抛物线上一点（不与点SKIPIF1<0重合），∴直线CP经过Q点，设直线CP解析式为：SKIPIF1<0，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即可设直线CP解析式为：SKIPIF1<0，联立函数解析式为：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故P点坐标为（6，-8），（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为H，由轴对称性质可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位的速度远动：当沿SKIPIF1<0轴正方向移动时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0秒，当沿SKIPIF1<0轴CO方向移动时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0秒，综上所述：当点SKIPIF1<0从点SKIPIF1<0出发，以每秒1个单位的速度沿SKIPIF1<0轴正方向移动时，SKIPIF1<0秒；沿CO方向在SKIPIF1<0轴移动时，SKIPIF1<0秒．【例5】抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于B，与x轴交于点D、A，点A在点D的右边，顶点为F，C（0，1）（1）直接写出点B、A、F的坐标；（2）设Q在该抛物线上，且S△BAF＝S△BAQ，求点Q的坐标；（3）对大于1常数m，在x轴上是否存在点M，使得sin∠BMC=1m？若存在，求出点【分析】（1）y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，解得：x＝3或﹣1，即可求解；（2）连接AB，过点F作直线m平行于直线AB交抛物线与点Q，在BA下方作直线n，使直线m、n与直线AB等距离，过点F作x轴的垂线交AB于点H、交直线n与点F′，直线n与抛物线交于点Q′、Q″，即可求解；（3）由S△BCM=12×BC×OM=12×CH×MB，则【解析】解：（1）y＝﹣x2+2x+3…①，令y＝0，解得：x＝3或﹣1，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3），同理点F（1，4）；（2）连接AB，过点F作直线m平行于直线AB交抛物线与点Q，在BA下方作直线n，使直线m、n与直线AB等距离，过点F作x轴的垂线交AB于点H、交直线n与点F′，直线n与抛物线交于点Q′、Q″，直线BA的表达式为：y＝﹣x+3，则直线m的表达式为：y＝﹣x+b，将点F坐标代入上式并解得：直线m的表达式为：y＝﹣x+5…②，联立①②并解得：x＝1或2（舍去1），故点Q（2，3）；则点H（1，2），则FH＝4﹣2＝2，故直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣2＝﹣x+1…③，联立①③并解得：x=3±故点Q坐标为（3+172，−1−172）或（综上，点Q（2，3）或（3+172，−1−172）或（（3）过点C作CH⊥MB于点H，设：OM＝a，则MB=a2+9，S△BCM=12×BC×OM=12×CHsin∠BMC=CH解得：a＝±(2m−5)+2m即点M（(2m−5)+2m2−5m+4提分训练提分训练1．如图抛物线y＝ax2+bx+6的开口向下与x轴交于点A（﹣6，0）和点B（2，0），与y轴交于点C，点P是抛物线上一个动点（不与点C重合）（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是抛物线上一个动点，若△PCA的面积为12，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为D，在抛物线上是否存在点E，使得∠EAB＝2∠DAC，若存在请直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），即可求解；（2）S△PCA=12PG×AC=12×22PG×62=12，解得：（3）sin∠DAC=DCAD=1010，sin2∠DAC＝sin∠DAD′=DH【解析】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+6）（x﹣2）＝a（x2+4x﹣12），﹣12a＝6，解得：a=−1函数的表达式为：y=−12x2﹣2顶点D坐标为（﹣2，8）；（2）如图1所示，过点P作直线m∥AC交抛物线于点P′，在直线AC下方等距离处作直线n交抛物线与点P″、P′″，过点P作PH∥y轴交AC于点H，作PG⊥AC于点G，∵OA＝OC，∴∠PHG＝∠CAB＝45°，则HP=2PGS△PCA=12PG×AC=12×2直线AC的表达式为：y＝x+6，则直线m的表达式为：y＝x+10…②，联立①②并解得：x＝﹣2或﹣4，则点P坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）；直线n的表达式为：y＝x+2…③同理可得点P（P″、P′″）的坐标为（﹣3−17，−17−1）或（﹣3+综上，点P的坐标为（﹣2，8）或（﹣4，6）或（﹣3−17，−17−1）或（﹣3+（3）点A、B、C、D的坐标为（﹣6，0）、（2，0）、（0，6）、（﹣2，8），则AC=72，CD=8，AD则∠ACD＝90°，sin∠DAC=DC延长DC至D′使CD＝CD′，连接AD′，过点D作DH⊥AD′，则DD′＝28，AD＝AD′=80S△ADD′=12×DD′×AC=1即：28×72=DH×80sin2∠DAC＝sin∠DAD′=DHAD'=则tan∠EAB=3①当点E在AB上方时，则直线AE的表达式为：y=34x+将点A坐标代入上式并解得：直线AE的表达式为：y=34x联立①④并解得：x=1即点E（12，39②当点E在AB下方时，同理可得：点E（72，−综上，点E（12，398）或（722．已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=−34x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C．经过点A，C的抛物线y＝ax2+3ax﹣3与x轴的另一个交点为点（1）如图1，求a的值；（2）如图2，点D，E分别在线段AC，AB上，且BE＝2AD，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转得到线段DF，且旋转角∠EDF＝∠OAC，连接CF，求tan∠ACF的值；（3）如图3，在（2）的条件下，当∠DFC＝135°时，在线段AC的延长线上取点M，过点M作MN∥DE交抛物线于点N，连接DN，EM，若MN＝DF，求点N的横坐标．【分析】（1）求出点A（﹣4，0），将点A的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）证明△ADE≌△GFD，即可求解；（3）证明△DET≌△MSN（AAS），则MS＝DT=34，NS＝ET=32，设点M（x，−34x﹣3），则点N（x【解析】解：（1）y＝ax2+3ax﹣3，当x＝0，y＝﹣3，故点C（0，﹣3），将点C的坐标代入直线表达式并解得：b＝﹣3，则直线AC的表达式为：y=−34x﹣3，则点将点A的坐标代入二次函数表达式并解得：a=3（2）在直线AC上取点G使DG＝AE，连接FG，过点F作FH⊥AC，∵∠FDC+∠FDE＝∠BAC+∠AED，而∠BAC＝∠EDF，∴∠FDH＝∠AED，而DG＝AE，DF＝DE，∴△ADE≌△GFD，∴AD＝GF，∵AB＝AC＝5，BE＝2AD，∴AD＝GF＝CG，∵tan∠BAC=34，设FH＝3m，则HG＝4m，FG＝5m＝tan∠ACF=FH（3）如图3，过点D作DR⊥FC交FC的延长线于点R，过点F作FH⊥CD交于点H，由（2）知tan∠ACF=1在Rt△CDR中，设DR=10t，则CR＝310t，CD＝10t∵∠DFC＝135°，则△DFR是等腰直角三角形，则FR＝DR=10tCF＝CR﹣CF＝210t，在Rt△FHC中，tan∠ACF=1则FH＝2t，CH＝6t，DH＝CD﹣CH＝10t﹣6t＝4t，则tan∠FDH=FHDH=在Rt△ADT中，tan∠BAC=3设：DT＝3n，则AT＝4n，AD＝5n，在Rt△DTE中，tan∠AED=1则ET＝2DT＝6n，BE＝2AD＝10n，∵AT+TE+BE＝AB，即4n+6n+10n＝5，解得：n=1则ET=32，DT∵MN＝EF＝DE，且MN∥DE，∴四边形MNDE为平行四边形，∴∠DEM＝∠DNM，过点N作x轴的平行线交直线AC于点K，过点M作MS⊥NK于点S，则∠AEM＝∠KND，∴∠TED＝∠MNS，而MN＝DE，∠ETD＝∠MSN＝90°，∴△DET≌△MSN（AAS），∴MS＝DT=34，NS＝ET设点M（x，−34x﹣3），则点N（x−3将点N的坐标代入二次函数表达式得：−3x4−154=34（x解得：x=−1±故点N的横坐标为：6−43．如图，直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝ax2−32x+c经过A，B两点，与（1）求抛物线的解析式；（2）M为抛物线上一点，直线AM与x轴交于点N，当MNAN=3（3）P为抛物线上的动点，连接AP，当∠PAB与△AOB的一个内角相等时，直接写出点P的坐标．【分析】（1）直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、（2）直线MA的表达式为：y＝（12m−32）x﹣2，则点N（4m−3，0），当MNAN（3）分∠PAB＝∠AOB＝90°、∠PAB＝OAB、∠PAB＝OBA三种情况，分别求解即可．【解析】解：（1）直线y=12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a=1故抛物线的表达式为：y=12x2−（2）设点M（m，12m2−32m将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m−32则点N（4m−3当MNAN=32时，则解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2…②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H=BO'HB=OAHA，即：44+x=2则直线AH的表达式为：y=−34联立①③并解得：x=32，故点P（32③当∠PAB＝OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a=3故点H（32则直线AH的表达式为：y=43联立①③并解得：x＝0或173故点P（173，50当点P在AB下方时，同理可得：点P（3，﹣2）；综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，−258）或（174．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求DEEF（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．【分析】（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3），即可求解；（2）作DN∥CF，则DEEF=DNCF=12（﹣（3）△PBC为直角三角形，tan∠PBC=PCCB=13，当∠QCO＝∠PBC【解析】解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3，OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），DN∥CF，则DEEF=DNCF=12（﹣x2+2x+3+x∵−12＜0，则DEEFDEEF的最大值为9（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC=2，PB=20，BC则△PBC为直角三角形，tan∠PBC=PC过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tanα=1解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．5．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点为该抛物线上一点（不与点重合），直线将的面积分成2：1两部分，求点的坐标；（3）点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为秒，当时，求的值．【答案】（1）；（2）点（6，-8）；（3）当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．【分析】（1）根据待定系数法将AB两点坐标代入函数解析式求解即可；（2）在的AB边上找到将AB分成2：1两部分的点Q，此时CQ将的面积分成2：1两部分，求出直线CQ与抛物线交点坐标即是点P坐标；（3）先利用图形在内构造，求出，在中由，，求出OM长即可解答，【详解】解：（1）由抛物线经过点和点，得：，解得：即：条抛物线所对应的函数表达式为：；（2）由（1）可知点C坐标为（0,4）∵点和点．∴，∴将AB分成2：1两部分的点有原点和Q（2,0），此时CQ将的面积分成2：1两部分，如解（2）图，∵点为该抛物线上一点（不与点重合），∴直线CP经过Q点，设直线CP解析式为：，经过C（0,4），Q（2,0）两点，得：，∴，即可设直线CP解析式为：，联立函数解析式为：，解得：，，故P点坐标为（6，-8），（3）如解（3）图取点A关于y轴对称点，连接，过点作，垂足为H，由轴对称性质可知：，，∴，∵，即，∴∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，点从点出发，以每秒1个单位的速度远动：当沿轴正方向移动时，，则秒，当沿轴CO方向移动时，，则秒，综上所述：当点从点出发，以每秒1个单位的速度沿轴正方向移动时，秒；沿CO方向在轴移动时，秒．6．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点是抛物线上一动点．（1）如图1，当，，且时，①求点M的坐标：②若点在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过点C作，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点在对称轴上，当，，且直线EM交x轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为，连接GF．若，求证：射线FE平分．【答案】（1）①；②，见解析；（2）见解析【分析】（1）①直接将点代入解析式，又有，即可解出坐标；②相等，先求出点，由两点求出直线的方程，添加辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求出边长，证明三角形是等腰三角形即可；（2）根据已知条件求出点的坐标，再求出所在直线的解析式，求出直线与轴的交点，添加辅助线，利用三角形相似对应边成比例，找到边与边之间的关系，在直角三角形中利用勾股定理建立等式求出边长，再根据角平分线上的点到两条线之间的距离相等，即可判断出为角平分线．【详解】解：（1）如答案图6.①点在抛物线上，且，，解得，（舍去），，．②，点在该抛物线上，，．设直线MB交x轴于点H，解析式为，解得当时，，，．过点M作轴，垂足为R，，，，根据勾股定理得，，．，，，，，．（2）如答案图7.证明：对称轴，，，，．过点M作轴，垂足为Q，，，．当时，解得，，．，，，．，．设直线EM的解析式为，解得．设直线EM交y轴于点S，过点S作，垂足为P．当时，．．当时，，，，．，，．，，，，．设，则．在中，，．（负值舍去），，，．，，射线FE平分．7．（2020•山西）综合与探究如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．【分析】（1）令y＝0，便可由抛物线的解析式求得A、B点坐标，用待定系数法求得直线AD的解析式；（2）设P（m，14m2﹣m﹣3），用m表示N点坐标，分两种情况：PM＝3MN；PM＝3PN．分别列出m（3）分两种情况，Q点在y轴正半轴上时；Q点在y轴负半轴上时．分别解决问题．【解析】（1）令y＝0，得y=14x2﹣解得，x＝﹣2，或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则−2k+b=04k+b=−3解得，k=−1∴直线l的解析式为y=−1（2）如图1，根据题意可知，点P与点N的坐标分别为P（m，14m2﹣m﹣3），N（m，−1∴PM=−14m2+m+3，MN=12m+1，NP=−1分两种情况：①当PM＝3MN时，得−14m2+m+3＝3（1解得，m＝0，或m＝﹣2（舍），∴P（0，﹣3）；②当PM＝3NP时，得−14m2+m+3＝3（−14m解得，m＝3，或m＝﹣2（舍），∴P（3，−15∴当点N是线段PM的三等分点时，点P的坐标为（3，−15（3）∵直线ly=−12x−1与y∴点E的坐标为（0，﹣1），分再种情况：①如图2，当点Q在y轴的正半轴上时，记为点Q1，过Q1作Q1H⊥AD于点H，则∠QE＝∠AOE＝90°，∵∠Q1EH＝∠AEO，∴△Q1EH∽△AEO，∴Q1H∴Q1H＝2HE，∵∠Q1DH＝45°，∠Q1HD＝90°，∴Q1H＝DH，∴DH＝2EH，∴HE＝ED，连接CD，∵C（0，﹣3），D（4，﹣3），∴CD⊥y轴，∴ED=C∴HE=ED=25，Q∴Q1∴Q1O＝Q1E﹣OE＝9，∴Q1（0，9）；②如图3，当点Q在y轴的负半轴上时，记为点Q2，过Q2作Q2G⊥AD于G，则∠Q2GE＝∠AOE＝90°，∵∠Q2EG＝∠AEO，∴△Q2GE∽△AOE，∴Q2GAO∴Q2G＝2EG，∵∠Q2DG＝45°，∠Q2GD＝90°，∴∠DQ2G＝∠Q2DG＝45°，∴DG＝Q2G＝2EG，∴ED＝EG+DG＝3EG，由①可知，ED＝25，∴3EG＝25，∴EG=2∴Q2∴EQ∴OQ∴Q2综上，点Q的坐标为（0.9）或（0，−138．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．【解析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；tan∠BCO=13，则cos∠BCO①当点P（P′）在点C的右侧时，∵∠PAB＝∠BCO，故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；当点P在点C的左侧时，设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，∵∠PAB＝∠BCO，∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×2解得：CH=53，则OH＝3﹣CH=43，故点由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y=43x联立①②并解得：x=−5y=−8故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO=1故设直线AP的表达式为：y=13x+s，将点A的坐标代入上式并解得：故直线AP的表达式为：y=13联立①③并解得：x=43y=139，故点N设△AMN的外接圆为圆R，当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，∴∠RMH＝∠GAR，∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，∴△AGR≌△RHM（AAS），∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，∴点M（m+n，n﹣m﹣3），将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m−43）2+（139联立③④并解得：m=−2故点M（−43，9．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．（1）求二次函数的解析式．（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，−25c+85），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（−25c+8（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DE＝BE=BD2=322，由锐角三角函数可求NE=DEtanθ=9210，分DK与射线EC交于点N（m，4﹣m）和DK与射线【解析】（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），∵二次函数图象过点C（0，4），∴4＝a（0+2）（0﹣4），∴a=−1∴二次函数的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x（2）存在，理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=(4−0)2+(0−4)设直线BP解析式为：y＝kx+b，由题意可得：2=−k+b0=4k+b解得：k=−∴直线BP的解析式为：y=−25x∵∠BMC＝90°∴点M在以BC为直径的圆上，∴设点M（c，−25c∵点Q是Rt△BCM的中点，∴MQ=12BC＝2∴MQ2＝8，∴（c﹣2）2+（−25c+8∴c＝4或−24当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，∴c=−2429，则点M坐标（−24故线段PB上存在点M（−2429，5629（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，∴∠OBC＝45°，∵DE⊥BC，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴DE＝BE=BD∵点B（4，0），C（0，4），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，设点E（n，﹣n+4），∴﹣n+4=3∴n=5∴点E（52，3在Rt△DNE中，NE=DE①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），∵NE＝BN﹣BE，∴9210=2（4﹣∴m=8∴点N（85，12∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，联立方程组可得：y=4x−4y=−解得：x1=2y∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），∵NE＝BE﹣BN，∴9210=∴m=17∴点N（175，3∴直线DK解析式为：y=14x联立方程组可得：y=1解得：x3=3+∴点K坐标为（3+1454，−1+14516）或（综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（3+1454，−1+14516）或（10．（2021·广西）如图，抛物线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，对称轴为直线SKIPIF1<0．（1）求该抛物线的函数达式；（2）直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且在第一象限与抛物线交于点SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0的坐标；（3）点SKIPIF1<0在抛物线上与点SKIPIF1<0关于对称轴对称，点SKIPIF1<0是抛物线上一动点，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0面积的最大值（可含SKIPIF1<0表示）．

【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）点SKIPIF1<0的坐标是（6，7）；（3）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大面积为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大面积为64【分析】（1）根据已知点和对称轴，用待定系数法求二次函数的解析式即可；（2）由SKIPIF1<0得等腰直角三角形，从而求得坐标；（3分情况讨论，在对称轴的左右两边，即当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时分别求得SKIPIF1<0面积的最大值【详解】（1）∵抛物线过SKIPIF1<0，对称轴为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴抛物线表达式为SKIPIF1<0．（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，则纵坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<