现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型

现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型1第1页，共44页，2023年，2月20日，星期六现代仿真技术与应用

章节安排第一章概述第二章系统的数学模型第三章连续系统的数字仿真第四章离散事件系统仿真第五章面向对象的仿真第六章分布式交互仿真第七章可视化、多媒体、虚拟现实仿真2第2页，共44页，2023年，2月20日，星期六

现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型2.1连续系统的数学模型2.2离散时间系统的数学模型3第3页，共44页，2023年，2月20日，星期六取决系统动态特性的两大因素：

现代仿真技术与应用第二章系统的数学模型清晰性切题性精确性集合性内因外因建立系统数学模型应遵循的原则：4第4页，共44页，2023年，2月20日，星期六输入系统向量，n+1维2.1.1

常用数学模型的表示形式1微分方程形式设线性定常系统输入、输出量是单变量，分别为u(t),y(t)模型参数形式为：输出系统向量，m+1维(2-1)

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型5第5页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.1

常用数学模型的表示形式2传递函数形式在零初始条件下，将(2-1)方程两边进行拉氏变换，则有(2-4)模型参数可表示为传递函数分母系数向量传递函数分子系数向量用num=B,den=A分别表示分子，分母参数向量，则可简练的表示为(num,den)，称为传递函数二对组模型参数

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型6第6页，共44页，2023年，2月20日，星期六3状态空间表达式当系统输入、输出为多变量时，可用向量分别表示为U(t),Y(t),系统的内部状态变量为X(t).模型参数形式为：系统系数矩阵A，系统输入矩阵B系统输出矩阵C，直接传输矩阵D简记为(A,B,C,D)形式。(2-5)2.1.1

常用数学模型的表示形式

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型式中X为n维状态向量7第7页，共44页，2023年，2月20日，星期六4结构图表示2.1.1

常用数学模型的表示形式

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型k1f1uy+-8第8页，共44页，2023年，2月20日，星期六1微分方程转换为状态方程2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型(2-6)X=

.

X1.

X2.

Xn.

=

AX+Bu=01000010-a0–a1

–a2-an-1X1X2Xn+001uY=

CX+u=[1000]X[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)9第9页，共44页，2023年，2月20日，星期六例2-1设系统微分方程为：y(3)+6y(2)+11y(1)+6y

=6u,y为输出量，u为输入量，求系统状态空间表达式2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型解：选取状态变量x1=y,x2=y(1),x3=y(2)将x1,x2，x3代入原方程，得：X1.

=x2X2.

=x3X3.

=-6x1-11x2-6x3+6uX=

.

X1.

X2.

X3.

=

AX+Bu=010001-6

–11–6X1X2X3+006uY=

CX+u=[100]X1X2X310第10页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型解：把微分方程变形为：例2系统的微分方程为

其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。引入状态变量：则有：11第11页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数转换为状态方程（可控标准型）2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型(2-12)设系统传递函数为：X=

.

01000010-a0–a1

–a2-an-1X1X2Xn+001uY=

CX=[b0b1bn-1]X12第12页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例2.2设系统传递函数为：y=[-0.51.5010]X+1.5u试写出可控标准型+000u0100000100-1–104-2X1X2X4X=

.

0001000001X3X50113第13页，共44页，2023年，2月20日，星期六上次课回顾

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型1)连续系统常用的数学模型;外部模型内部模型框图微分方程转换为状态方程传递函数转换为状态方程(可控标准型）01000010-a0–a1

–a2-an-1A=001B=[b0b1bn-1]C=D=02)连续系统数学模型之间的转换;14第14页，共44页，2023年，2月20日，星期六习题

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型1)系统的微分方程为

其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。2)设系统传递函数为：试写出可控标准型15第15页，共44页，2023年，2月20日，星期六习题

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型解：把微分方程变形为：引入状态变量：例系统的微分方程为

其中y(t)是输出函数，u(t)是输入函数。求系统状态空间表达式。C=[10]D=016第16页，共44页，2023年，2月20日，星期六习题

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例设系统传递函数为：试写出可控标准型解：17第17页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数转换为状态方程（可观标准型）

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型X=

.

000-a0

100–a1

0

01-an-1X1X2Xn+b0b1bn-1uY=

CX=[00

1]X18第18页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例2.2设系统传递函数为：试写出可观标准型+-0.51.50u0000-11000-10001-2X1X2X4X=

.

0100000104X3X510y=[00001]X+1.5u19第19页，共44页，2023年，2月20日，星期六例题

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型设系统传递函数为：试写出可观标准型+110uX1X2X=

.

00-610-1101-6X3y=[001]X解：A=

00-610-1101-6B=

110C=[001]20第20页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数转换为状态方程（对角标准型）2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型设系统传递函数为：X=AX+Bu.

Y=

CXB=[11…1]TC=[c1c2…c2]21第21页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例2.2设系统传递函数为：求其对角标准型+u10020X1X2X=

.

00-3X311122第22页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数转换为状态方程（约当标准型）2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型设系统传递函数为：C=[c11c12…c1rcr+1…cn]B=[000…011…1]T第r行

10

1

0

第r行A=23第23页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例2.2设系统传递函数为：求其约当标准型+u-2100-21X1X2X=

.

00-3X3011y=[-231]X24第24页，共44页，2023年，2月20日，星期六化状态方程为传递函数2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型设系统的状态空间表达式为：在零初始条件下取拉氏变换：+D其中:adj(sI-A)为sI-A的伴随矩阵[num,den]=ss2tf(a,b,c,d,iu)%iu指定是哪个输入

25第25页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.1.2

数学模型之间的转换

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型例设系统的状态方程为：求传递函数解:特征多项式为:伴随矩阵为:26第26页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.2.1

常用数学模型1差分方程式中：T为采样周期,输出变量的初始条件为(2-54)

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型2z函数对式(2-54)两边取z变换,并设y和u及其各阶差分的初始值均为0,可得:3离散状态空间表达式4结构图表示(2-55)(2-56)27第27页，共44页，2023年，2月20日，星期六2.2.1

常用数学模型

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型4结构图表示G1(z)G2(z)H(z)G3(z)u(z)y(z)v(z)+-28第28页，共44页，2023年，2月20日，星期六1线性状态方程的离散化2.2.2

连续系统的离散化设线性状态方程为：

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型(2-57),其解析解为:给定采样间隔T，对kT和(k+1)T两个采样点的状态变量值为：用eAT左乘（2-58）,与（2-59）相减，有：对（2-60）积分项进行积分替换，=kT+t有：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)29第29页，共44页，2023年，2月20日，星期六上次课回顾

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型传递函数转换为状态方程01000010-a0–a1

–a2-an-1A=001B=[b0b1bn-1]C=D=01)连续系统数学模型之间的转换;可观标准型可控标准型A=

000-a0

100–a1

0

01-an-1B=b0b1bn-1C=[00

1]D=030第30页，共44页，2023年，2月20日，星期六上次课回顾

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型传递函数转换为状态方程对角标准型B=[11…1]TC=[c1c2…c2]31第31页，共44页，2023年，2月20日，星期六上次课回顾

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型传递函数转换为状态方程约当标准型C=[c11c12…c1rcr+1…cn]B=[000…011…1]T第r行

10

1

0

第r行A=32第32页，共44页，2023年，2月20日，星期六上次课回顾

现代仿真技术与应用2.1连续系统的数学模型状态方程转换为传递函数+D其中:adj(sI-A)为sI-A的伴随矩阵,求伴随矩阵方法有:设系统的状态空间表达式为：主对角元素：原矩阵该元素所在行列去掉，求行列式；非主对角元素：原矩阵该元素共扼位置的元素所在行列去掉求行列式乘以（-1）x+y,x,y为共扼位置的行和列的序号。33第33页，共44页，2023年，2月20日，星期六1差分方程

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型2z函数3离散状态空间表达式4结构图表示上次课回顾离散时间系统常用的数学模型34第34页，共44页，2023年，2月20日，星期六1线性状态方程的离散化2.2.2

连续系统的离散化设线性状态方程为：

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型(2-57),其解析解为:给定采样间隔T，对kT和(k+1)T两个采样点的状态变量值为：用eAT左乘（2-58）,与（2-59）相减，有：对（2-60）积分项进行积分替换，=kT+t有：(2-58)(2-59)(2-60)(2-61)35第35页，共44页，2023年，2月20日，星期六1线性状态方程的离散化2.2.2

连续系统的离散化若u(t)未知，采用近似方法对在kT和(k+1)T两个采样时刻之间的输入量u(kT+t)进行处理：

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型1)令u(kT+t)≌u(kT),代入（2-61）：(2-62)(2-64)2)通过kT和(k+1)T两个时刻点做直线逼近有：36第36页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数的离散化2.2.2

连续系统的离散化

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型1)加入采样器和信号保持器：对系统的输入进行采样，得到离散的输入量；然后用信号保持器将其恢复为连续信号；作用到G(S)后的输出再做同样的采样，得到离散的输出量。2)替换法：通过求出s与z的替换公式，将G(ｓ)转换为G(z),欧拉法和图斯汀法3)根匹配法：利用s与z的转换关系z=exp(sT)，得到z平面的零、极点位置，得到G(z)37第37页，共44页，2023年，2月20日，星期六2传递函数的离散化2.2.2

连续系统的离散化

现代仿真技术与应用2.2离散时间系统的数学模型1)加入采样器和信号保持器：(2-65)y(kT)y(t)信号保持器Gh(s)G(s)u(t)u(kT)G(z)保持器的传递函数Gh(s)脉冲传递函数G(z)零阶：一阶：三角形：38第38页，共44页，2023年，2月20日，星期六传递