特殊角的三角函数

特殊角的三角函数第1页，共39页，2023年，2月20日，星期六

用手中三角板推导特殊角的三角函数值.

记忆特殊角的三角函数值.

计算含特殊角的三角函数式的值（P95例1）.

由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角（P96例2）.§

21.2特殊角的三角函数1课时：特殊角的三角函数值第2页，共39页，2023年，2月20日，星期六§

21.3用计算器求锐角的三角函数值目标要求：使学生会用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求对应的锐角.课时安排：用计算器求锐角三角函数值(1），用计算器探索锐角三角函数的性质（1）.第3页，共39页，2023年，2月20日，星期六用计算器求锐角三角函数值，由已知锐角三角函数值求它对应的锐角.充分让学生动手操作，相互交流操作程序，体验解决问题的程序性，教师适时点拨.第1课时：用计算器求锐角三角函数值§

21.3用计算器求锐角的三角函数值第4页，共39页，2023年，2月20日，星期六锐角三角函数的增减性，同角三角函数的平方关系，互余两角三角函数的关系.如：

探索锐角正弦的增减性（1）用计算器；（2）用几何画板；（3）用几何证明：αβ§

21.3用计算器求锐角的三角函数值第2课时：用计算器探索三角函数的性质第5页，共39页，2023年，2月20日，星期六

这节课重在探索的过程，重在让学生体会计算器可以帮助我们“做数学”，帮助我们理解数学.

三角函数的性质不要求学生掌握和记忆，更不要求用性质去解决其它问题，这一点教学时教师一定要注意把握.§

21.3用计算器求锐角的三角函数值第2课时：用计算器探索三角函数的性质第6页，共39页，2023年，2月20日，星期六§

21.4解直角三角形目标要求：使学生掌握运用直角三角形中的边角关系及锐角三角函数解直角三角形.课时安排：解直角三角形（1），

直角三角形中的有关计算（1）.使学生会将等腰三角形、梯形及一般三角形（含特殊角）中的边角计算问题通过作垂线转化为解直角三角形的问题去解决.第7页，共39页，2023年，2月20日，星期六解直角三角形是重要的基础性知识，它是解决许多问题的工具:地位作用直角三角形中的边角计算；一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；高中立体几何中有关边、角、距离的计算；高中斜三角形中的边角关系的推导；物理学科中的某些计算问题.§

21.4解直角三角形第8页，共39页，2023年，2月20日，星期六解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把已知和未知联系起来.两类型、两原则CBAa△ABC中，∠C=90°，已知a

，

∠A

，求b,c

.

b=atan(90°－∠A

)（尽量用乘法）§

21.4解直角三角形第1课时：解直角三角形第9页，共39页，2023年，2月20日，星期六

直角三角形可解的条件——知二，有一边例.△ABC中，∠C=90°，

解△ABC.分析：Rt△ABC中，已知一边，不可解；由已知，Rt△ADC中，已知两边可解，求出∠DAC，进而得∠BAC；至此Rt△ABC中,已知一边一角可解.§

21.4解直角三角形第1课时：解直角三角形第10页，共39页，2023年，2月20日，星期六例1：已知：△ABC中，CD、BE分别为AB与AC上的高，∠EBC=45°，∠DCB=30°，DC=12，求BE.分析：求BE，需要解Rt△BEC，已知一角，不可解；由已知，Rt△BDC中，已知一边一角可解，求出BC.至此Rt△BEC中,已知一边一角可解.§

21.4解直角三角形第2课时：直角三角形中的边角计算第11页，共39页，2023年，2月20日，星期六例2：已知：如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，∠B=30°，∠ADC=45°，求AC的长.分析：Rt△ABC，Rt△ADC均不可解；设DC=x，在Rt△ABC中，x§

21.4解直角三角形第2课时：直角三角形中的边角计算第12页，共39页，2023年，2月20日，星期六例3：在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠B＝60°

，求BC的长.思路：作AE⊥BC于点E.Rt△ABE可解，求出AE、BE，使Rt△ACE可解.E§

21.4解直角三角形第2课时：直角三角形中的边角计算4第13页，共39页，2023年，2月20日，星期六例4：已知△ABC中，AC＝4，∠A＝30°，∠B＝45°，求△ABC的面积.思路：由所求及已知AC，容易想到作BD⊥AC于点D.Rt△CBD含75°

，边之关系不明确.

改作CD⊥AB点D.D§

21.4解直角三角形第14页，共39页，2023年，2月20日，星期六例5：在△ABC中，BC＝6，AC＝，∠A＝30°

，求AB的长.思路：已知两边一对角，有可能两解.作CE⊥AB于点E.EE§

21.4解直角三角形第15页，共39页，2023年，2月20日，星期六例6：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC=7，求∠A.

思路：作CD⊥AB交BA延长线于点D.D§

21.4解直角三角形第16页，共39页，2023年，2月20日，星期六

对于含30°、45°和60°的直角三角形，借助几何性质求解.P102重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式，然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变形以后的式子.对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化为解直角三角形的问题.§

21.4解直角三角形（注意问题）第17页，共39页，2023年，2月20日，星期六《课程标准》总体目标之一：“运用数学的思维方式观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”.数学教学向生活回归，向应用贴近，是新课标下的数学教学应予突出的一个重要方面.数学教学要经历“从实际中来，到实际中去”的过程.§

21.5应用举例第18页，共39页，2023年，2月20日，星期六§

21.5应用举例目标要求：使学生了解仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离等在测量中常用的术语，并弄清它们的意义.课时安排：书上一个例题1课时，共5课时.使学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.进而用解直角三角形的知识解决.会设计简单的测量方案.第19页，共39页，2023年，2月20日，星期六105页例1：求折断树高问题.106例2：测高问题（底部可到达）（仰角、俯角）.109页例4：航海中的探索问题（方向角）.107页例3：修路建坝问题（坡度、坡角）.109页例5：测高问题（底部不可到达）.§

21.5应用举例五个例题类型：第20页，共39页，2023年，2月20日，星期六2.介绍仰角和俯角的概念如图，小聪站在低层的看台上，仰望升到顶端的国旗，小聪的视线在水平线的上方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为仰角.§

21.5应用举例教学设计：以P106例2为基础第21页，共39页，2023年，2月20日，星期六2.介绍仰角和俯角的概念如图，小聪站在高层的看台上，俯视升到顶端的国旗，小聪的视线在水平线的下方，这时视线与水平线所成的夹角，我们称为俯角.§

21.5应用举例教学设计：以P106例2为基础第22页，共39页，2023年，2月20日，星期六3.问题解决问题1：如图，小聪站在第1层看台的地面上，仰望升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距地面1.5米，他的双脚距旗杆底部18米，看国旗的仰角为29°.你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）1．5+18×tan29°≈11.5（米）

§

21.5应用举例教学设计：以P106例2为基础第23页，共39页，2023年，2月20日，星期六3.问题解决问题2：如图，小聪站在某一高层看台的地面上，俯视升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距看台地面1.5米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距离为34米，看国旗的俯角为10°.你会利用这些条件计算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米）1．5+16－34×tan10°≈11.5（米）§

21.5应用举例第24页，共39页，2023年，2月20日，星期六3.问题解决问题3：小聪站在看台的某层台阶上.请问：需要测量或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？①学生可能条件补充得不完整，或有多余条件，可通过讨论予以解决；

②有些学生可能要犯测量视线长度的错误，要让学生通过自己的思考，理解测量视线是无法操作的.§

21.5应用举例第25页，共39页，2023年，2月20日，星期六3.问题解决问题4：医学研究表明：人在观看物体时，当视线与水平线所成的俯角为15°时，眼睛感觉最舒适.如果小聪的双眼距看台地面1.5米，第1层看台阶距旗杆底部18米，每层台阶的高和宽均为0.5米，小聪站在第几层看台上观看升到顶端的国旗，眼睛最舒服？§

21.5应用举例第26页，共39页，2023年，2月20日，星期六3.问题解决设小聪站在第x层台阶上看顶端的国旗眼睛最舒服.§

21.5应用举例第27页，共39页，2023年，2月20日，星期六1.本课的意义在于：让学生初步领会把数学知识如何应用于生活实际，体会数学与生活的紧密联系，从而培养其应用数学的意识，激发其学习数学的兴趣.设计说明2.问题解决从简到繁，从易到难.问题的选取源于课本，高于课本；问题层层深入，具有开放性和挑战性.为学生探索、交流提供了空间，为不同的学生在各自的基础上，都有所收获、有所发展提供了可能.第28页，共39页，2023年，2月20日，星期六解直角三角形在实际中应用广泛，教材中举了五个例子.在教学时，不宜着眼于知识的加深和难度的提高，而要致力于使学生学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决.教会学生分析.如图，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果解决到0.1米）§

21.5应用举例第29页，共39页，2023年，2月20日，星期六如图，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向上走了50米到达点D，用高为1.5米的测角仪CD测得树顶的仰角为10°，已知山坡坡角为15°，求树AB的高（结果解决到0.1米）（1）根据题意画示意图；（2）示意图中含树（AB），测角仪（CD）垂直于地面；（3）引导学生说出题目中的每句话对应图中哪个角或边；10°E50F（4）AB=AE+CD+DF，解Rt△DFB求DF，求AE需要解Rt△ACE，已知一角不可解，为此要在Rt△DFB中求BF.1.5§

21.5应用举例第30页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则2.注意循序渐进：解直角三角形这一章是用代数方法研究直角三角形.在引入概念、推理论证、计算化简、解决实际问题时，都应该画图帮助确定对边、邻边，列出直角三角形中的边角关系，并进行定量计算.教学中教师要起好示范作用.1.注意形数结合：

学生的认识有一个由特殊到一般，由简单到复杂的发展过程.教学要适应这一规律，比如从研究含30°、50°角的直角三角形到含任意锐角的直角三角形，从开始的简单应用到后面的较复杂应用，由理论上的准备到实际测量活动，都是一个逐步深入提高的过程.教学中要注意这一点.第31页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：3.渗透思想方法：通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的转化；三角形中边角互化.第32页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：1.如图，在小山的东侧A处有一热气球，以每分钟25m的速度沿着与水平方向夹角为750的方向飞行，半小时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方向有一处着火点B，10分钟后，在D处测得着火点B的俯角是300，求热气球升空点A与着火点B的距离（结果精确到１m）.第33页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：分析：∠B=30°，∠D=45°，AD=1000（米）.E

作AE⊥

BD于E.第34页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：2.如图，∠ACB=∠ABD=90°，AB=5，AC=3，BD=E分析：作DE⊥BC于E.第35页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：3.(P121C组2)已知：Rt△ABC，∠C=90°，思路1：“角”化边D作CD⊥AB于D的大小关系是什么？请说明理由.若△ABC为锐角三角形，结论又如何呢?第36页，共39页，2023年，2月20日，星期六教学总原则（1）转化的数学思想：

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，