2020届山东济南高三二模数学试题详解

2020届山东省济南市高三二模数学试题一、选择题1.已知a为第四象限角，则cosa5131.已知a为第四象限角，则cosa513则sina=(12A.——13B.12135C.——125

D.—

12【答案】A【解析】【答案】A【解析】a为第四象限角，sina=—,：1—cos2a=—蔡■.故选：A2.集合A={1,2x}B={x,y},2.集合A={1,2x}B={x,y},AB={2}，则xy=(3.A.—1【答案】【解析】n已知抛物线x2=4y的焦点为FA.2B.3n1C.一2D.1B.点P在抛物线上且横坐标为4,则।PF1=C.5D.6【答案】C4.【解析】将x=4代入抛物线得到P（4,4），根据抛物线定义得至i」lPF1=4+?=4+1=5.故选：4.十项全能是由跑、跳、投等10个田径项目组成的综合性男子比赛项目，按照国际田径联合会制定的田径运动全能评分表计分，然后将各个单项的得分相加，总分多者为优胜.下面是某次全能比赛中甲、乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.下列说法错误的是（）乙两名运动员的各个单项得分的雷达图.下列说法错误的是（）试卷第1页，总15页A.在100米项目中，甲的得分比乙高B.在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同C甲的各项得分比乙更均衡D.甲的总分高于乙的总分【答案】C【解析】A.在100米项目中，甲的得分比乙高，A正确；B.在跳高和标枪项目中，甲、乙的得分基本相同，B正确；C.乙的各项得分比甲更均衡，C错误；D.甲的总分约为1000+950+500+800+850+950+450+850+750+500=7600，乙的总分约为750+750+750+800+850+750+650+650+750+700=7400，D正确.故选：C.5.已知函数f（x）=A.(-4,1)C.(-5.已知函数f（x）=A.(-4,1)C.(-1,4)|x-1,x〉1 ，若fQ2-4)〉f(3a),,则实数a的取值范围是()B.(-8,-4)u(1,+8)D.(一8,-1)(4,+8)【答案】D【解析】()J-X【解析】()J-X2+2X-1,X<1f =[|X-1|,X〉1=f(x)=Q-X2+2X-1,X<1X-1,X〉1,如图所示：画出函数图像,根据图像知函数单调递增，f（a2-4）>f（3a），即a2-4>3a，解得a〉4或a<-1.故选：D.IF4■IF4■.任何一个复数工=a+灰（其中a,beR,i为虚数单位）都可以表示成z=r（cos®+isin®）（其中r>0,0eR）的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：[r（cos0+isin0]n=rncosn0+isinn0,（neNJ，我们称这个结论为棣莫弗定理.由棣莫弗定理可试卷第2页，总15页

知，“〃为偶数”是“复数卜cos兀兀、知，“〃为偶数”是“复数卜cos兀兀、7+.了J为纯虚数的是（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B（【解析】cos

卜TOC\o"1-5"\h\zmn ..mn m兀 m（【解析】cos

卜=cos——+isin——为纯虚数，故cos=0且sin丰0，4 4 4 4故m=2+4k，keZ，故n为偶数是m=2+4k，keZ的必要不充分条件.故选：B..已知点A,b,C均在半径为、2的圆上，若।AB1=2，则ac.BC的最大值为（）A.3+2<2 B.2+2v2 C.4 D.<2【答案】B —一【解析】根据圆O半径为近,AB=2得到OA1OB，以OB,OA为九y轴建立直角坐标系，则12)12),b(2,0),(2cos0,<2sin、),AC-BC=AC-BC=(■'2cos0,v2sin0—<2)•(2cos0一<2,<2sin0)=2一2%2sinn\0+「当4)二一1时有最大值为二一1时有最大值为2+242.故选：B.8.在三棱锥P-ABC中，AB=2,AC1BC,若该三棱锥的体积为2，则其外接球表面积的最小值为试卷第3页，总15页A.5九A.5九49兀B.——1264八C~9~25兀D.~T【答案】DS△ABC=1CA-CB<1(CA2+CB2S△ABC=1CA-CB<1(CA2+CB2)=1一 一1一.2,当CA=CBK2时等号成立,故V=3S△ABC.h=3，故h>2,当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点0],h1 x1设球心为。，则O在Pq上，故R2=（h—R）2+12，化简得到R=-+,双勾函数y=-+—在1 22h 22x[2,+s）上单调递增，故[2,+s）上单调递增，故R=5min4故Smin'2=二;-兀.故选：D.min49.已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N（100，100）,其中90分为及格线，120分为优秀线.下列说法正确的是（）.附：随机变量1服从正态分布N（u,。2）,则P（R—o<g<u+o）=0.6826,P(目-2o<自<^+2o)=0.9544,P(u-3a<^<^+3a)=0.9974A.该市学生数学成绩的期望为100B.该市学生数学成绩的标准差为100A.该市学生数学成绩的期望为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等试卷第4页，总15页【答案】AC【解析】数学成绩x服从正态分布N(100,100),则数学成绩的期望为100,数学成绩的标准差为10,故A正确B错误;C正确;1-P(100-10<自<100+10C正确;及格率为p「1 2- =0.8413，不及格概率为P2不及格概率为P2=0.1587优秀概率p=

31-P(100-20<自<100+20) 二0.0228，D错误.故选：AC.10.已知圆锥的顶点为P，母线长为2,底面半径为、话,A,B为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是()A.圆锥的高为1B.三角形PAB为等腰三角形C.三角形PAB面积的最大值为<3D.直线PA与圆锥底面所成角的大小为76【答案】ABD【解析】如图所示：PO=\：22-('3)=1,A正确；PA=PB=2,B正确;冗易知直线P与圆锥底面所成角的为/PAO=-,D正确；6取AB中点为。取AB中点为。，设/PAC=。，则。g兀兀、—652)S=2sin0-2cos0=2sin20,K当0=-时，面积有最大值为2,C错误.故选：ABD.故选：ABD.1一 11.已知实数x,>,z满足InX=ey=-，则下列关系式中可能成立的是()

z试卷第5页，总15页a.%a.%>y>zb.%>z>yC.z>%>yd.Z>y>%【答案】ABC1［解析］设1［解析］设ln%=ey==k,k>0,

z1z=，画出函数图像，如图所示:k当k=当k=%1时，z>%>y；当k=%2时，%>z>y；当k=%3时，%>y>z；故选：ABC.12.已知函数f(%)=sin(3%+y)(其中，①〉故选：ABC.12.已知函数f(%)=sin(3%+y)(其中，①〉0,饰|<g),且f(%)在区间上单调，则下列说法正确的是(A.存在①，使得f(%)是偶函数f(0)=f3是奇数D.3的最大值为3【答案】BCD(兀【解析】f-8(兀、一—(兀fI-8贝Uf(%)=sin--o+^兀兀、行,24J时,兀 ， 兀故一一3+9=k兀，①=一3+k兀，keZ,8 8keZ，试卷第6页，总15页/兀、一一 (3兀、f二=0,f(%)<f—恒成立，V87 I8J(兀兀、f(兀兀、f(x)在区间|—12,24\JL乙兀上单调，故24-兀T 九 c=d—不，故T-，即3—8，8 2 4八3兀兀 3兀兀0<—«一,故 ——,故3V3,24 3 6 2综上所述：3=1或3=3,故CD正确；3=1或3=3,故①=:+k兀或①=3^+k兀，keZ,f(x)不可能为偶函数，A错误;8 8当3=1时，当3=1时，f(0)=sin中=sin—+k兀.(3兀=sin——=sin(兀-+k兀I8，故f(0)=f—；k47当3=3时，f当3=3时，f(0)=sin中=sin(把十k兀

k8=sin.(9兀兀，——+—+k兀=sin综上所述：f(0)=f[—，B正确;故选：BCD.三、填空题.5G指的是第五代移动通信技术，比第四代移动通信技术的数据传输速率快数百倍，某公司在研发5G项目时遇到一项技术难题，由甲、乙两个部门分别独立攻关，已知甲部门攻克该技术难题的概率为0.6,乙部门攻克该技术难题的概率为0.5.则该公司攻克这项技术难题的概率为 .【答案】0.8【解析】根据题意：P=1一(1—0.6)(1-0.5)=0.8.-J1.能够说明“若一>丁，则a<b”是假命题的一组整数a,b的值依次为 .ab【答案】a=1,b=-1,答案不唯一，a,b分别取大于0,小于0的整数即可11【解析】取a=1,b=-1,满足一>7，但a>b，得到命题为假命题.ab.已知函数f(x)=ex-a(x+1)，若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是 .【答案】(1,+8)【解析】f(x)=ex-a(x+1)=0,当x=-1时，不成立，故a=上，设g(x)=—,xw-1,x+1 x+1试卷第7页，总15页则g'(x)=(=»，故函数在(—8,—1)上单调递减，在(—1,0)上单调递减，在[0，十8)单调递增，g(og(o)=1，画出函数图像，如图所示，根据图像知：a>1.16.12020届山东省济南市高三二模】已知。，F分别是双曲线C:a|—y=1(a>0,b>0)的左，右焦点，过点勺向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点p,直线F2p与>轴交于点q(p,q在x轴同侧)，连接。々，若△PQF的内切圆圆心恰好落在以勺勺为直径的圆上，则/勺pf2的大小为双曲线的离心率为兀 b【答案】?凸【解析】如图所示：不妨取渐近线y=/，易知b>a，(否则不能与右支相交)，则直线FP为y=—a(x十c),即ax十by十ac=0.设内切圆圆心为0,根据对称性知0在y轴上,1 b 1 1△PQF1的内切圆圆心恰好落在以f1f2为直径的圆上，故Of]1O1f2,故01(0,—c),01到直线PF1ac—ac—bc的距离为：4=—1—1aa2十b2=baa.设直线PF2：y=k(x—c)，即kx—y—kc=0,01到直线PF2c—kc的距离为c—kc的距离为d=2 <1十k2直线PF：y=a(x一c),故pf11pf2，/f1"咤.联立方程得到,v_a()y=—x十c/b又，解得v_b(x-)y—\x—cjaTOC\o"1-5"\h\z=d=b—a，化简整理得到abk2—(a2+b2)k+ab=0，解得k=2或

1 aaa ,7a, a ak=，当k=时，直线y=—-(x+c)与y= (x—c)的交点横坐标为0，不满足题意，舍去.故bb b b4a2b24a2b2=1，化简整理得到：c2=5a2，故，代入双曲线方程得到： a试卷第8页，总15页e=\：'5.四、解答题.2020年4月21日，习近平总书记到安康市平利县老县镇考察调研，在镇中心小学的课堂上向孩子们发出了“文明其精神，野蛮其体魄”的期许某市教育部门为了了解全市01中学生疫情期间居家体育锻炼的情况，从全市随机抽1000名中学生进行调查，统计他们每周参加体育锻炼的时长，右图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.（1（1）已知样本中每周体育锻炼时长不足4小时的体育锻炼的中学生有100人，求直方图中。，b的值;（2）为了更具体地了解全市中学生疫情期间的体育锻炼情况，利用分层抽样的方法从［10，12）和［12,14］两组中共抽取了6名中学生参加线上座谈会，现从上述6名学生中随机抽取2名在会上进行体育锻炼视频展示，求这2名学生来自不同组的概率.【解析】(1)由题知温=2a,(b+2a+0.075+0.1+0.2)义2=1，所以a=0.05,b=0.025.a⑵因为厂2'所以6名学生中有4名来自于［10,12）组,有2名来自于［12,14］组，记事件A为：“这2记事件A为：“这2名学生来自不同组”则P(A)=15,.已知ABC中，三个内角A,b,C所对的边分别是a,b,。.(1)证明：acosB+bcosA=c；⑵*①cosBcosA，②cosA⑵*①cosBcosA，②cosA=2bcosA-acosC，③2a一bcosCccosBcosAosA这三个条件中试卷第9页，总15页任选一个补充在下面问题中，并解答若a=7,b=5,，求ABC的周长.a2+c2—b2,b2+c2—a2【解析】（1）根据余弦定理：acosB+bcosA=a +b 2ac 2bca2a2+c2-b2+b2+c2-a2 =c2c所以acosB+bcosA=c.（2）选①：因为（2）选①：因为2c一b

cosBacosA所以2c-cosA=bcosA+acosB，1所以由（1）中所证结论可知，2ccosA=c，即cosA=-，乙TOC\o"1-5"\h\z，/八、 兀因为Ag（0,兀），所以A=-；选②：因为ccosA=2bcosA一acosC，所以2bcosA=acosC+ccosA，由（1）中的证明过程同理可得，acosC+ccosA=b，，/八、 兀所以2bcosA=b，即cosA=-，因为Ag（0,兀），所以A=-；3一.cosC cosB 一选③：因为2a-b- =c- ，所以2acosA=bcosC+ccosB，cosA cosA由（1）中的证明过程同理可得，bcosC+ccosB=a1 兀所以2acosA=a，即cosA=—，因为Ag（0,兀），所以A=~.2 3在ABC中，由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA=25+c2-10c•—=49，2即c2-5c-24=0，解得c=8或c=-3（舍），所以a+b+c=7+5+8=20,A即ABC的周长为20.19.如图，三棱维P-ABC中，平面PAB1平面ABC,ZPAB=ZPBA=45。，^ABC=2NBAC=60。,AD是棱AB的中点，点E在棱PB上点G是BCD的重心.rr（1）若E是PB的中点，证明GE//面PAC；BE（2）是否存在点E,使二面角E-CD-G的大小为30。，若存在，求就的值；若不存在，请说明BP理由.试卷第10页，总15页【解析】(1)延长DG交BC于点F，连接EF，因为点G是BCD的重心，故F为BC的中点，因为D,因为D,E分别是棱AB,BP的中点，所以DF〃AC,DE//AP,又因为DFDE=D，所以平面DEF//平面APC，又GE平面def，所以GE平面pac. 仁(2)连接PD，因为/PAB=/PBA=45。，所以PA=PB，又D是AB的中点，所以PD±AB,因为平面PAB1平面ABC,而平面PABc平面ABC=AB,PDu平面PAB,所以PD1平面ABC,如图，以D为原点，垂直于AB的直线为1轴，DB,DP所在直线分别为》轴，z轴建空间直角坐标系，设PA=PB=2，则AB=2/2,PD=CD=<2,所以D(0.0,0)所以D(0.0,0),B(0,v12,0),C容冬。1P(0,0,<2)，假设存在点E，设BE二九BP,九£(0.1],则DE=DB+BE^DB+七P=(0,<2,0)+九(0,—、：2,回=(0,v'2(1—九),V2X),所以E所以E(0,、②1-九),<2X)，又DC=冬冬。1n•DC=^-x+-^-y=0设平面ECD的法向量为n1=(x,y,z)，则\1 2 2n•DE=72(1—X)y+修=0l1 2试卷第11页T总15页

又平面。。6,平面ABC的法向量n2=(0,0,1),n•nInIInI73(1-X)

X即立一-12，解得X=3而二面角n•nInIInI73(1-X)

X即立一-12，解得X=3所以存在点E，使二面角E-CD-G的大小为30。，此时BE=1.BP3.如图1,杨辉三角是我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》中列出的一张图表，如图2,把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，会得到一个数列｛〃),其中a1=1,a2=1,a3=2…设数列｛an｝的前n项和为Sn.试卷第12页，总15页

(1)求(1)求a8的值，并写an,an+1,0”+2出满足的递推关系式(不用证明)(2)记a2022=m，用m表示S2020.【解析】(1)a=1+6+10+4=21；a=a+a(n(=N).(2)因为a=a+a, a4 = a3 + a2，…a2⑼=a2020+a, a2022= a2⑼+ a2020,相加得a+a+•…+a=a+a+•…+a +(a+a+•一+a ),所以02022-a2=S2020，所以S.。=m-1..已知椭圆C:上+；=1(a>b>0)的左顶点和下顶点分别为A,b,IAB1=2<5，过椭圆焦点且a2b2与长轴垂直的弦的长为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知M为椭圆C上一动点(M不与A,B重合)，直线AM与y轴交于点P,直线BM与x轴交于点Q，证明：IAQI-IBPI为定值.a2+b2=20 「 /一 x2 y2所以椭圆C一 x2 y2所以椭圆C的方程为7+一=1.16 4【解析】(1)由题意可知彳2b2 ，解得<。，一=2 1b=21aTOC\o"1-5"\h\z(2)A(-4,0),B(0,-2)，设M(x,y),P(0,y),Q160),0 0 p Q因为M(x,y)在椭圆C上，所以x2+4y2=16,0 0 0 0yy 4y 2x由A,P,M三点共线得：了=xTW，即yp=xT4，同理可得：xQ=y720 0 0试卷第13页，总15页所以IAQI・lBP1=xQ+4I-IyP+2I=：2+4y2+16+4xy+8x+16y)0 0_^ 00、0 0_(x+4)(y+2)所以IAQI-IBPI为定值16.22.已知函数f(x)二野存在唯一的极值点x0. 0-

y0+2(x(x1+x2) 1(x+x)>e-ax+e-ax.1 2•(1)求实数a的取值范围；⑵若5/2岂1+8)，证明：邛【解析】(1)函数的定义域为(0，+8),

21启 1--alnx*/、 1ix，令g(x)=--aInx, xeax①若a=0，则f'(x)>0,f(x)在(0,+8)上单调递增，不合题意;②若a<0,②若a<0,g'(x)=- x21令g(x)=0，得x=-->0,a一(c11所以g(x)在0,—-VaJ上单调递减(1 、在——,+8上单调递增VaJ(1)V-aJ一(1、二-a-aln(1)V-aJ一(1、二-a-alnV-J(1=-a1+In一—(i)若1+ln—1「 „ ,、1-N0，即-e<a