2020-2021高中必修一数学上期末一模试题含答案

2020-2021高中必修一数学上期末一模试题含答案(1)一、选择题1.已知函数fG)=(a-2)x,x>2一、选择题1.已知函数fG)=(a-2)x,x>24门、x不T，x<2IV2满足对任意的实数『凡都有f(x)-f(x)——1 J<0x-x成立，则实数a的取值范围为()(13]A.(—8,2) B.[-8,— C.(—8,2]D.2.设a=log23,b=33，c=e3,则ab，c的大小关系是(A.a<b<cb.b<a<cc.b<c<aD.a<c<b3.已知函数f(x)=2x+log2x,g(x)=2-x+logx,

2h(x)=2x-log2x-1的零点分别为a,A.c,则a,b,c的大小关系为().b<a<cb.c<b<ac<a<ba<b<c4.若f4.若f(x)=(3-a)x-4a,x<1x2,x>1是(-8,+8)的增函数,则a的取值范围是()A.I，3(-8A.I，3(-8,3)D.(2—,十8V55.A5.A.(-1,0兀(0,1)Ilog2x,x>0,设函数f(x)=jlog(-x),x<0.若f(a)>f(-a),则实数的a取值范围是(12(-8,-1)O(1,+8)(-1,0)D(1,+8)(-8,-1)D(0,1).已知函数f(x)=e~七，2f(sin9)+f(1-m)>0成立，一 八七兀一xeR，若对任意961。,'］，都有则实数m的取值范围是()A.(0,1) B.(0,2) C.(-8,1) D.(-8,11TOC\o"1-5"\h\z5 48.若函数y=a--ax(a>0,a于1的定义域和值域都是[0,1],则log-+log—=(6 5A.1 B. 2 C. 3 D.4.已知函数f(x)=10go5x，则函数fQx—x2)的单调减区间为()A.(-8,1] B. [1,+8) C.(0,1] D.[1,2).下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是()1A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=「=<x

.设函数f(x)=［l—l&tx^x>1，则满足f(x)«2的x的取值范围是( )A.［-1,2］ B.［0,2］ C.『什) D.［o,+^).对数函数丫1。品必：”Ju且”•口与二次函数】• ：“在同八在同一坐标系内的图象可能是().已知f(x)=2x+2-x，若f(a)=3,则Uf(2a)等于TOC\o"1-5"\h\zA.5 B.7 C.9 D.11二、填空题二，、 211.已知f(x)是定义域为R的单调函数，且对任意实数x都有ff(x)+--7=£,则\o"CurrentDocument"2x+1 3f(log25)=..已知偶函数f(x)的图象过点P(2,0)，且在区间［o,+s)上单调递减，则不等式xf(x)>0的解集为..对于复数a,b,c,d，若集合S="，bc，d｝具有性质“对任意x，>eS，必有a=1,xyeS"，则当｛b2=1，时，b+c+d等于c2=b.已知函数f(x)=—x2+ax+a+2，g(x)=2x+1，若关于x的不等式f(x)>g(x)恰有两个非负整数解，则实数a的取值范围是. .对于函数y=f(x)，若存在定义域D内某个区间［a，b］，使得y=f(x)在［a，b］上的值域也为［a，b］，则称函数y=f(x)在定义域D上封闭，如果函数f(x)=-1+x在R上封闭，则b-a=1 1c.已知3m—5n—k，且一+—=2，则k=mn(a一2)x,x>2.已知函数f(x)=v1)x1c，满足对任意的实数1x，都有不一1,x<2 1 2[12f(x)一ff(x)一f(x) 1 2x-x<0成立，则实数a的取值范围为20.若函数f(x)=-b有两个零点，则实数b的取值范围是三、解答题.节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为2mg/m3，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为1.94mg/m3.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为r0,首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为厂］，则第次次改良后所排放的废气中的污染物数量二，可由函数模型r=r0-(ro—r)50.5"+「(PeR，nEN*)给出，其中n是指改良工艺的次数.(1)试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；(2)依据国家环保要求,企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过0.08mg/m3，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标(参考数据:取lg2=0.3).已知函数f(x)=Asin(rox+8)+B(A>0,o>0，也|<：)，在同一个周期内，当x=［时，f(x)取得最大值主2，当x=勺时，f(x)取得最小值-立6 2 3 2(1)求函数f(x)的解析式，并求f(x)在［0,九］上的单调递增区间.g(x)的图象，方程g(xg(x)的图象，方程g(x)=a在0,3有2个不同的实数解，求实数a的取值范围.、 12x,不,m,.已知函数f(x)=彳 其中0„m<1.I|lgx|+1,x>m,(I)当m=0时，求函数y=f(x)-2的零点个数;(II)当函数y=f2(x)-3f(x)的零点恰有3个时，求实数m的取值范围..药材人工种植技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：人工种植药材时，某种药材在一定的条件下，每株药材的年平均生长量v(单位：千克)是每平方米种植株数x的函数.当x不超过4时，v的值为2；当4<x<20时，v是x的一次函数，其中当x为10时，v的值为4；当x为20时，v的值为0.(D当0<x<20时，求函数v关于x的函数表达式；(2)当每平方米种植株数x为何值时，每平方米药材的年生长总量(单位：千克)取得最大值？并求出这个最大值.(年生长总量=年平均生长量X种植株数)2.已知f(x)=-,g(x)=f(x)-1.1+2x(1)判断函数g(x)的奇偶性；(2)求£/(-i)+£于⑺的值.i=1 i=1X-(T-1<° 226.记关于上的不等式一। 的解集为吃不等式।, ,1的解集为Q.(1)若■ 3,求集合P；(2)若「口且。"、‘尸Q,求口的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题B解析：B【解析】【分析】【详解】a-2<0试题分析：由题意有，函数f(不)在R上为减函数,所以有｛/ 6c//1、,-解出(a-2)x2<(—)2-12a<13,选B.8考点：分段函数的单调性.【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题.从题目中对任意的实数\WX2，都有f(X)-f(X)-1 J<0成立，得出函数f(X)在R上为减函数，减函数图象特征:从左向右看，图X-X一，ii,1、 - 13象逐渐下降，故在分界点％=2处,有(。-2)*2<(-)2-1,解出a<—.本题容易出错的地方2 8是容易漏掉分界点％=2处的情况.A解析：A【解析】【分析】根据指数幕与对数式的化简运算，结合函数图像即可比较大小.【详解】2因为a=log23,b=<3, -c=e3令f(x)=log2X,g(令f(x)=log2X,g(X)=\；x函数图像如下图所示：所以当X=3时，3>>10g23,即a<b=e4>2.74h53.1所以b6<c6,即b<c综上可知，a<b<c故选:A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幕函数大小的比较因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.3.D解析：D【解析】【分析】函数f(x)=2x+log2x,y=log2x与函数y=-2x关系.【详解】令f(x)=2x+logx=0.令g(x)=2T-log±x=02g(x)=2-x+log2x,h(x)=2xlog2x-1的零点可以转化为求函数y=-2-x,y=2-x的交点，再通过数形结合得到a,b,c的大小则Ulogx=-2-x

2令h(x)=2xlog2x-1=0,所以函数f所以函数f(x)=2x+log2X，g(x)=2T+log2X,h(x)=2xlogx-1的零点可以转化为求函数

2y-log2X与函数y=logx与函数y=-2.如图所示，可知0<a<b<1,c>1,a<b<c.故选：D.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，考查对数函数和指数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.A解析：A【解析】【分析】利用函数y=f(X)是(-8,+8)上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在分界点X=1处的函数值大小，即(3-a)x1-4a<12，然后列不等式可解出实数a的取值范围.【详解】f(3-a)x-4a,x<1由于函数八x)=\ 是(-8,+8)的增函数，〔 X2,X>1则函数J=(3-a)x-4a在(-8,1)上是增函数，所以，3-a>0，即a<3；且有(3-a)x1-4a<12，即3-5a<1,得a>|,【点睛】因此，实数a因此，实数a的取值范围是||,3，故选A.本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点:(1)确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；

(2)结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系.C解析：C【解析】【分析】log产log产x>0, 「a>0因为函数fGHlogiCx<0.若f(a)>f(一。)，所以1ga>—loga或a<0log(—a)>log(—a)，解得a>1或T<a<0，即实数的a取值范围是(-1,0)d(1,+8)，故选C.D解析：D【解析】试题分析：求函数f(x)定义域，及f(-乂)便得到f(x)为奇函数，并能够通过求f八1兀一(x)判断f(x)在R上单调递增，从而得到sine>m-1，也就是对任意的6e0,-都有sinO>m-1成立，根据0<sinBW1，即可得出m的取值范围.详解：f(x)的定义域为R，f(-x)=-f(x)；f(x)=ex+e-x>0；••・f(x)在R上单调递增；由f(sin。)+f(1-m)>0得，f(sin0)>f(m-1)；/.sin0>m-1；「c冗即对任意oe0,-都有m-1<sin0成立；I2V0<sin0<1；/.m-1<0；・•・实数m的取值范围是(--1].故选：D.点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.C解析：C

【解析】【分析】先分析得到。>1,再求出。=2，再利用对数的运算求值得解.【详解】由题意可得a—ax>0,ax<a,定义域为［0,1］,所以a>1,y=aa-ax在定义域为［0,1］上单调递减，值域是［0,1］,所以f(.0)=a——1=1,八1)=0,所以a=2,5 48 5 48所10ga6+logay=log26+l0g2y=lQg28=3-故选C【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.C解析：C【解析】函数f(x)=10go)x为减函数，且X>0,令t=2X—X2，有t>0，解得0<x<2.又t=2x—x2为开口向下的抛物线，对称轴为x=1,所以t=2x—x2在(0,1］上单调递增，在11,2)上单调递减，根据复合函数“同增异减”的原则函数f(2x—x根据复合函数“同增异减”的原则函数f(2x—x2)的单调减区间为(0,1]故选C.点睛：形如y=f(g(x))(x),y=f(x)的复合函数,y=g(x)为内层函函数函数y=f(g(x))也单增;函数y=f(g(x))也单减;函数y=f(g(x))也单减;函数y=f(g(x))也单增.数，y=f(x)为外层函数.当内层函数y=g(x)单增，外层函数y=f(x)单增时，当内层函数y=g(x)单增，外层函数y=f(x)单减时，当内层函数y=g(x)单减，外层函数y=f(x)单增时，当内层函数y=g(x)单减，外层函数y=f(x)单减时，简称为“同增异减”.D解析：D【解析】试题分析:因函数y=101gx的定义域和值域分别为工：：」■.二：，；,故应选d.考点：对数函数幕函数的定义域和值域等知识的综合运用.D解析：D【解析】【分析】分类讨论：①当x<1时；②当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可.【详解】当x<1时，21T<2的可变形为1—x<1,x>0,「.0<x<1.当x>1时，1—1og2x<2的可变形为x>2，.二x>1,故答案为［0,一).故选D.【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解.A解析：A【解析】【分析】根据对数函数的单调性，分类讨论，结合二次函数的图象与性质，利用排除法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若。】，则在山-「I上单调递减，,1又由函数E1A八开口向下，其图象的对称轴二二. 在丫轴左侧，排除C,D.若门.1,则-I。』:"在--「上是增函数,函数丫1IA'八图象开口向上，且对称轴 .在「轴右侧，因此B项不正确，只有选项A满足.【点睛】本题主要考查了对数函数与二次参数的图象与性质，其中解答中熟记二次函数和对数的函数的图象与性质，合理进行排除判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.B解析：B【解析】因为f(x)=2x+2-x，所以f(a)=2a+2-a=3，则f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2—2=7.选B.二、填空题•【解析】【分析】由已知可得二a恒成立且f(a)二求出a=1后将x=10g25代入可得答案【详解】:函数f(x)是R上的单调函数且对任意实数x都有f=「.=a恒成立且f(a)=即f(x)=-+af(a)2解析：§【解析】【分析】由已知可得fG)+白1=a恒成立，且f(a)=§，求出a=1后，将x=log25代入可得答案.【详解】•・•函数f(x)是R上的单调函数，且对任意实数x,都有f[f(x)+-^-]=1,TOC\o"1-5"\h\z2x+1 3f(X)+=a恒成立，且f(a)=-,2x+1 32 2 1即f(x)=-+a,f(a)=-+a=—,2x+1 2x+1 32解得：a=1,，f(x)=--+1,2x+12Af(log25)=§,2故答案为：§.【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法和函数求值的问题，正确理解对任意实数x,都有ff(%)+ =1成立是解答的关键，属于中档题._ 2x+1」3.【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出的图象利用数形结合进行求解即可【详解】偶函数的图象过点且在区间上单调递减函数的图象过点且在区间上单调递增作出函数的图象大致如图：则不等式等价为或即或即解析：(-*-2)d(0,2)【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质作出f(X)的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】Q偶函数fG）的图象过点P（2,0），且在区间［0,+s）上单调递减，二函数fG）的图象过点（—2,0），且在区间（—8,0）上单调递增，作出函数fG）的图象大致如图：则不等式对（x）>0等价为If（x5>0或］f（X3<0，即0<x<2或x<一2，即不等式的解集为（一8,—2）d（0,2），故答案为（一8,-2）D（0,2）【点睛】本题主要考查不等式的解集的计算，根据函数奇偶性和单调性的性质作出f（X）的图象是解决本题的关键..-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1【解析】由题意可得：b2=1,a=1,结合集合元素的互异性，则：b二一1,由c2=b=—1可得：c=i或c=-i,当c=i时，bc=-igS，故d=-i,当c=-i时，bc=igS，故d=i,综上可得：b+c+d=-1..【解析】【分析】由题意可得f（x）g（x）的图象均过（-11）分别讨论a>0a<0时f（x）>g（x）的整数解情况解不等式即可得到所求范围【详解】由函数可得的图象均过且的对称轴为当时对称轴大于0由题解析：【解析】【分析】

由题意可得f(x),g(x)的图象均过(-1,1),分别讨论a>0,a<0时，f(x)>g(x)的整数解情况，解不等式即可得到所求范围.【详解】由函数f(x)=-x2+ax+a+2,g(x)=2x+1可得f(x),g(x)的图象均过(-1,1)，且f(x)的对称轴为x=a，当a>0时，对称轴大于0.由题意可得f(x)>g(x)恰有0,1两\f(1)>g(1) 3 /0个整数解，可得1 n-<a<；当a<0时，对称轴小于0.因为[f(2)<g(2) 2 3f(-D=g(-D,(310-由题意不等式恰有-3,-2两个整数解，不合题意，综上可得a的范围是V23.故答案为:【点睛】本题考查了二次函数的性质与图象，指数函数的图像的应用，属于中档题..6【解析】【分析】利用定义证明函数的奇偶性以及单调性结合题设条件列出方程组求解即可【详解】则函数在R上为奇函数设即结合奇函数的性质得函数在R上为减函数并且由题意可知：由于函数在R上封闭故有解得：所以解析：6【解析】【分析】利用定义证明函数y=f(x)的奇偶性以及单调性，结合题设条件，列出方程组，求解即可.【详解】f(r)二一f(r)二一-4x 4x1+1-x|1+二—f(x)，则函数f(x)在R上为奇函数一 4x设0<x1<x2,f(x)=-1—f(x)-ff(x)-f(x)=4x 4x 4(x-x)~+nr飞+x)(1L)>0，即f(">f(x2)结合奇函数的性质得函数f(x)在R上为减函数由题意可知：a<0,b>02并且f(0)=0由于函数f(x)由于函数f(x)在R上封闭，故有f(a)=b

f(b)=a4a_- =b1-a ,，解得：a=-3,b=34b =a〔1+b所以b一a=6故答案为：6

【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的奇偶性以及单调性，属于中档题.【解析】因为所以所以故填解析：V151 1 1g5 1g3 1g15 c1 1 1g5 1g3 1g15 c-+-=—+—=-^=2，所以m n 1gk 1gk 1gk因为3m=5n=k，所以m=log3k,n=log5k一一一一 ■—— ,——lgk=51g15=1gv15,k=<15，故填<15.【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数•・•函数故计算得出：点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：（1）若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段（131解析：-巴⑤k8.【解析】f(x)-f(x)若对任意的实数x产x。都有一1一—<0成立，1 2 X—X则函数f(X)在R上为减函数，(a—2)x,x>2•・.函数f(X)=\(1^X7―1,X<21I271 (1\22(a—2)<-〔 k27计算得出:(计算得出:(131&十8，至.点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：（1）若函数在区间［a,b］上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；（2）分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么解析：0<b<2【解析】【分析】【详解】函数f(x)=2x—2—b有两个零点，y二-2|和？二石的图象有两个交点，画出第二|2-2|和,二6的图象，如图，要有两个交点，那么Be也2)三、解答题(1)r=2-0.06x50.5〃-0.5(〃eN*)(2)6次n【解析】【分析】(1)先阅读题意，再解方程求出函数模型对应的解析式即可;(2)结合题意解指数不等式即可.【详解】解：(1)由题意得r=2,[=1.94,所以当n=1时,(=r0-(r-()•50.5+p,即1.94=2-(2-1.94)•50.5+p,解得p=-0.5,所以r=2—0.06x50.5--0.5(neN*),故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为r=2-0.06x50.5n-0.5(neN*)n(2)由题意可得，厂;2—0.06x50.5〃-0.5<0.08n整理得,50.5n一0.5>19|,即50.5n一0.5>32,0.06lg32两边同时取常用对数，得0.5n—0.5>-tv，lg5c5lg21整理得n>2x曰g]+1,・-cc c51g2I30将lg2=0,3代入，得2x——r+1=—+125.3,1-1g2 7

又因为neN*，所以n>6.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标【点睛】本题考查了函数的应用，重点考查了阅读能力及解决问题的能力，属中档题(1)f(x)=72sin[2x+g]+上，单调增区间为I6)2(2)ae【解析】【分析】(1)由最大值和最小值求得AB，由最大值点和最小值点的横坐标求得周期，得①，再由函数值(最大或最小值均可)求得①，得解析式；/、 /、 /兀 ，、(2)由图象变换得g(x)的解析式，确定g(x)在[0,-]上的单调性，而g(x)=a有两个解，即g(x)的图象与直线)=a有两个不同交点，由此可得.【详解】A+B=退，(1)由题意知(1)由题意知j-A+B=-旦,2可得①=2./兀、由f-=V^sin-+p+所以f(x)=72sin[2x+?]+/I6)2由2kn-解得kn--<x<kn+—,keZ.3 6又x㊂口力],所以f(不)的单调增区间为o,6,j|n,兀(2)函数f(°的图象向左平移A个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到函数式。的图象，得到函数式工)的表达式为g(Q=/sin12x+g.k3J一，八九因为x£0，,/、c九 兀兀S(x)在［0,-］是递增，在［―,—］上递减，JL乙 JL乙乙要使得g(X)=a在0,2上有2个不同的实数解，即J=g(X)的图像与y二a有两个不同的交点，所以a£半。【点睛】本题考查求三角函数解析式，考查图象变换，考查三角函数的性质.“五点法”是解题关键，正弦函数的性质是解题基础.一.. 「C11(I)零点3个.(II)0,—_100J【解析】【分析】(I)当m=0时，由f(x)-2=0，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出y=f(x)-2的零点的个数.(II)令f2(x)-3f(x)=0，解得f(x)=0(根据分段函数解析式可知f(x)>0，故舍去.)或f(x)=3.结合分段函数解析式，求得f(x)=3的根，结合分段函数f(x)的分段点，求得m的取值范围.【详解】八匕、12x,x0,(I)当m=0时,f(x)1|lgx|+1,x>0.令y=f(x)-2=0，得f(x)=2,则11gx1+1=2或2ixi=2.1解11gx1+1=2，得x=10或—,解2ixi=2，得x=-1或x=1(舍).1 ..所以当m=0时，函数y=f(x)—2的零点为-1,—,10,共3个.(II)令f2(x)-3f(x)=0,得f(x)=0或f(x)=3.

由题易知f(x)>。恒成立.所以f(x)=3必须有3个实根，即11gxI+1=3和2ix|=3共有3个根.①解2ixi=3，得x=-1og23或x=10g23>1(舍)，故有1个根.1②解11gx1+1=3，得x=100或x=前，1要使得两根都满足题意，则有m<—.1又。„m<L所以0„m<—.匚1)所以实数m的取值范围为0,—._1007【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.20<x<4(1)v=<2q//”；(2)10株时，最大值40千克——x+8,4<x<2015【解析】【分析】当4<x<20时，设v=ax+b，然后代入两组数值，解二元一次方程组可得参数a、b的值，即可得到函数v关于x的函数表达式；第(2)题设药材每平方米的年生长总量为fG)千克，然后列出f(x)表达式，再分段求出f(x)的最大值，综合两段的最大值可得最终结果.【详解】(1)由题意得，当0<x<4时，v=2；当4<x<20时，设v=ax+b,T