2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题

2020-2021重庆备战中考数学压轴题专题初中数学旋转的经典综合题一、旋转.⑴发现：如图1,点4为线段8c外一动点，且BC=a,AB=b.填空：当点A位于时，线段4c的长取得最大值，且最大值为(用含。，b的式子表示)(2)应用：点4为线段8c外一动点，且BC=4,AB=1,如图2所示，分别以八8,AC为边，作等边三角形4BD和等边三角形4CE,连接CD,BE.①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由：②直接写出线段8E长的最大值.⑶拓展：如图3,在平面直角坐标系中，点八的坐标为(2,0),点8的坐标为(6,0),点P为线段八8外一动点，且以=2,PM=PB,Z8PM=90%请直接写出线段4M长的最大值及此时点P的坐标.【答案】⑴CB的延长线上，a+b；(2)①CD=8E,理由见解析：②8E长的最大值为5；(3)满足条件的点P坐标(2- )或(2- ，-后，AM的最大值为2JI+4.【解析】【分析】(1)根据点4位于CB的延长线上时，线段4c的长取得最大值，即可得到结论；(2)①根据已知条件易证△△)8,根据全等三角形的性质即可得CD=8E：②由于线段8E长的最大值=线段8的最大值，根据(1)中的结论即可得到结果：(3)连接8M,将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△P8N,连接4N,得到△AP/V是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=%=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时，线段8N取得最大值，即可得到最大值为20+4；如图2,过P作PE_Lx轴于£根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中，根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件，由此求得符合条件的点P另一个的坐标.【详解】⑴点八为线段BC外一动点，且BC=a,AB=b,・•・当点八位于CB的延长线上时，线段4c的长取得最大值，且最大值为BC+4B=a+b,故答案为CB的延长线上，a+b；(2)①CD=8E,理由：•・•△A8D与△ACE是等边三角形，/.AD=AB,AC=AE,ZBAD=ZCAE=6O°fZBAD+ZBAC=ZCAE+4BAC,即NCAD=AEAB,

AD=AB在^CAD与4E4B中，＜ZCAD=ZEAB,[AC=AE「・△CAD^△EAB(SAS)9••.CD=BE；0V线段BE长的最大值=线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点。在CB的延长线上,・•・最大值为8D+BC=4B+BC=5；⑶如图1,・・・将△APM绕着点P顺时针旋转90。得到△PBN,连接AN,则△APN是等腰直角三角形，：.PN=PA=2,BN=AM,:A的坐标为(2,0),点8的坐标为(6,0),/.04=2,08=6,「・tAB=4,•・线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值=48+4N,/AN=OaP=2应，「•最大值为2 +4；如图2,过过P作PE_Lx轴于E,・・・△APN是等腰直角三角形,PE=AE=72，「・OE=8O-A8-AE=6-4-=2「・OE=8O-A8-AE=6-4-=2「.P(2-「.P(2-①，①)・根据对称性可知当点P在第四象限时，P（2-戊，-&）时，也满足条件.综上所述，满足条件的点P坐标（2-屈，立）或（2- ,-⑰，AM的最大值为2应+4.【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质.正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.平面上，R3ABC与直径为CE的半圆。如图1摆放，ZB=90°,AC=2CE=m,BC=n,半圆。交BC边于点D,将半圆0绕点C按逆时针方向旋转，点D随半圆0旋转且ZECD始终等于/ACB,旋转角记为a（0*心180。）BE0(1)D图1当a=0BE0(1)D图1当a=0。时，连接DE,则NCDE=音用图°,CD=试判断：旋转过程中空的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明：AE(3)若m=10,n=8,当a=NACB时，求线段BD的长；(3)若m=6,n=4j%,当半圆。旋转至与△ABC的边相切时，直接写出线段BD的长.【答案】(1)90。，2；(2)无变化：(4)BD=2M或^

2 5 3【答案】【解析】试题分析：（1）①根据直径的性质，由DEII48得工2=£与即可解决问题.②求出CBCA8D、4E即可解决问题.

(2)只要证明△ACE〜△BCD即可.(3)求出AB、AE,利用△4CE~△8CD即可解决问题.(4)分类讨论：①如图5中，当a=90。时，半圆与4c相切，②如图6中，当a=9(T+N4CB时，半圆与BC相切，分别求出8。即可.试题解析：(1)解：①如图1中，当a=0时，连接0E,则CECD1 1 …ZCDE=9Q\'/ZCDE=NB=90。，「.DEWAB,：.——=——=-.=BC=n9：.CD=-n.故答ACCB2 2案为90。，-n.2②如图2中，当a=180。时，BD=BC+CD=-n,AE=AC^CE=-m,.二迫=4■.故答案为2 2AEmCDBCn(2)如图3中,•/ZACB^ADCE,：.Z>4CE=ZBCD. ——(2)如图3中,CEACmBDBCnBDBCn(3)如图4中，当a=N4CB时.在R3A8c中，「八。1。，8c=8,:AB=[AC2-BC?=6.在RS4BE中，TABV，BE=B—CE=3,二小Jab2+BE?二小Jab2+BE?=&2+32=35由(2)可知△Ad8CD，BDBC.布一就‘BD8,.BD=吆旦.故答案为应E.(4)・.・m=6,n=4日：.CE=3,CD=2&,AB=在解_BC?=2,①如图5中，当a=90。时，半圆与4c相切.在R3O8C中，8D=4BC2+CD?="(48+ =25♦②如图6中，当a=90°+N4C8时，半圆与8c相切，作EM_LA8于M..「NM=NCBM=NBCE=90。，・•・四边形8CEM是矩形，・•.8加=七。=3,ME=4yfI，AM=5,AE=Jam2+ME2=V57,由(2)可知丝二辿，BD=2y^.AE3 3故答案为2M或"IM.点睛：本题考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，正确画出图形是解决问题的关键，学会分类讨论的思想，本题综合性比较强，属于中考压轴题.3.（探索发现）如图，AA5C是等边三角形，点。为8c边上一个动点，将AACD绕点A逆时针旋转60。得到八4£尸，连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形A5CE•是菱形.（2）直接写出线段CO,CF,AC之间的数量关系：：（理解运用）如图，在AA6C中，AO_L6C于点。.将AASO绕点A逆时针旋转90。得到AAEF，延长FE与BC,交于点G.（3）判断四边形ADG尸的形状，并说明理由；（拓展迁移）（4）在（3）的前提下，如图，将AAfE沿AE折叠得到连接M8,若AD=6,BD=2,求MB的长.A【答案】（1）详见解析；（2）C0+C/=AC：（3）四边形AOG尸是正方形；（4）2店【解析】【分析】（1）根据旋转得：4ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE,则四边形ABCE是菱形：（2）先证明C、F、E在同一直线上，再证明△BAD2△CAF（SAS）,则NADB=NAFC,BD=CF,可得AC=CF+CD；（3）先根据NADC=NDAF=NF=90。，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；（4）证明△BAM里△EAD（SAS）,根据BM=DE及勾股定理可得结论.【详解】（1）证明：AA6C是等边三角形，AB=BC=AC.AACD绕点A逆时针旋转60。得到A4E尸，CAE=60°,AC=AE.•.AACE是等边三角形./.AC=AE=CE.AB=BC=CE=AE.•・四边形A6CE是菱形.（2）线段。C,CF,AC之间的数量关系：CD+CF=AC.（3）四边形ADG厂是正方形.理由如下：•・H/A460绕点A逆时针旋转90。得到A4EF,aAF=AD^ZDAF=90°.ADIBCtZADC=ZDAF=ZF=90°.•・四边形A3G尸是矩形.AF=AD^•・四边形A3G尸是正方形.（4）如图,连接£）及•・四边形A3G厂是正方形，DG=FG=AD=AF=6.AABD绕点A逆时针旋转90°得到AAEF，aZBAD=ZEAF,BD=EF=2,..EG=FG-EF=6-2=4..•・将AAFE沿AE折叠得到，ZMAE=ZFAE>AF=AM.ZBAD=ZEAM.•・ZBAD+ZDAM=ZEAM+ZDAM,即=vAF=AD^AM=AD.AM=AD在AZMM和AMD中，ABXM=ZDAE,AB=AEABAM=AEAD（SAS）.BM=DE=y/EG2+DG2=^+62=2>/l3-【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解.4.己知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6,点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到△BCE,连接DE.（1）如图1，猜想：ACDE的形状是三角形.（2）请证明（1）中的猜想（3）设OD=m,①当6VmV10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由.②是否存在m的值，使ADEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.c【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）①2JJ+4：②当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到NOCE=60。，DC=EC,即可得到结论：（3）①当6VmV10时，由旋转的性质得到8E=4D,于是得到Gdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD,由垂线段最短得到当CD_L48时，ABDE的周长最小，于是得到结论：②存在，分四种情况讨论：a）当点。与点8重合时，D,B,E不能构成三角形；6）当04mV6时，由旋转的性质得到N48E=60。，N8OEV60。，求得N8ED=90。，根据等边三角形的性质得到NOE8=60。，求得NCEB=30。，求得0。=。4-D4=6-4=2=m：c）当6VmV10时，此时不存在；d）当m>10时，由旋转的性质得到NOBE=60。，求得NBOE>60。，于是得到m=14.【详解】（1）等边；.・,将AACD绕点C逆时专卜方向旋转60°得至8CE,ZDCE=60°,DC=EC,；.△CDE是等边三角形.（3）①存在，当6VtV10时，由旋转的性质得：BE=AD,二品dbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，△CDE是等边三角形，OE=CD,..Cdbe=CD+4,由垂线段最短可知，当CD_LA8时，^BDE的周长最小，此时，CD=2不，△8OE的最小周长=8+4=2退+4：②存在，分四种情况讨论：a）••・当点。与点8重合时，D,B,E不能构成三角形，.•・当点。与点8重合时，不符合题意；b）当04mV6时，由旋转可知，ZABE=60°,ZBDE<60°,/.ZBED=90°,由（1）可知，△CDE是等边三角形，「.ZDEB=60°,：.ZCEB=30°.NCE8=NCD4N84=30°.,/ZCAB=60\：.AACD=AADC=30°, DA=CA=4,：.OD=OA-DA=6-4=2,：.m=2-cc）当6VmV10时,由NDBE=12（T>90。，.,.此时不存在;d）当m>10时，由旋转的性质可知，ZDBE=60\又由（1）知NCDE=60。，；./BDE=/CDE+/BDC=60~BDC,而N8DOO。，「.N8DE>60。，.,.只能N8OE=90。，从而NBCD=30°,BD=BC=4,/.OD=14,/.m=14.综上所述：当m=2或14时，以D、E、8为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，三角形周长的计算，直角三角形的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.5.如图1,在RSADE中，NDAE=90。，C是边AE上任意一点（点C与点A、E不重合），以AC为一直角边在ADE的外部作RSABC,NBAC=90。，连接BE、CD.（1）在图1中，若AC=AB,AE=AD,现将图1中的RtAADE绕着点A顺时针旋转锐角a,得到图2,那么线段BE.CD之间有怎样的关系，写出结论，并说明理由；（2）在图1中，若CA=3,AB=5,AE=10,AD=6,将图1中的RtAADE绕着点A顺时针旋转锐角a，得到图3,连接BD、CE.①求证：△ABE〜&ACD；②计算：BD2+CE2的值.【答案】（1）BE=CD,BE±CD,理由见角；（2）①证明见解析；②BD2+CE2=170.【解析】【分析】（1）结论：BE=CD,BE±CD-,只要证明△BA叁△CAD,即可解决问题；（2）①根据两边成比例夹角相等即可证明AABEs△ACD.②由①得到NAEBNQM.再根据等量代换得到NDGE=90。，即0G_LBE,根据勾股定理得到BD2+CE2=CB2+ED2,即可根据勾股定理计算.【详解】

(1)结论：BE=CD,BE±CD.理由：设8E与AC的交点为点F,8E与CD的交点为点G,如图2.,/ZCAB=Z.EAD=9Q\ZCAD=4BAE.,/ZCAB=Z.EAD=9Q\AB=AC在^CAD和^BAE中，丁/BAE=ACAD，.二△CAD^△BAE,，CD=BE,AE=ADZACD=4ABE./ZBFA=ZCFG,ZBFA+NA8F=90。,/.ZCFG+NACD=90\：.ZCGF=90°,/.BE±CD.（2）①设AE与CD于点F,8E与DC的延长线交于点G,如图3./ZCABB=AEAD=90\：.ZCAD=ABAE.AEAD/CA=3,48=5,AD=6,AE=109/.——=——=2,：.△ABE-△ACD；ABAC②：&ABE-△ACD.：.ZAEB=ZCDA.・•4AFD必EFG,NAFD+NCD4=90。,/.ZEFG+ZAEB=90\：.ZDGE=9Q\：.DG±BE,「・ZAGD=ABGD=90°,/.C£2=CG2+EG2,BD2=BG2WG29：.BD2+CE2=CG2^-EG2^BG2WG2.,/CG2+BG2=CB2,EG^DG^ED1,：.【点睛】D【点睛】D本题是几何综合变换综合题，主要考查了图形的旋转变换、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的综合运用，运用类比，在变化中发现规律是解决问题的关键.6.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE,将线段AE绕点A逆时针旋转90。，得到AF,连接EF,交对角线BD于点G,连接AG.（1）根据题意补全图形；（2）判定AG与EF的位置关系并证明；（3）当AB=3,BE=2时,求线段BG的长.【答案】⑴见解析;（2）见解析;⑶述.2【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）先判断出△ADF2△ABE,进而判断出点C,D,F共线，即可判断出△DFG2&HEG,得出FG=EG,即可得出结论;（3）先求出正方形的对角线BD,再求出BH,进而求出DH,即可得出HG,求和即可得出结论.【详解】（1）补全图形如图所示，（2）连接DF,由旋转知，AE=AF,ZEAF=90°,V四边形ABCD是正方形，/.ABIICD,AD=AB,ZABC=ZADC=BAD=90°,/.ZDAF=ZBAE,「.aAD趋△ABE(SAS),DF=BE,ZADF=ZABC=90°,/.ZADF+ZADC=180°,.•.点C,D,F共线，「・CFIIAB,过点E作EHIIBC交BD于H,・•・ZBEH=ZBCD=90%DFIIEH,・•・ZDFG=ZHEG,VBD是正方形ABCD的对角线，•・ZCBD=45°,•・BE=EH,ZDGF=ZHGE,「・△DFG登△HEG（AAS）,「・FG=EG/AE=AF,AG±EF；（3）BD是正方形的对角线，BD=V2AB=372t由（2）知，在RSBEH中，BH=「・DG=BD-BH=72由（2）知，△DFG垩△HEG,「・DG=HG,1 屈：.HG=-DH=-^—,2 2BG=BH+HG=272.【点睛】此题是四边形综合题，主要考杳了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，作出辅助线是解本题的关键.7.如图1.在AABC中，N4CB=90。，点P为AABC内一点.（1）连接PB、PC,将△BCP沿射线G4方向平移，得到△D4E,点8、C、P的对应点分别为点D、4、E,连接CE.①依题意，请在图2中补全图形；②如果8P_LCE,AB+BP=9,CE=3 ，求48的长.（2）如图3,以点4为旋转中心,将AABP顺时针旋转60。得到△AMN,连接以、PB、PC,当4C=4,A8=8时，根据此图求％+PB+PC的最小值.【答案】⑴①见解析，②AB=6；（2）4/7.【解析】分析：（1）①根据题意补全图形即可；②连接BD、CD.根据平移的性质和N4CB=90。，得到四边形BC40是矩形，从而有CD=AB,设CD=48=X,则P8=DE=9-X,由勾股定理求解即可；（2）当C、P、M、N四点共线时，%+P8+PC最小.由旋转的性质和勾股定理求解即可.详解：（1）①补全图形如图所示；②如图：连接BD、CD.•••△BCP沿射线CA方向平移，得到△DAE,：.8CIIAD且BC=AD,PB=DE.VZ/ACB=90°,「•四边形8GA。是矩形，CD=48,设CD=48=X,则P8=9—X,DE=BP=9-x,•/BP工CE,BPllDE,・•.DE±CE.CE2+DE2=CD\(3/丁+(9—x=6,即48=6：(2)如图，当C、P、M、N四点共线时，%+P8+PC最小.由旋转可得：公AMN”APB,：.PB=MN.易得AAPM、△4B/V都是等边三角形，以=pm,「•pa+pb^-pc=pm+mn+pc=cn,・・.8N=A8=8,ZBNA=60q,ZPAM=6Qo9ZCAN=Z.CAB+Z.班川=600+60。=120°,ZCBN=9Q°.在RSA8C中，易得：BC7AB2-AC?二 -不=4G,「.在R38CN中，CNZbC+BN?=148+64=4"点睛：本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转和平移的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形和全等三角形，依据图形的性质进行计算求解..在正方形ABCD中，连接BD.（1）如图1，AE_LBD于E.直接写出NBAE的度数.（2）如图1,在（1）的条件下，将AAEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋转30。后得到△AB'E',AB'与BD交于M,AE'的延长线与BD交于N.①依题意补全图1:②用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.（3）如图2,E、F是边BC、CD上的点，△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，AE、AF分别与BD交于M、N,写出判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路.（不必写出完【答案】（1）45。；（2）①补图见解析：②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,证明见解析：（3）答案见解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性质即可；（2）依题意画出如图1所示的图形，根据性质和正方形的性质，判断线段的关系，再利用勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判断出FM=MN即可；（3）利用ACEF周长是正方形ABCD周长的一半，判断出EF=EG,再利用（2）证明即可.解：（1）・.・BD是正方形ABCD的对角线，・•.NABD=NADB=45。，AE±BD,ZABE=ZBAE=45°,（2）①依题意补全图形，如图1所示,②BM、DN和MN之间的数量关系是BM2+MD2=MN2,将△AND绕点D顺时针旋转90。,得到△AFB.ZADB=ZFBA,ZBAF=ZDAN,DN=BF,AF=AN,;在正方形ABCD中，AE±BD,ZADB=ZABD=45°,ZFBM=ZFBA+ZABD=ZADB+ZABD=90%在RtABFM中，根据勾股定理得，FB2+BM2=FM2,;旋转△ANE得至ljABiEi,・•・NE1ABi=45°,/.ZBABi+ZDAN=90°-45°=45°,・・/BAF=DAN,/.ZBABi+ZBAF=45°,/.ZFAM=45°,/.ZFAM=ZE1AB1,「AM=AM,AF=AN,J△AFM2△ANM,JFM=MN,/FB2+BM2=FM2,・•・DN2+BM2=MN2,(3)如图2,将^ADF绕点A顺时针旋转90。得到△ABG,・•.DF=GB,/正方形ABCD的周长为4AB,ACEF周长为EF+EC+CF,J△CEF周长是正方形ABCD周长的一半，・・.4AB=2(EF+EC+CF),/.2AB=EF+EC+CF「EC=AB-BE,CF=AB-DF,「・2AB=EF+AB-BE+AB-DF,，EF=DF+BE,,/DF=GB,JEF=GB+BE=GE,由旋转得至ljAD=AG=AB,・・AM=AM,••・△AEG丝△AEF,ZEAG=ZEAF=45°,和(2)的②一样,得到dn2+bm2=mn2.“点睛”此题是四边形综合题，主要考杳了正方形的性质、旋转的性质，三角形的全等，判断出(△AFN2△ANM,得到FM=MM),是解题的关键..在△ABC中，AB=AC,ZA=30°,将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.(1)如图1,直接写出NABD和NCFE的度数;(2)在图1中证明：AE=CF；(3)如图2,连接CE,判断4CEF的形状并加以证明.A□1 口2【答案】（1）15。，45。；（2）证明见解析；（3）4CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质得到NABC的度数，由旋转的性质得到/DBC的度数，从而得到NABD的度数；根据三角形外角性质即可求得NCFE的度数.（2）连接CD、DF,证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD,由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而ABHFD,证明△AEF2△FCD即可得AE=CF.（3）过点E作EG_LCF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.（1）••,在AABC中,AB=AC,ZA=30°,/.ZABC=75°.•••将线段BC绕点B逆时针旋转60。得到线段BD,即/DBC=60°./.ZABD=15°./.ZCFE=ZA+ZABD=45°.（2）如图，连接CD、DF..•・线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,BD=BC,NCBD=60。.「.△BCD是等边三角形./.CD=BD.线段BD平移至ljEF,EFIIBD,EF=BD.••・四边形BDFE是平行四边形，EF=CD.,/AB=AC,ZA=30°,AZABC=ZACB=75°./.ZABD=ZACD=15°.四边形BDFE是平行四边形，「.ABIIFD.AZA=ZCFD.AEF空△FCD（AAS）.(3)4CEF是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点E作EG_LCF于G,•/ZCFE=45。,ZFEG=45°./.EG=FG.1EG=^AE•/ZA=30°,ZAGE=90°,/. 当NBAD=45°时，求当NBAD=45°时，求D点的坐标；当点C在线段AB上时，求直线BD的关系式.7y=_*+4【答案】(1)5；(2)D(4,7)或(-4,1)；(3) 24【解析】试题分析：（1）先分别求得一次函数）=-：无+4的图象与x轴、y轴的交点坐标，再根11EG=-CFFG=-CFVAE=CF,... 2.J.2...G为CF的中点.「.EG为CF的垂直平分线.「•EF=EC.ZCEF=ZFEG=90°.・•・△CEF是等腰直角三角形.(2)(3)(2)(3)考点：1•旋转和平移问题；2.等腰三角形的性质；3.三角形外角性质；4.等边三角形的判定和性质：5.平行四边形的判定和性质：6.全等三角形的判定和性质：7.含30度直角三角形的性质：8.垂直平分线的判定和性质；9.等腰直角三角形的判定..已知：一次函数） 的图象与X轴、y轴的交点分别为A、B,以B为旋转中得^BCD（其中O与C、A与D是对应的顶点）.

据勾股定理求解即可：(2)根据旋转的性质结合△BOA的特征求解即可：(3)先根据点C在线段AB上判断出点D的坐标，再根据待定系数法列方程组求解即可.(1)在y=-?x+4时，当x=o时，y=4,当y=0时，x=3AB-5；(2)由题意得D(4,7)或(-4,1)；(2)由题意得D点坐标为(4,U)6设直线BD的关系式为y二丘+》.•・图象过点B(0,4),D(4,—)6rd=4「Lrd=4「L17,4k+b=—. 6・•・直线BD的关系式为考点：动点的综合题k=-—24b=47y=k+4点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型..如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DEIIBC,如图①，然后将△ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图②，然后将BD、CE分别延长至M、N,使DM=：BD,EN=：CE,得到图③，请解答下列问题：⑴若AB=AC,请探究下列数量关系：①在图②中，BD与CE的数量关系是；②在图③中，猜想AM与AN的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，并证明你的猜想；(2)若AB=k-AC(k>l),按上述操作方法，得到图④，请继续探究：AM与AN的数量关系、NMAN与NBAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证

【答案】(1)①BD=CE；②AM=AN,NMANNBAC理由如下：;在图①中，DE〃BC,AB=ACAD=',AE."AB=AC,4BAD=lCAE,ah-at在^ABD与^ACE中一・•.△ABDM&ACE.BD=CE,ZACE=ZABD.在^DAM与^EAN中，11.「dmNbd,en=Ze,BD=CE,・•・dm=en,-/Zaen=zACE+ZCAE,ZADM=ZABD+ZBAD,/.ZAEN=ZADM.又「AE=AD,・•.△ADM2△AEN.Z.AM=AN,ZDAM=ZEAN./.ZMAN=ZDAE=ZBAC./.AM=AN,ZMAN=ZBAC.(2)AM=kAN,ZMAN=ZBAC.【解析】(1)①根据题意和旋转的性质可知△AES△ADB,所以BD=CE：②根据题意可知NCAE=BAD,AB二AC,AD=AE,所以得至必BAD2△CAE,在△ABM和△ACN中，DM=-BD,EN=-CE,可证△ABM2△ACN,以7以AM=AN,即NMAN=NBAC..■(2)直接类比(1)中结果可知AM=k・AN,ZMAN=ZBAC.12.⑴观察猜想如图⑴，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D是BC的中点.以点D为顶点作正方形DEFG,使点A,C分别在DG和DE上，连接AE,BG,则线段BG和AE的数量关系是

⑵拓展探究将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后(旋转角度大于0。，小于或等于360。)，如图2,则⑴中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由.(3)解决问题若BC=DE=2,在⑵的旋转过程中,当AE为最大值时,直接写出AF的值.连接AD.•・・△ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90°,点D是BC的中点.ZADB=90\且BD=AD.ZBDG=ZADB-ZADG=90°-ZADG=ZADE,DG=DE.△BDG2△ADE,/.BG=AE 7分(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。时，BG最大，如图③.妥③F

妥③F若BC=DE=2,则AD=1,EF=2.在RtAAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.•*-AF=【解析】解：(1)BG=AE.(2)成立.如图②，连接AD.△ABC是等腰三直角角形，ZBAC=90。，点D是BC的中点./.ZADB=90°,且BD=AD.•/ZBDG=ZADB-ZADG=90°-ZADG=ZADE,DG=DE.「・ABDG里AADE,・・.BG=AE.(3)由(2)知，BG=AE,故当BG最大时，AE也最大.Z+X+X+K]因为正方形DEFG在绕点D旋转的过程中，G点运动的图形是以点D为圆心，DG为半径的圆，故当正方形DEFG旋转到G点位于BC的延长线上(即正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转270。)时，BG最大，如图③.若BC=DE=2,则AD=1,EF=2.在RtAAEF中，AF2=AE2+EF2=(AD+DE)2+EF2=(l+2)2+22=13.「・AF=^13*.即在正方形DEFG旋转过程中，当AE为最大值时，AF=JT.图⑤图⑤13.如图，在RS48C中，NACB=90。，N4=30。，点O为八8中点，点P为直线BC上的动点(不与点8、点C重合)，连接OC、OP,将线段OP绕点P顺时针旋转60。，得到线段PQ，连接8Q.(1)如图1,当点P在线段8c上时，请直接写出线段8Q与CP的数量关系.(2)如图2,当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3,当点P在8c延长线上时，若N8PO=15。，8P=4,请求出8Q的长.2A【答案】(1)BQ=CP；(2)成立：PC=BQ：(3)473-4.【解析】试题分析：(1)结论：BQ=CP.如图1中，作PHII48交CO于H,可得△PCH是等边三角形，只要证明^POHW△QPB即可；(2)成立：PC=BQ.作PHII八8交CO的延长线于H.证明方法类似(1)；(3)如图3中，作CE±OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF.设CE=CO=a,则FC=FP=2o, 在R3PCE中，表示出PC,根据PC+CB=4,可得方程(娓+应)a+应a=4,求出。即可解决问题；试题解析：解：(1)结论：BQ=CP.理由：如图1中，作PHIIA8交CO于H.在A8c中，:N4CB=90°,Z/\=30°,点。为A8中点，，C0=40=B0,ZCBO=60°.・•.△CBO是等边三角形，.二ZCHP=NCO8=60°,ZCPH=4CBO=60°, ZCHP=ZCPH=60°f△CPH是等边三角形，.二PC=PH=CH,：,OH=PB,/ZOPB=NOPQ+NQPB=NOCB+NCOP,丁ZOPQ=ZOCP=60°,「.ZPOH=ZQPB,JPO=PQ,△POH空△QPB,JPH=QB./.PC=BQ.(2)成立：PC=BQ.理由：作PHIM8交CO的延长线于H.在A8c中，:N4CB=90°,Z/\=30°,点。为A8中点，，C0=40=B0,ZCBO=60°.•.△CBO是等边三角形，.二ZCHP=NCO8=60°,ZCPH=4CBO=60°, ZCHP=ZCPH=60°f•.△CPH是等边三角形,・・・PC=PH=CH,.・.OH=PB,ZPOH=60°+ZCPO,ZQPO=60°+ZCPQ,・•,ZPOH=4QPB,'/PO=PQ9△POH^△QPB,/.PH=QB,：.PC=BQ.(3)如图3中，作CE±OP于E,在PE上取一点F,使得FP=FC,连接CF./ZOPC=15°,ZOCB=NOCP+NPOC,：.ZPOC=45°,/.CE=EO,设CE=CO=a,则FC=FP=2a,EF="a,在RSPCE中，PC=y/PE^CE2=yj(2a+y/3a)2a2=+y/^)Cl，=，PC+CB=4,(^6+ +yJ^Cl=4,解得G=4^2*— ，•・PC=4a/J—4，由(2)ojBQ=PC,A80=473-4.

点睛：此题考查几何变换综合题、旋转变换、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.14.小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,△DEF均为等腰直角三角形,各顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,2）,C（2,1）,D（JI，0）,E（2JI，0）,F（江一巫）.2 2（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转45。得到△AiBiC.请你写出点Ai，Bi的坐标，并判断AiC和DF的位置关系；（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转45。，发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2jlx?+bx+c上.请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将△ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=C上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的AiC和DF的位置关系是平行.（2）•••△ABC绕原点按顺时针方向旋转45。后的三角形即为^DEF,2岳（0+伍+c=0二•①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：｛ , ,解得20（2应『+2>/Ib+c=0b=-l2，c=8&y=2>/2x2-12x+8-V2.2&（可+亚+c=0②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得：｛ （3d2^3J2JJ'解得25/2x +—^―b+c=—b=-ll{c=7五y=2>/2x2-llx+75/2.2。仅应『+2VIb+c=0③当抛物线经过点E、③当抛物线经过点E、F时，根据题意可得:I2J2 2b=-13'c=10>/2y=2>/2x2-13x4-105/2.（3）在旋转过程中，可能有以下情形：①顺时针旋转45。，点A、B落在抛物线上，如答图1所示,易求得点P坐标为（0，三g）.2②顺时针旋转45。，点B、C落在抛物线上，如答图2所示,设点夕,C'的横坐标分别为Xl，X2，易知此时BC与一、三象限角平分线平行，，设直线BC的解析式为y=x+b.联立y=x2与y=x+b得：x2=x+b,即—x—b=0，x1+x2=1txxx2=—b.・・,B'C'=L・・,B'C'=L.・・根据题意易得:?|=W'(x「xj=；,即

2. N(x1+x2)2-4X1x2=iTOC\o"1-5"\h\zl+4b=1,解得b=-L.2 82 1八4〃- 2+ t 2—y/2••x—XH =09解得x= Xx= ・8 4 4•・・点C’的横