2020-2021广州高三数学上期末试题及答案

2020-2021广州市高三数学上期末试题（及答案）一、选择题x-y-2<0则山的取值范围是x+6.设x，>满足约束条件《2工一），+320则山的取值范围是x+6A.[—3,—] B.[—3,1] C.[—4,1]D.（-<^,-3]kJ[1,4-co）.等差数列｛q｝中，己知%>0,%+。9<0,则｛4｝的前〃项和S”的最小值为（）A.S4 B.S5 C.S6 D.57.设数列｛〃“｝的前〃项和为S“，若2，Sn,34成等差数列，则S5的值是（）A.-243 B.-242 C.-162 D.243.设数列｛6｝是以2为首项，1为公差的等差数列，也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则。/+。%+・・・+4%=（）A.1033 B.1034 C.2057 D.20583.在5c中，。,人工是角4仇。的对边，。=2/7,cosA=j,则sin5=().在A43C中，内角46,C所对的边分别为。力,c,且acos5=（4c-b）cosA,则cos24=()A.7.己知数列｛凡｝满足/+]若<?!=-»7.己知数列｛凡｝满足/+]若<?!=-»则数列的第2018项为8.已知数列｛aj满足1083。〃+1=10834〃+1(〃£"')且。2+。4+46=9,则log」(见+“7+a9)的值是()3TOC\o"1-5"\h\z1 1A.-5 B.-- C.5 D,-5 5.等差数列｛%｝中，/+%+。5=12,那么｛4｝的前7项和其=()A.22 B.24 C.26 D.28.AA8C中有：①若A>8,则sinA>sin5；②若s%2A=s加25,则A45C一定为等腰三角形：③若qcqsB—〃cosA=c,则A48C一定为直角三角形.以上结论中正确的个数有()A.0 B.1 C.2 D.3\>-1,.若变量X,y满足约束条件(yNx， ，则z=—三的取值范围是()3x+5y<8 工一.在等差数列｛%｝中，S“表示｛q｝的前n项和，若生+4=3,则Ss的值为()A.3 B.8C.12 D.24二、填空题3a-b.已知实数。>。>0,且a+b=2,则f 的最小值为 a2+2ab-3h2.已知lgx+lgy=2,则的最小值是."2x-y>0,.已知x，y满足,yN0， ,则/+尸+2y的取值范围是.d+y—340,.数列｛〃“｝满足：q=〃(〃eR且为常数)，〉一1(〃eN),当。二100时，则数列｛〃〃｝的前100项的和5100为..AA8C的内角4民。的对边分别为4,/7,c,己知追cosC-ccosA)=b,B=60°,则A的大小为x+2v>0is.若实数x,y满足约束条件,则z=3x一y的最小值等于x-2y+2>0.在△ABC中，角A,8,C所对的边分别为。，b,c,若三角形的面积S=^-(a2+b2-c2),则角C=..观察下列的数表:2TOC\o"1-5"\h\z4 68 10 12 141618 20 22 24 26 28 30设2018是该数表第加行第n列的数，则7•〃=.三、解答题.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调杳测算，某产品的年销售量（即该厂的年产量）加万件与年促销费用工万元，满足机=3-——（左为常数），如果不搞促销活动，x+l则该产品的年销售量只能是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件，该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的L5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.（1）将2020年该产品的利润）（万元）表示为年促销费用X（万元）的函数；（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？.解关于x的不等式依2—22.设｛〃“｝是等比数列，公比不为1.己知可=；,且4,2出,34成等差数列.（1）求｛为｝的通项公式；（2）设数列的前〃项和为7；,求7；..设数列｛4｝满足= 其中q=1.4〃一4■a-3（I）证明：<二y｝是等比数列；U-2J（H）令”=1——二，设数列｛（2〃—1）也,｝的前〃项和为S”，求使S”<2019成立的最大自然数〃的值..已知等差数列｛〃“｝的所有项和为150,且该数列前10项和为10,最后10项的和为50.（1）求数列｛。〃｝的项数；（2）求。21+42+…+%o的值•26.已知数列包｝的前〃项和为S”，满足S“=2a”-〃（〃£N）（I）证明：｛%+1｝是等比数列；（II）求《+%+。5+…+%”-1的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一.选择题.B解析：B【解析】【分析】【详解】先作可行域，而1士3表示两点P(x,y)与A(-6r4)连线的斜率，所以工士士的取值范围x+6 x+6是原0]=[-3,1],选B.点睛：线性规划问题，首先明确可.行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范闱.C解析：C【解析】【分析】先通过数列性质判断。6 ，再通过数列的正负判断S”的最小值.【详解】•・•等差数列中，生+。9<°，，/+《=24<0，即《5<°•又“7>0，・•・{%}的前〃项和S”的最小值为§6.故答案选C【点睛】本题考查了数列和的最小值，将S”的最小值转化为｛q｝的正负关系是解题的关键..B解析:B【解析】【分析】【详解】因为2,S“,3%成等差数列，所以2s“=2+3勺,当〃=1时，2sl=2+3q,2；1一1一s”-s〃_1_5。〃-1=5“〃一5"〃-1'即5。〃=5"〃t乙 乙 乙 乙 乙义」=3(〃之2),.•.数列｛〃“｝是首项《=—2,公比4=3的等比数歹ij,源=萼二空普-242,故选a.A解析：A【解析】【分析】【详解】首先根据数列｛an｝是以2为首项，1为公差的等差数列，｛bn｝是以1为首项，2为公比的等比数列，求出等差数列和等比数列的通项公式，然后根据abi+ab?+…+abio=l+2+2$+25+…+29+10进行求和.解：•・•数列｛an｝是以2为首项，1为公差的等差数列，/•an=2+(n-1)x1=n+i,;｛bn｝是以1为首项，2为公比的等比数列，，瓦=1x2*1,依题意有：abi+ab2+...+abio=l+2+22+23+25+...+29+10=1033,故选A.A解析：A【解析】试题分析：由cosA=二得sinK==，又a=2b,由正弦定理可得sin5=：~~—=t> 3 a>考点：同角关系式、正弦定理.C解析：C【解析】【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得smA,进而利用二倍角余弦公式得到结果.【详解】•/acosB=（4c一cosA./.siiL4cosB=4siiiCcosA-shiBcosA即siiilcosfi+sinBcosA=4cosAsmC:.siiiC=4cosAsinCV0<C<tt»sinC#0./•1=4cosA,即cosA=—，4、 7那么cos2A=2cos2A-1=——・8故选c【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考杳计算能力，属于基础题.A解析：A【解析】【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列｛为｝是以4为周期的周期数列，即可得出答案.【详解】a，m= ] ，q=g2。”-L不《<1c1 1 c2 c 4 cI3以=2q—1=—» %=2d=—, ci4=2a3=§ ,%=2%—l=—= ai数列｛q｝是以4为周期的周期数列,则4Z2O1S=f/4x504+2=^2=1故选A.【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.A解析：A【解析】试题分析：..Tog34,+1=10§3«„+1log3an+l-log3an=1即log3号=1.•.誓=3・.・数列｛。〃｝是公比为3的等比数列。5+“7+。9=（广（生+。4+q5）=3^X9=35「・1呜（。5+%+。9）=-5一•考点：1.等比数列的定义及基本量的计算：2.对数的运算性质.D解析：D【解析】试题分析：由等差数列的性质。3+%+。5=12=>3%=12=>%=4,则7-（勾+心j—— -=7匕=28考点：等差数列的性质C解析:C【解析】【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据4=5或4+6=',可得到结论不正确；③可由余弦定理推得/=//+/,三角形为直角三角形.【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理二一二上知sinA> ①正确；smAsmB②s加24=si〃25,则人=5或A+6=2,AA5C是直角三角形或等腰三角形；所以②错22 2 12 >2 2 2误；③由已知及余弦定理可得4"+"——b一〃" =C,化简得苏=^+。2，2ac 2bc所以③正确.故选C.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说，当条件中同时出现。〃及尸、a2时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答..A解析：A【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合z=二一的几何意义求出其范围，即可x-2

得到答案.【详解】由题意，画出满足条件的平面区域，如图所示:向+5向+5尸8'解得领)，由《x=-l，解得5(—1,—1),而Z=—的几何意义表示过平面区域内的点与C(2Q)的直线斜率,x—2结合图象，可得3c=T，所以Z所以Z=占的取值范围为，本题主要考查了简单的线性规划问题，其中解答中作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定出目标函数的最优解是解答的关健，着重考查了数形结合思想，以及计算能力，属于基础题.C解析：C【解析】【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得《+/=%+。6=3,在利用等差数列的前n项和公式，即可求解，得到答案。【详解】由题意可知，数列｛4｝为等差数列，所以4+4=%+。6=3，・•・由等差数列的求和公式可得Ss=8(4； =言=12,故选c。【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，及前〃项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性

质和等差数列的前〃项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。二、填空题3十54【解析】【分析】由a+b=2得出b=2-a代入代数式中化简后换元t=2a-1得2a=t+l得出l<t<3再代入代数式化简后得出2t6t-（t2+5）然后在分式分子分母中同时除以t利用基本不等解析:3+^5解析:3+^5因此,3a-h

a*2**5+2ab-3b因此,3a-h

a*2**5+2ab-3b2的最小值为故答案为:3+V54【解析】【分析】由。+卜=2得出〃=2-a，代入代数式中，化简后换元f=2〃-1,得2。=什1,得出3,再代入代数式化简后得出 ；——，然后在分式分子分母中同时除以3利用基本不6t-（产+5）等式即可求出该代数式的最小值.【详解】解：由于。+/?=2,且。>6>0,则0V〃VlVaV2,所以，3a-h 3a-h 3a-(2-a) 4a-202+2q力-3/产=(a-b)(a+3/;)=[fl-(2-a)]■[a4-3(2-a)]=(2a-2)(6-2a)2(2。-1)"(2a-2)(6-2a)令f=2a-ie(1,3),则2a=什1,所以,3a-b 2(2a-1) 2t 2t 2t【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题.【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填解析：I【解析】由lgx+lgy=2得：^=100,所以= =7^：U+y)>^-7^=|,当且仅当x=y=]0时，取等xy100(xyJ100 30 3号，故吟.；【解析】【分析】利用表示的几何意义画出不等式组表示的平面区域求出点到点的距离的最值即可求解的取值范围【详解】表示点到点的距离则三角形为等腰三角形则点到点的距离的最小值为：1最大值为所以的最小值为：解析：[。⑼；【解析】【分析】利用+ 表示的几何意义，画出不等式组表示的平面区域，求出点A(0,-1)到点5，5)的距离的最值，即可求解%2+俨+2y的取值范围.【详解】x2+y2+2y=(x-0)'+(y+l)~-l在.())+(),+1『表示点4(0,—1)到点(x,y)的距离ao=i,4。=J5T§=屈,4。=向1=M，则三角形aco为等腰三角形则点A(0,-1)到点区)，)的距离的最小值为：1,最大值为加所以厂+)厂+2)的最小值为：I2—1=0»最大值为：10—1=9故V++2y的取值范围为[。9]故答案为：[Q9]【点睛】本题主要考查了求平方和型目标函数的最值，属于中档题.

【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】解析：1849【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和.【详解】数列｛q｝满足:数列｛q｝满足:（aeR且为常数），%+1q-3(%>3)4-%(为《3)当。二100时，则q=100,所以勺+】一《=一3（常数），故q=100-3（〃—1）,所以数列的前34项为首项为100,公差为-3的等差数列.从35项开始，由于。34=1，所以奇数项为3、偶数项为1，所以几0=（100+1）x34+竺乂（3+1）=1849,1w 2 2 ' /故答案为：1849【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前〃项和公式，需熟记公式，同时也考杳了分类讨论的思想，属于中档题..【解析】由根据正弦定理得即乂因为所以故答案为解析：75。【解析】Fh>/3（acosC-ccosA）=b,根据正弦定理得正（5〃酒<:。5。-5，〃6?054）=sinB,即"sin（A—C）=乎，sm（A-C）=1,?l-C=-^=30o,又因为A+C=180°—B=120。，所以2A=150°,A=75。，故答案为75。..【解析】【分析】先画出可行域改写目标函数然后求出最小值【详解】依题意可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域目标函数化为：则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最7解析：V乙【解析】【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域,目标函数化为：y=3x-z,则z的最小值即为动直线在〉轴上的截距的最大值.通过平TOC\o"1-5"\h\z4x+2y=0 （1A移可知在A点处动直线在）'轴上的截距最大.因为:一八解得A-1工，x-2y+2=0 \2）I7所以Z= 的最小值2皿=3・.乙 乙【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值19.【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：・・・・・•・・・故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角解析：3【解析】分析：利用面积公式S=gobsinC和余弦定理结合可得.2详解：由S=#（标一c?）=；4〃sinC.余弦定理：a2+b2-c2=2abcosC»可得：—x2«/?cosC=-absinC,4 2•\tanC=>/3，AC=-.3故答案为：—.点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现因此联想余弦定理/+从―/=2"cosC，由于要求。角，因此面枳公式自然而然选用S=?M7sinC.许多问题可能比本题要更更杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式.4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行解析：4980【解析】【分析】表中第〃行共有2〃t个数字，此行数字构成以2"为首项，以2为公差的等差数列.根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第〃行共有2〃t个数字，此行数字构成以2"为首项，以2为公差的等差数列.排完第人行，共用去1+2+4+…+2*t=2*-1个数字，2018是该表的第1009个数字，1^29-1<1009<210-1,所以2018应排在第10行，此时前9行用去了2。-1=511个数字，由1009-511=498可知排在第10行的第498个位置，即〃?・〃=10x498=4980,故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考杳学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧.三、解答题(1))'=-^--X+28(X>0)；(2)厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家X+1的利润最大，为21万元.【解析】【分析】(1)由不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件，可求攵的值，再求出每件产品销售价格的代数式，则利润（万元）表示为年促销费用X（万元）的函数可求.（2）由（1）得），=—也—x+28,再根据均值不等式可解.注意取等号.x+1【详解】（1）由题意知，当X=0时，〃7=1,2TOC\o"1-5"\h\z所以1=3—攵,女=2,/〃=3 ,x+1每件产品的销售价格为L5x巴竺”元.m所以2020年的利润y=L5X8+16%〃-8-16m-x=一工--x+28（x>0）；rn x+1（2）由（1）知，y=---x+28=---（x+l）+29<21,x+1 x+1当且仅当生=（x+1）,即x=3时取等号，X+1该厂家2020年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大,为21万元.【点睛】考查均值不等式的应用以及给定值求函数的参数及解析式.题目较易，考查的均值不等式,要注意取等号.22.当。=0时，不等式的解集为"卜<—1｝；2当〃>0时，不等式的解集为｛x|x2—或xK—1｝；a2当一2<。<0时，不等式的解集为“|一«x«-1｝；a当〃二一2时，不等式的解集为｛一1｝：当。<一2时，不等式的解集为a【解析】【分析】将原不等式因式分解化为（依―2）（x+l）N0,对参数。分5种情况讨论：a=0,6/>0,—2<6/<0,ci——2,ci<—2,分别解不等式.【详解】解：原不等式可化为aF+（a—2）x—220,即（依一2）（x+l）N0,①当。=0时，原不等式化为x+lKO,解得x<-l,②当〃>0时，原不等式化为fx-2］（x+l）N0,2解得x之一或xK—1,aTOC\o"1-5"\h\z（ 2\③当。＜0时，原不等式化为x--（x+l）＜0.\a）2 2当一＞一1,即々＜—2时，解得—14x4—；a a2当一=一1,即。=—2时，解得x=-1满足题意；a2 2当一＜一1,即—2＜。＜0时，解得一a a综上所述，当。=0时，不等式的解集为｛x|x〈T｝；2当〃＞0时，不等式的解集为—或xK—1｝；a2当—2＜。＜0时，不等式的解集为— 1｝；a当a=—2时，不等式的解集为｛一1｝：当。＜一2时，不等式的解集为a【点睛】本题考查含参不等式的求解，求解时注意分类讨论思想的运用，对。分类时要做到不重不漏的原则，同时最后记得把求得的结果进行综合表述.23.⑴-邛⑵73+（21）-"⑺ 4【解析】【分析】（1）由等差中项可得4%=《+3生，设数列依｝的公比为q（qwl）,则4q・q=q+34•q2，可解得令，即可求得通项公式；n（2）由（1）可得一=〃•3",再利用错位相减法求解即可.%【详解】解：（1）设数列｛q｝的公比为9（qwl）,且4,2生，3生成等差数列,所以4%=《+3%,即4可4=《+3《-92,解得4=3，fiY因为％=§,所以。“=卜(Iy n(2)由(1)知，a=土，所以一=〃・3〃,〃 3 4〃所以(=1x31+2x32+3x33+・・.+〃,3”,贝lj37；=lx32+2x33+3x34+・・・+〃3*,作差可得,一27；=才+3?+3$+・・♦+3〃一小3m3+(2〃—1)・3田所以(,二一——1——【点睛】本题考查等差中项的应用，考查等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和.(I)证明见解析(II)6【解析】【分析】—3ci—3(I)由递推公式凑出3—y与」—的关系，即可得证-2Cln-247-2-1 1(H)由(I)可得上一丁=1—一^=4=2〃，即可得到｛(2〃-1)・%｝的通项公an-Z *一幺式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.【详解】解：(I),•«+]=^4(〃£N')Clt—4X_3。”+「3_。〃+「2q「6_2q「4一%—6-3%+124-6-24+8_一2(4—3)一-(％-2)=2』Cln~2是首项为汨=W=2'公比为2的等比数列a—3(II)由(I)知，■^■=2”,*一2.•.(2〃-1)也=⑵[S'=l•21+3•22+5•23+…+(2〃-l)•2”①2s“=l"+3"+5・24+...+(2〃-②，①减②得4―2/,+1-S„=l-21+2(22+23+...2")-(2〃—1)-2〃乜=2+2•]；一⑵?一D•2"+1=(3-2/?)-2n+1-6.S”=(2〃-3)-2叫6S”+1-S”=(2〃-1)•2"?-(2〃-3)•2M+1=212〃+1)>0,S”单调递增.=9x27+6=1158<2019,S7=11x28+6=2822>2019.故使S“<2019成立的最大自然数〃=6.【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.(1)50；(2)30【解析】【分析】(1)根据条件结合等差数列的性质可得《+为=6，再根据｛q｝的所有项和为150,即可求出项数〃的值；(2)根据(1)求出｛%｝的首项为和公差4然后将旬+生?+…+生。用外和♦表示，再求出其值.【详解】解Q)由题意，得《+