高考数学复习统计与统计案例、概率第2节用样本估计总体课件文新人教A版

高考数学复习统计与统计案例、概率第2节用样本估计总体课件文新人教A版1.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：

，决定组数和组距，组距＝

；

，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.知

识

梳

理极差分组(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)

横轴表示样本数据，纵轴表示

，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的

.2.茎叶图

统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.频率3.样本的数字特征出现次数最多最中间

[常用结论与微点提醒]1.频率分布直方图中各小矩形的面积之和为1.2.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为

，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a. (2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.

①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；

②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(

)(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.(

)(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.(

)(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.(

)诊

断

自

测解析(1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势.(2)错误.方差越大，这组数据越离散.(4)错误.茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.答案(1)√

(2)×

(3)√

(4)×2.(必修3P70改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(

)和91.5 B.91.5和92C.91和91.5 D.92和92解析这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，答案A3.(2017·全国Ⅰ卷)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(

) A.x1，x2，…，xn的平均数 B.x1，x2，…，xn的标准差 C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数

解析刻画评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差.

答案B4.(2018·长沙一中质检)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚.如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测后所作的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(

)A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆解析从频率分布直方图知，车速大于或等于70km/h的频率为0.02×10＝0.2.由于样本容量为200，故“超速”被罚的汽车约有200×0.2＝40(辆).答案B5.(2016·江苏卷)已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________.答案0.1考点一茎叶图及其应用A.3，5 B.5，5 C.3，7 D.5，7【例1】(1)(2017·山东卷)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为(

)

(2)(2018·济南模拟)中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成就按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词达人”称号的人数为(

)A.2 B.4 C.5 D.6解析(1)由茎叶图，可得甲组数据的中位数为65，从而乙组数据的中位数也是65，所以y＝5.由乙组数据59，61，67，65，78，可得乙组数据的平均值为66，故甲组数据的平均值也为66，答案(1)A

(2)A规律方法1.茎叶图的三个关注点(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一.(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.(3)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.2.利用茎叶图解题的关键是抓住“叶”的分布特征，准确从中提炼信息.【训练1】(1)(2018·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m＋n的值是(

)A.10 B.11 C.12 D.13(2)(2018·长沙模拟)空气质量指数(AirQualityIndex，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染.从某地一环保人士某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如下.根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为________(该年为365天).解析(1)∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m＋92＝88×7，∴m＝3，∵乙组学生成绩的中位数是89，∴n＝9，∴m＋n＝12.答案(1)C

(2)146考点二频率分布直方图(易错警示)【例2】

(2017·北京卷)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.【训练2】

某校2018届高三文(1)班在一次数学测验中，全班N名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120的学生有14人.(1)求总人数N和分数在120～125的人数n；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？解(1)分数在110～120内的学生的频率为P1＝(0.04＋0.03)×5＝0.35，分数在120～125内的学生的频率为P2＝1－(0.01＋0.04＋0.05＋0.04＋0.03＋0.01)×5＝0.10，分数在120～125内的人数n＝40×0.10＝4.(2)由频率分布直方图可知，众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，设中位数为a，∵0.01×5＋0.04×5＋0.05×5＝0.50，∴a＝110.∴众数和中位数分别是107.5，110.考点三样本的数字特征【例3】(1)(2018·济南一中质检)2017年2月20日，摩拜单车在济南推出“做文明骑士，周一摩拜单车免费骑”活动.为了解单车使用情况，记者随机抽取了五个投放区域，统计了半小时内被骑走的单车数量，绘制了如图所示的茎叶图，则该组数据的方差为(

)A.9 B.4 C.3 D.2

(2)(2016·四川卷)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.①求直方图中a的值；②设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；③估计居民月均用水量的中位数.答案B(2)解①由频率分布直方图可知：月均用水量在[0，0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04.同理，在[0.5，1)，[1.5，2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5]等组的频率分别为0.08，0.21，0.25，0.06，0.04，0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝0.5×a＋0.5×a，解得a＝0.30.②由①知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12＝36000.③设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤