高中数学2-1-3分层抽样2新人教A版必修

2.1.3分层抽样1.理解分层抽样的概念.2.掌握分层抽样的一般步骤.3.区分简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，并选择适当的方法进行抽样.1.本节重点是正确理解分层抽样的定义和步骤.2.本节难点是灵活应用分层抽样抽取样本，并恰当地选择三种抽样方法解决现实生活中的抽样问题.分层抽样的有关概念（1）一般地，在抽样时，将总体分成_________的层，然后按照一定的_____，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法称为分层抽样.（2）每个个体被抽中的可能性_____.互不交叉比例相同1.分层抽样的总体具有什么特性？提示：分层抽样的总体由差异明显的几部分构成，也就是说当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样.2.一个班共有54人，其中男女比5∶4,若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为_____，每个女同学被抽取的可能性为______.【解析】男女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有（人），女同学共有（人）．所以每个男同学被抽取的可能性为每个女同学被抽取的可能性为答案：3.为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，抽样方法是_______，如果男生的身高和女生的身高有显著不同（男生30人，女生20人），抽样方法是______.【解析】根据总体特点选择恰当的抽样方法.答案：简单随机抽样分层抽样4.一个工厂有若干车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天的2048件产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查.若一车间这一天生产256件产品，则从该车间抽取的产品件数为____________.【解析】设应抽取x件，则∴x=16.答案：16简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

分层抽样的概念【技法点拨】分层抽样的前提和遵循的两条原则（1）前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取.（2）遵循的两条原则：①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.【典例训练】1.下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（）（A）从10名同学中抽取3人参加座谈会（B）某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本（C）从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间（D）从生产流水线上，抽取样本检查产品质量2.分层抽样又称为类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每层各抽若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行（）（A）每层内等可能抽样（B）每层内不等可能抽样（C）所有层用同一抽样比（D）所有层抽同样多样本容量【解析】1.选B.A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．2.选C.由分层抽样的定义和特点可知，所有层用同一个抽样比，等可能抽样.【想一想】解答题2的关键是什么？提示：关键是理解分层抽样的实质是保证每个个体等可能入样.

【变式训练】某初级中学有学生270人，其中七年级108人，八、九年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按七、八、九年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;③11,38,60,90,119,146,173,200,227,254;④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.其中可能是分层抽样得到，而不可能是由系统抽样得到的一组号码为（）（A）①②（B）②③（C）①③（D）①④【解析】选B.先考虑哪种情况为分层抽样，分层抽样需按年级分三层，七年级抽取4人，八、九年级各抽3人，也即1到108号抽4人，109到189号抽3人，190到270号抽3人.可判断①②③可能是分层抽样.再判断①②③中哪几个是系统抽样，系统抽样需把1到270号分成均匀的10部分.每部分按事先约定好的方法抽取1个，则①为系统抽样.故选B.

分层抽样的设计【技法点拨】分层抽样的操作步骤第一步，计算样本容量与总体的个体数之比.第二步，将总体分成互不交叉的层，按比例确定各层要抽取的个体数.第三步，用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取相应数量的个体.第四步，将各层抽取的个体合在一起，就得到所取样本.【典例训练】1.将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2．若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取______个个体.2.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.【解析】1.∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层抽样应从C中抽取答案：202.因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法.具体过程如下：（1）将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.（2）按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人.（3）按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.（4）将300人合到一起，即得到一个样本.【互动探究】若把题1个体数之比改为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，其中A层中的个体数为16，那么此样本容量为n=________.【解析】由于A层中的样本数为16，A层中的个体所占的比例为故样本容量答案：72【思考】如何保证分层抽样的公平性？提示：（1）分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大且互不重叠.（2）为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比等可能抽样.（3）在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.【变式训练】某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解他们对政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体实施抽取的步骤．【解题指南】根据副处级干部，一般干部和工人对政府机构改革的意见有明显差异，这是三类不同的人群，因此应采用分层抽样，按照的比例进行分层抽取.【解析】用分层抽样方法抽取．具体实施抽取步骤如下：①∵20∶100＝1∶5，∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．②因副处级以上干部与工人的人数较少，将他们分别按1～10和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人采用先对其按00,01,02，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．③将抽取的2人，4人，14人汇合在一起就得到了容量为20的样本．

抽样方法的综合应用【技法点拨】抽样方法的选取方法（1）若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样.（2）若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样（3）采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为【典例训练】1.（2012·浏阳高一检测）①学校为了了解高一学生的情况，从每班抽2人进行座谈；②一次数学竞赛中，某班有10人的成绩在110分以上，10人的成绩在100～110分，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现在从中抽取12人了解有关情况；③运动会服务人员为参加400m决赛的6名同学安排跑道.就这三件事，合适的抽样方法为（）（A）分层抽样，分层抽样，简单随机抽样（B）系统抽样，系统抽样，简单随机抽样（C）分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样（D）系统抽样，分层抽样，简单随机抽样2.为了考察某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察，为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同）：①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察（已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）．根据上面的叙述，回答下列问题：（1）上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式中各自采用何种抽样方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．【解析】1.选D.系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况.分层抽样适合总体由差异明显的几层组成的.总体中个体数比较少的时候，选用简单随机抽样.2.（1）三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩．第一种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中，样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中，样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.（2）三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法．（3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．第二种方式抽样的步骤如下：各个班的学生按1，2，3，…编号；第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其编号为a；第二步：在其余的19个班中，选取编号为a的学生，共计20人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层．若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，总体由差异明显的三部分组成，所以在抽取样本时，应把全体学生分成三个层次．第二步：确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体个体数的比为100∶1000＝1∶10，所以在每个层次抽取的个体数依次为即15,60,25.第三步：按层次分别抽取．在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．【思考】解决题1的关键点以及题2中易发生何种失误？提示：（1）解决题1的关键点是弄清各种抽样的适用条件.（2）在解答题2中易对采用哪种抽样方式判断失误.【变式训练】某批零件共160个，其中一级品有48个，二级品有64个，三级品有32个，等外品有16个.从中抽取一个容量为20的样本.试简要叙述用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样法进行抽样都是等可能抽样.【解析】（1）简单随机抽样法：可采用抽签法，将160个零件按1～160编号，相应地制作1～160号的160个号签，从中随机抽20个即可.每个个体被抽到的概率为即每个个体被抽到的可能性相同.（2）系统抽样法：将160个零件按1～160编号，按编号顺序分成20组，每组8个.先在第一组用抽签法抽得k号（1≤k≤8），则在其余组中分别抽得第k+8n（n=1,2,3,…,19）号，每个个体被抽到的概率为即每个个体被抽到的可能性相同.（3）分层抽样法：按比例分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取每个个体被抽到的概率分别为即都是每个个体被抽到的可能性相同.综上所述，无论采取哪种抽样，总体中每个个体被抽到的概率都是

分层抽样的应用【技法点拨】分层抽样的简单应用（1）分层抽样法的应用主要包括如何进行分层、分几层、每层应抽取多少个体等．（2）分层抽样时，每个个体被抽到的机会是均等的．由于分层抽样充分利用了已知信息，使样本具有较好的代表性，而且在各层抽样时，可以根据具体情况采取不同的抽样方法，因此分层抽样在实践中有着非常广泛的应用．【典例训练】1.某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人.为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本.按照分层抽样方法抽取样本，各种血型的人所抽的数目分别为_________.2.某中学高中学生有900名，学校要从中选出9名同学作为国庆60周年庆祝活动的志愿者．已知高一有400名学生，高二有300名学生，高三有200名学生．为了保证每名同学都有参与的资格，学校采用分层抽样的方法抽取，求高一、高二、高三分别抽取学生的人数．【解析】1.

故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人.答案：8,5,5,22.样本容量与总体容量的比为：所以在高一年级应抽取在高二年级应抽取（人），在高三年级应抽取（人），即高一、高二、高三分别抽取学生的人数为4人、3人、2人．【易错误区】抽样方法中考虑不全致误【典例】某单位有工程师6人,技术员12人,技工18人,要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取,不用剔除个体;如果样本容量增加1个,则在采用系统抽样时,需要在总体中先剔除1个个体,求得样本容量为_______.【解题指导】【解析】总体容量N=36人.当样本容量为n时,系统抽样间隔为，所以n是36的约数；分层抽样的抽样比为求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为所以n应是6的倍数,所以n=6或12或18或36①.当样本容量为n+1时,总体中先剔除1人时还有35人,系统抽样间隔为所以n只能是6.答案：6【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误及解题启示总结如下：（注：此处的①②见解析过程）【即时训练】今年“3·15”，某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神？”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，共回收1000份.因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本.若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是_________份．【解析】因为A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，故四个单位抽取容量也成等差数列，设公差为d，则A，B，C，D四个单位抽取容量分别为：30-d，30，30+d，30+2d，所以30-d+30+30+d+30+2d=150，d=15，所以在D单位抽取的问卷是60份.答案：601.一个年级有12个班，每个班的同学从1至50排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为14的同学留下进行交流，这里运用的是（）（A）分层抽样（B）抽签抽样（C）随机抽样（D）系统抽样【解析】选D.依