小学数学-【鸽巢问题】教学设计学情分析教材分析课后反思

《鸽巢问题》课标分析《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的“二学段”中提出：“会独立思考，体会一些数学的基本思想”“观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“经历与他人合作交流解决问题的过程，尝试解释自己的思考过程”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“课程内容”的“第二学段”中提出：“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”“结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思，进一步理解所用的知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验”。根据《数学课程标准》，教材及学段要求和学生的认知特点，教学目标为：经历“抽屉原理”的探究过程，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题通过猜猜、验证、观察、分析等数学活动建立数学模型，发现规律，渗透“建模”思想。通过鸽巢原理的灵活应用，感受数学的魅力。《鸽巢问题》教材分析“抽屉原理”来源于一个基本的数学事实。将三个苹果放到两只抽屉里，要么在一只抽屉里放两个苹果，而另一只抽屉里放一个苹果；要么在一只抽屉里放三个苹果，而另一只抽屉里不放。这两种情况可用一句话概括：一定有一只抽屉里放入两个或两个以上的苹果。虽然我们无法断定哪只抽屉里放入至少两个苹果，但这并不影响结论。如果我们把一切可以与苹果互换的事物称为元素，而把一切可以与抽屉互换的事物称为集合，那么上面的结论就可以表述为：假如把多于n个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么有一个集合中至少含有2个元素。还可以表述为：把多于kn(k是正整数)个元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有（n+1）个元素。“抽屉原理”是数学的重要原理之一，在数论、集合论和组合论中有很多应用。它也被广泛地应用于现实生活中，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等方面，我们经常会看到隐含在其中的“抽屉原理”。由此可见，所谓“抽屉原理”，实际上是一种解决某种特定结构的数学或生活问题的模型，体现了一种数学的思想方法。让学生经历将具体问题数学化的过程，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力，也是本单元的编排意图和价值取向。教材编排的“抽屉原理”涉及三种基本的形式：第一种，只要物体的数量比抽屉多，那么一定有一个抽屉放进了至少两个物体。那么，这里的“一定有一个抽屉”是什么意思？“至少两个物体”是什么意思？“一定有一个抽屉”是存在性；“至少两个物体”是可以多于两个物体，可以是两个，也可以是三个、四个甚至更多。第二种，即是“把多于kn（k是正整数）个元素放入n个集合，总有一个集合里至少有（k+1）元素”。若k为1，就是第一种情况，可见第一种情形实际是第二种情形的特例。第三种情况是把无限多个物体（如红球、蓝球各4个）放进有限多个抽屉（两种颜色），那么一定有一个抽屉放进了无限多个物体（至少2个同色的球）。一、与实验教材（《义务教育课程标准实验教科书数学六年级》，下同）的主要区别在例题的教学前，编排了一个给学生表现“魔术”的主题情境，使学生产生探究魔术背后的数学原理的强烈欲望。修订后的教材对本单元例2的相关数据进行了调整。二、教材例题分析例1：本例描述“抽屉原理”的最简单的情况。着重探讨为什么这样的结论是成立的。教材呈现了两种思考方法：第一种方法是用操作的方法，罗列所有的方法，通过完全归纳的方法看到在这四种情况都是满足结论的；还可以是说理的方式，先放3支，在每个笔筒里放1支，这时剩下1支。剩下的1支不管放入哪一个笔筒中，这时都会有一个笔筒里有2支铅笔。这种方法比第一种方法更为抽象，更具有一般性。通过本例的教学，使学生感知这类问题的基本结构，掌握两种思考的方法──枚举和假设，理解问题中关键词语“总有”和“至少”的含义，形成对“抽屉原理”的初步认识。例2：本例描述“抽屉原理”更为一般的形式，即“把多于kn（k是正整数）个物体任意分放进个空抽屉里，那么一定有一个抽屉中放进了至少（k+1）个物体”。教材首先探究把7本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书的情形。当数据变得越来越大时，如果还用完全归纳的方法把所有的情形罗列出来的话，对于学生来说是有困难的。这时需要学生用到“反证法”这样一种思想，即如果所有的抽屉最多放2本，那么3个抽屉里最多放6本书，可是题目中是7本书，还剩1本书，怎么办？这就使学生明白只要放到任意一个抽屉里即可，总有一个抽屉里至少放进3本书。通过这样的方式，实际上学生是在经历“反证法”的这样一个过程。在具体编排这道例题的时候，在数据上进行了一个很细微的调整。在过去，由于数据的问题，学生会得到不太正确的推论，比如说如果是两个抽屉的话，最后得到的余数总是1，那么学生很容易得到一个错误的结论：总有一个抽屉里放进“商+余数”本书（因为余数正好是1）。而实际上，这里的结论应该是“商+1”本书，所以教材在这里呈现了8除以3余2的情况，这时候余数是2，可是最后的结论还是“把8本书放进

3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进了3本书”。通过这样的数据方面的调整，可以让学生得到一个更加正确的推论。例3：跟之前教材的编排是一样的，是抽屉原理的一个逆向的应用。要解决这个问题，可以把两种“颜色”看成两个“抽屉”，“同色”就意味着“同一个抽屉”。这样，就可以把“摸球问题”转化为“抽屉问题”。教材通过学生的对话，指出了可以通过先猜测再验证的方法来解决问题，也反映了学生在解决这个问题时可能会遇到的困难。很多学生误以为要摸5次才可以摸出球，这可以让学生通过实验来验证。在教学中要注意的问题：第一，要让学生经历数学证明的过程，在这里不是让学生计算抽屉原理，去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这就是一种数学证明的思想；第二，要有意识地培养学生的模型思想。因为“抽屉原理”在生活中的变式是多样的，比如让学生判断13个孩子中一定有两个人的生日在同一个月份，让学生去判断367个孩子中一定有两个人的生日是同一天……在解决这些问题的过程中，教师要引导学生明确什么是抽屉原理中的“物体”，什么是“抽屉”，让学生把这些具体问题模型化成一个“抽屉问题”。第三，重视实践活动，帮助学生在自主探究中理解原理，将具体的情况推广到一般。在例1中给出具体的问题（4支铅笔放到3个笔筒里），让学生在探究的过程中，逐渐找到一般的规律。第四，恰当保持教学要求，因为数学广角内容只是让学生经历这样的数学思想的感悟，在评价上不做特别高的要求。本单元的教学重难点是初步了解“抽屉原理（鸽巢原理）”，培养学生的“模型思想”。《鸽巢问题》学情分析鸽巢原理是学生从未接触过的新知识，难以理解鸽巢原理的真正含义，发现有相当多的学生他们自己提前先学了，在具体分的过程中，都在运用平均分的方法，也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然，不知其所以然”，为什么平均分能保证“至少”的情况，他们并不理解。有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽笼”，要用几个“鸽笼”。1．年龄特点：六年级学生既好动又内敛，教师一方面要适当引导，学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主体性。2．思维特点：知识掌握上，六年级的学生对于总结规律的方法接触比较少，尤其对于“数学证明”。因此，教师要耐心细致的引导，重在让学生经历知识的发生、发展和过程，而不是生搬硬套，只求结论，要让学生不知其然，更要知其所以然。《鸽巢问题》教学设计一、教学目标（一）知识与技能通过数学活动让学生了解鸽巢原理，学会简单的鸽巢原理分析方法。（二）过程与方法结合具体的实际问题，通过实验、观察、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。（三）情感态度和价值观在主动参与数学活动的过程中，让学生切实体会到探索的乐趣，让学生切实体会到数学与生活的紧密结合。二、教学重难点教学重点：理解鸽巢原理，掌握先“平均分”，再调整的方法。教学难点：理解“总有”“至少”的意义，理解“至少数=商数＋1”。三、教具准备多媒体课件笔筒铅笔教学过程：一、游戏导入今天来到咱们开发区实验小学和孩子们一起上课，我感到非常高兴，希望和大家合作愉快。同学门喜欢玩游戏吗？那我们一起玩抢板凳的游戏，5个人抢4个板凳，希望同学们听准老师的游戏规则，老师喊开始的时候围着板凳转，老师喊停的时候抢板凳坐下，同学们准备好了吗？（准备好了），同学们看到了一个什么现象?（一个板凳上坐了2个人），同学们想一想，接下来再抢的话，还会有什么现象？（还会有一个板凳上坐2个人），这个坐2个人的板凳确定吗？（不确定），咱们再试试看，（还是一个板凳上座2个人），游戏这样一直做下去，你能把刚才的现象用一句话概括出来吗？（5个人坐4个板凳，不管怎么坐，总有一个板凳上坐2个人，总有是什么意思？（一定有，一定存在），看似一个简单的抢板凳游戏，其实蕴含着一个有趣的数学知识，今天就让我们带着这些问题一起走进鸽巢问题。（板书：鸽巢问题）（既激发了学生学习的兴趣，又分散了学习的难点，初步理解“总有”的意思））二、新知探究:（一）、初建鸽巢问题模型1、课件出示把3支铅笔放进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少放进2支铅笔。⑴找生读题⑵思考问题，怎样摆，共有几种情况，同位商量⑶找生汇报，板书（30）（21）⑷结合板书，引导学生观察看有什么发现？⑸把3支铅笔放进2个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒至少放2支铅笔。小结，这里“总有”和“至少”的意思。2、课件出示例1,⑴找生读题⑵先独立思考摆放情况，然后4人一组，摆一摆，画一画，写一写⑶找小组代表去前面演示摆法，并说一说，板书（400）(310)(220)（211）⑷结合这4种摆放情况，你有什么发现？小结，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔。进一步一步感知“总有”和“至少”的意思3、提出问题，1000支铅笔放进999支笔筒里，又会有哪些情况，让生摆一摆，（提出问题，太多了，没法摆），（激发矛盾，激活学生的思维，为探究假设法，创造了条件）⑴结合板书，引导学生思考新的方法。⑵小组讨论，共商新的方法⑶小组代表汇报，先一个笔筒里放一个，然后剩下的那一个，无论放到哪个笔筒里，都至少是2支。那这种方法，先把那3支怎么分到3个笔筒里的？（平均分），平均分这种方法不错，我们用这种方法继续解决下面的问题4、想一想：⑴6只鸽子飞回5个鸽笼，结果会怎么样？不管怎么飞，总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子,（课件演示鸽子飞的情况，并强调平均分）⑵8支鲜花插进7个花瓶里，你会得到什么结论？（不管怎么插，总有一个花瓶里至少插2支花）⑶10个苹果放进9个抽屉，你能得到什么结论？（不管怎么放，总有一个抽屉里至少放2个苹果）⑷其实今天咱们所研究的问题就是鸽巢问题，这里所指的鸽巢并不是真正的鸽巢，而是泛指，第一个问题中谁相当于鸽巢，第二个呢？第三个呢？第四个呢？那4支铅笔，6只鸽子，8支鲜花，10个苹果就被称为要分的物体，观察这四个问题有哪些相同的地方？小组讨论后，汇报（要分物体比鸽巢多1，总有一个鸽巢里至少有2个要分物体）（二）完善鸽巢问题的模型要分物体比鸽巢多2、多3的时候，又会有怎样的结论呢？1、5只鸽子飞进3个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽巢至少要飞进2只鸽子。为什么？⑴找生读题⑵独立思考后，小组讨论⑶小组代表汇报，先一个笼子里飞进1只，剩下的两只再“平均分”到2个笼子里，学生汇报的同时课件演示。⑷引导学生列式5÷3=1……222、7本书放进4个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进2本书。为什么？自己独立思考后解答7÷4=1…….32（突破教学的难点，通过小组讨论，体会再一次平均分）3、课件出示例2⑴找生读题⑵独立思考后，同位讨论⑶找生汇报（先每个抽屉里放2本，剩下的一本无论放哪一个抽屉里，总有一个抽屉里至少放3本书）7÷3=2……134、想一想：⑴8本书放进3个抽屉，会怎样呢？（不管怎么放，总有一个抽屉里至少放3本书）8÷3=2……23余2的时候，为什么至少数还是3本呢？（把剩下的2本再平均分）⑵10本书放进3个抽屉又会怎么样呢？（不管怎么放，总有一个抽屉里至少放4本书）10÷3=3…….14⑶100本书放进3个抽屉，又会怎样呢？（不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进34本书）100÷3=33……134仔细观察这些问题和结论，你会有什么新的发现？（至少数比商多1；商比至少数少1；至少数=商+1）5、像刚才我们研究的这些问题都属于鸽巢问题，它们蕴含的原理叫鸽巢原理，又叫抽屉原理，你们知道是谁提出来的吗？阅读你知道吗？6、揭示抢板凳游戏中蕴含的原理，并完善5个人坐4个板凳，不管怎么坐，总有一个板凳上“至少”坐2个人，并让学生齐读。（让学生体会数学来源于生活，又服务于生活）三、巩固练习学习了鸽巢原理，同学们掌握的怎么样？1、54张扑克牌中，抽出大小王，还剩52张牌，你们5人随意抽一张，至少有2张牌是同花色的。为什么？（提出谁想当于鸽巢，谁相当于要分物体，然后口答）2、11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。为什么？3、5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐2人。为什么？（谁相当于鸽巢，谁相当于要分物体，同位互相说一说）四、这节课有哪些收获？《鸽巢问题》练习题1、想一想：⑴6个鸽子飞进5个鸽笼里，不管怎么飞，总有一个鸽笼里至少飞进2个鸽子。为什么？⑵8支鲜花插进7个花瓶里，不管怎么插，总有一个花瓶里至少插进2支花，为什么？⑶10个苹果放进9个抽屉中，不管怎么放总有一个抽屉里至少放进2个苹果，为什么？2、想一想：⑴7本书放进4个抽屉中不管怎么放，总有一个抽屉至少放进（）本书，为什么？⑵8本书放进3个抽屉中，你会得到什么结论？⑶10本书放进3个抽屉中，你又能得到什么结论？⑷100本书放进3个抽屉中，你还能得到什么结论?3、巩固练习：⑴54张扑克牌中，抽出大小王，还剩52张牌，你们5人随意抽一张，至少有2张牌是同花色的。为什么？⑵11只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进3只鸽子。为什么？⑶5个人坐4把椅子，总有一把椅子至少坐2人。为什么？《鸽巢问题》效果分析学生学习兴趣浓厚，思维灵活，对问题有自己的见解；善于思考，勇于质疑，当讲到把1000支铅笔放到999个笔筒中，无论怎么放，总有一个抽屉至少放2支铅笔，要求同学们拿铅笔摆一摆，学生愣了，“老师没办法摆了，太多了”，课堂气氛随之活跃了，在老师的引导下，同学们思考新的方法，为优化方法做好了铺垫。好、中、差各类学生均有所收获，当探究例2的时候，结合板书的算式看学生们有什么发现，当我还没有说完，一个程度较好的学生就举起了手，老师：我发现至少数比商多1，另外还有在明确鸽巢原理后，揭示游戏中的一句不完整的话，5个人坐4个板凳，不管怎么坐，总有一个板凳上坐2个人，该怎么改，同学们齐声回答“应该是至少坐2个人”；结合课堂教学，使学生的学习能力、实践动手能力、分析和解决问题等能力与综合素质得到提高和加强，课堂教学效率达到较高水平。《鸽巢问题》课堂观察记录与分析观课人员朱一娟鲁睿智单县南城第一小学观察时间段2016/4/27观察对象六年级数学授课内容鸽巢问题观察点教学过程客观描述教学实施优缺分析教学行为调整建议一、课前情境创设（激发学生学习兴趣的问题情境创设）课一开始，教师领学生做游戏，使他们初步理解“总有”的意思，使他们感知在平时简单的游戏中蕴含着有趣的数学知识，激发他们学习的兴趣。使学生通过抢板凳的游戏，一是使教师和学生进行自然的沟通交流；二是告诉学生在这个游戏中蕴含着一个有趣的数学原理，调动和激发了学生学习的主动性和探究欲望，；三是为今天的探究埋下伏笔，初步理解“总有”的意思，分散了本节课的难点。在学生做游戏时，最好配上节奏感比较快的音乐，这样更能激发孩子学习的兴趣。二、初建鸽巢原理的模型（学生动脑、动手情况）学生先是想一想，把3支铅笔放到2个笔筒里，共有几种情况，然后找同学去前面摆，板书摆的情况，同时引发争议，把（30）和（03）视为两种情况，最后生生交流，明确是一种情况；在研究把4支铅笔放进3个笔筒时，先是让学生独立思考，然后4人一组讨论摆放情况，体现合作的重要性；本来例1是把4支铅笔放到3个笔筒中，我先让学生从最简单的把3支铅笔放到2个笔筒中，然后再探究例1，化繁为简，遵循孩子的认知规律。儿童的智慧就在他的手指尖上。动手操作摆放的过程，不仅能使学生学得生动活泼，而且对所学知识能理解得更深刻，记忆得更牢固。在这一环节的处理上，通过让学生在足够自主的空间、足够活动的机会中孩子摆放时，引导孩子有序摆放学生摆放时应把自己的想法在小组内说一说三、完善鸽巢原理的模型（生生交流，师生交流情况）学生通过思考5只鸽子飞回3个鸽笼，不管怎么飞，总有一个鸽笼至少飞进2只鸽子。为什么？通过生生交流讨论，即加深生生之间的感情，也有效突破了教学难点，把剩下的再一次“平均分”。通过讨论，引出鸽巢问解决题的算式，为探究至少数与商之间的关系，奠定了坚实的基础，在出示把7本书放进4个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放（）本书，应给学生流出足够的时间去思考四、对学生学习情况的把握与调整（学生学习反馈的引导确定和教学调整）对于把54张扑克牌抽出2张大小王后，5个同学每人抽1张，总有一种花色至少被两个人抽到，为什么？学生给出不同的方法，统一方法，其实都可以用至少数=商+1,。通过不同层次的练习，这样可以使学生对刚刚形成的知识深层理解，从而培养学生综合运用知识探索解决问题的能力。解决扑克牌的问题时，应让其问题以课件的形式出