2022届陕西省西安市高新第一中学高三上学期第八次大练习数学（理）试题（解析）

2022届陕西省西安市高新第一中学高三上学期第八次大练习数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得根式不等式以及对数不等式解得集合，再求交集即可.【详解】由题可得：，，所以.故选：C.2．若复数满足，则（

）A． B． C． D．5【答案】B【分析】根据复数运算法则和共轭复数相关知识求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：B3．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为（

）A．米 B．米C．米 D．米【答案】A【分析】根据乌龟每次爬行的距离构成等比数列，写出和，再结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，且，所以乌龟爬行的总距离为.故选：A.4．已知实数、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出不等式组所表示的可行域，利用代数式的几何意义以及数形结合可求得的最大值.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示：目标函数的几何意义为可行域内的点与定点连线的斜率，由图可知，当点在可行域内运动时，直线的倾斜角均为锐角，联立可得，即点，当点与点重合时，直线的倾斜角最大，此时取最大值，即.故选：C.5．己知函数的部分图象如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据图象求出函数的解析式，代值计算即可得出的值.【详解】由图象可知，函数的最小正周期为，故，又，所以，，又，故，所以，所以，故选：B.6．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲､乙､丙､丁四名工作人员到A，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是，其中甲被单独分到A村的方法数是，根据古典概率公式计算可得答案.【详解】解：甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是，其中甲被单独分到A村的方法数是，因此所求概率.故选：A.7．下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较与的大小可判断C；作差比较与的大小可判断D.【详解】因为，所以，所以，故A错误；只有在时才成立，故B错误；因为，所以，所以，故C错误；因为，所以，故D正确.故选：D.8．已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件利用奇偶函数的定义，列出方程组计算作答.【详解】函数为奇函数，为偶函数，且，则，即，而，联立解得，，所以.故选：C9．设椭圆C：的左、右焦点分别为，过的直线与C交于A，B两点，若为等边三角形，则C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断出，利用求得离心率.【详解】由于为等边三角形，根据椭圆的对称性可知，在中，，，所以.故选：A10．已知命题p：在中，若，则；命题q：函数有两个零点，则下列为真命题的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分别判断命题p、命题q的真假，进而依次判断各选项即可得出结果.【详解】对于命题p：在中，（大边对大角），由正弦定理得，故p是真命题；对于命题q：∵，∴函数在上有一个零点，又∵，∴函数有三个零点，故q为假，∴q为假命题.所以为假命题；为假命题；为真命题；④为假命题.故选:C.11．在直三棱柱中，，则三棱柱外接球体积等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件将直三棱柱补形成正方体，借助正方体求其外接球半径计算作答.【详解】在直三棱柱中，因，即，则，于是得，将其补形成棱长为2的正方体，如图，则直三棱柱的外接球即为棱长为2的正方体的外接球，球半径，因此，，所以三棱柱外接球体积等于.故选：A12．已知实数，，满足且，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根据题中的条件得到，从而得到；再根据时得到，结合函数的单调性得到，从而得到.【详解】由得，————①由得，————②两式相加得，因为，，所以，又因为，所以；因为，，所以，即，所以；令，则，当时，，所以在内单调递增，即，所以，即，又令，则，当时，，所以在内单调递增，所以由，得到.所以.故选：D.二、填空题13．已知向量、满足，，，则___________.【答案】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】.故答案为：.14．设，是双曲线实轴的两个端点，是双曲线上的一点（异于，两点），且，则双曲线的渐近线方程为___________.【答案】【分析】设点的坐标为，利用点在双曲线上则点的坐标满足双曲线方程，结合题意，即可求得【详解】设，则，所以，又Q在双曲线上，可得，所以.可得，即，故双曲线的渐近线方程为.故答案为：.15．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足，则___________.【答案】【分析】由已知及正弦定理可得，，进而由余弦定理可得的值．【详解】因为，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案为：.三、双空题16．取棱长为a的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示.则此多面体有___________条棱，表面积为___________.【答案】

24

【分析】由每个正方形4条边，每个三角形3条边，再考虑到每条边对应两个面，由此可得多面体的棱.分别由三角形和四边形的的面积公式求得多面体的表面积.【详解】解：每个正方形4条边，每个三角形3条边，，考虑到每条边对应两个面，所以实际只有条棱.三角形和四边形的边长都是，所以正方形总面积为，三角形总面积为，所以多面体的表面积为.故答案为：24；.四、解答题17．已知等差数列的公差，其前项和为，若，且、、成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得结果；（2）求出，利用裂项相消法可求得.(1)解：对于等差数列，因为，且、、成等比数列，即，即，解得，因此，.(2)解：因为为等差数列，，所以，则，因此，.18．如图甲，三棱锥，均为底面边长为､侧棱长为的正棱锥，且A､B､C､D四点共面（点P，Q在平面的同侧），，交于点O.(1)证明：平面平面；(2)如图乙，设，的延长线交于点M，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接根据题意可得，结合线面垂直判定定理可证平面，根据面面垂直判定定理得证；（2）法一：建立空间直角坐标系，根据条件求出其法向量，利用向量法求二面角问题步骤求解即可；法二：通过题意和图形证明为二面角的平面角，在三角形中利用解三角形求出即为所求.(1)证明：如图，连接因为，为的中点，所以．同理，，又，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．(2)法一：如图，分别过，作平面的垂线，垂足分别为，，则，在上，且，分别为的三等分点，且，,，所以四边形为矩形，所以．且，所以．所以，由（1）得两两垂直．又，所以．如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设，分别为平面与平面的法向量，则，．所以，由图可得所以二面角的平面角的余弦值为.法二：分别过作平面的垂线，垂足分别为，，则，在上，且，分别为的三等分点，且，，，所以四边形为矩形，所以．且，所以，所以．取的中点，则，，所以为二面角的平面角．又，所以．又，所以，所以．又，.所以二面角的平面角的余弦值为.19．2021年6月17日9时22分，我国酒泉卫星发射中心用长征遥十二运载火箭，成功将神舟十二号载人飞船送入预定轨道，顺利将聂海胜､刘伯明､汤洪波名航天员送入太空，发射取得圆满成功，这标志着中国人首次进入自己的空间站.某公司负责生产的型材料是神舟十二号的重要零件，该材料应用前景十分广泛.该公司为了将型材料更好地投入商用，拟对型材料进行应用改造.根据市场调研与模拟，得到应用改造投入（亿元）与产品的直接收益（亿元）的数据统计如下：序号123456723468101315222740485460当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：，模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为.回归模型模型①模型②79.1320.2(1)根据表格中的数据，比较当时模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高､更可靠的模型，预测对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益；(2)为鼓励科技创新，当应用改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，根据（1）中选择的拟合精度更高更可靠的模型，比较投入17亿元与20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小.附：刻画回归效果的相关指数，且当越大时，回归方程的拟合效果越好..用最小二乘法求线性回归方程的截距：.【答案】(1)，模型②拟合精度更高､更可靠，收益为；(2)投入17亿元比投入20亿元时收益小.【分析】（1）根据题意求得，再根据的计算公式，即可分别求得，则可判断不同模型的拟合度；（2）根据题意，求得回归直线方程，即可代值计算，求得预测值.(1)对于模型①，对应的，故对应的，故对应的相关指数，对于模型②，同理对应的相关指数，故模型②拟合精度更高､更可靠.故对型材料进行应用改造的投入为17亿元时的直接收益为.(2)当时，后五组的，由最小二乘法可得，故当投入20亿元时公司收益（直接收益+国家补贴）的大小为：，故投入17亿元比投入20亿元时收益小.20．已知抛物线的焦点为，直线与轴交于，与交于，且.(1)求抛物线的方程；(2)设、是上两点，其横坐标之和为，且在以为直径的圆上，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由设，可得，由可得出关于的等式，解出正数的值，即可得出抛物线的方程；（2）求出直线的斜率为，设直线的方程为，将该直线方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由已知可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合韦达定理求出的值，即可得出直线的方程.(1)解：由已知设，代入得.所以，，因为，所以，整理可得，即，，解得.所以的方程为.(2)解：设、，则，，，，所以，.设直线的方程为，联立，可得，，解得.由韦达定理可得，，，同理，若或，则与，重合，不合乎题意，则，即，解得.因此，直线的方程为.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为、；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．己知函数.(1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】(1).(2)证明见解析.【分析】（1）将不等式转化为，设，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由此可得实数a的取值范围；（2）令，利用正弦函数的性质可得证.(1)解：当时，，则可化为，设，则，因此在上单调递减，在上单调递减，则，所以；(2)证明：令，则，所以①当时，，此时；②当时，由（1）可知：当时，，即③当时，，综上所述：当时，.22．在直角坐标系中，曲线的方程为：.(1)以过原点的直线的倾斜角为参数，求曲线C的参数方程；(2)设曲线C上任一点为，求的取值范围.【答案】(1)（为参数，且）(2)【分析】（1）根据参数方程和普通方程之间的关系进行转化即可；（2）利用（1）中已知参数方程代入并结合参数范围即可求出范围.(1)曲线，即，是以为圆心，为半径，且过原点的圆，设过原点的直线交曲线的另一点于，设，则，由已知得，以过原点