湖北省襄阳市老河口市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题及参考答案

老河口市重点中学2023年春季学期期中考试高二年级数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.记向量a,b为非零向量，若，则“”是“”成立的(

)条件A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要2.若两条直线l1:2x+ay−1=0与l2:ax+2a−1A.−12 B.0 C.−12或0 3.已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a2，a2022是方程x2−3x+2=0的两个根，则logA.20233 B.20232 C.2023 4.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y=f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是．(

)A.函数f(x)在(1,2)上为减函数B.函数f(x)在(3,5)上为增函数

C.函数f(x)在(1,3)上有极大值D.x=3是函数f(x)在区间[1,5]上的极小值点5.已知函数f(x)=2f′(1)ln x−x，则f(x)的极大值为(

)A.2 B.2ln 2−2 C.e D.2−e6.鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为(

)A.32 B.36 C.40 D.487.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°且PA=AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的余弦值为(

)A.25B.55C.1558.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，|FA|为半径的圆交C的右支于M，N两点，且线段AMA.2 B.5 C.3 D.4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列求导错误的是(

)A.e3x′=3exB.x210.在递增的等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，若a1a4=32A.q=1 B.数列Sn+2是等比数列

C.S8=510 D.数列11.已知抛物线C:x2=2py的焦点坐标为F，过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，点2,1A.p=1B.当AB⊥y轴时，|AB|=4

C.1|AF|+1|BF|为定值1D.若AF12.设函数fx=xex−k，A.若函数f(x)有两个零点，则0<k<1e

B.若f(x)≤0恒成立，则k<1e

C.若∀x1，x2，0<x三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线f(x)=lnx+3−2x在点(1,f(1))处的切线方程为

．14.为推动黄河流域生态保护和高质量发展，某市环保局派出4个宣传小组，到黄河沿岸5个社区做环保宣讲活动，每个小组至少去1个社区，每个社区只安排1个小组，则不同的安排方法共有

种(用数字作答)．15.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=3，|b16.如图，已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD.给出下列命题：

①PB⊥AC；

②平面PAB与平面PCD的交线与AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=π3，AB:BC=1:3，(I)求的值；(II)若，CD=1，求△ACD的面积．

18.(本小题12.0分)已知数列an满足a1=(1)设bn=1(2)设数列ann的前n项和为Sn

19.(本小题12.0分)如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC1⊥平面(1)求证：AB⊥平面BB1C(2)若M为CC1的中点，求二面角A−B1M−B20.(本小题12.0分)某市政府响应习总书记在十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”，对环境进行了大力整治，目前盐城市的空气质量位列全国前十，吸引了大量的外地游客．某旅行社组织了一个旅游团于近期来到了黄海国家森林公园，数据显示，近期公园中每天空气质量指数近似满足函数f(x)=mlnx−x+600xx2+144−6(4≤x≤22,m∈R)，其中x(1)求实数m的值；(2)求近期每天时段空气质量指数最高的时刻．(参考数值：ln6=1.8)

21.(本小题12.0分)已知A，B分别是椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C的右焦点F作一条直线交椭圆C于M，N(异于A，B两点)两点，连接AM，AN并延长，分别交直线l:x=22于不同的两点P，Q.证明：直线MQ与直线NP相交于点B

(本小题12.0分)

已知函数f(x)=axex+b(其中e是自然对数的底数，a，b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程是2ex−y−e=0．

(1)求函数f(x)的单调区间．

(2)设函数g(x)=[f(x)]2x−mx−lnx，若参考答案1.C

2.C

3.B

4.C

5.B

6.A

7.D

8.D

9.AB

10.BC

11.BCD

12.AC

13.x+y−2=0

14.240

15.−13

16.②③

17.解：(I)设AB=x，则BC=3x，∵∠B=π3，AC=7，

∴在△ABC中，

由余弦定理得7=x2+(3x)2−2⋅x⋅3x⋅cosπ3，解得x=1，

再由正弦定理ABsin⁡∠ACB=ACsinB得sin∠ACB=AB⋅sinB18.解：(1)证明：因为bn+1−bn=1an+1−1an=11−1an+1−1an=1anan+1−1an=an+1a19.解：(1)∵BC1⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，

∴BC1⊥AB，BC1⊥BC，

∵AB⊥BC，BC∩BC1=B，BC，BC1⊂平面BB1C1C，

∴AB⊥平面BB1C1C.

又∵AB=BC=2，BB1=4，

∴BC1=23．

(2)如图所示，分别以BC，AB，BC1所在的直线为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)，A(0,2,0)，C(2,0,0)，B1(−2,0,23)，

C1(0,0,23)，

易知M(1,0,3)，

20.解：(1)由题f(6)=29.6，代入f(x)=mlnx−x+600xx2+144−6(4⩽x⩽22,m∈R)，

解得m=12．

(2)由已知函数求导得：

f′x=xx∈(4,12)x=12x∈(12,22)f+f−f(x)↗极大值↘所以函数在x=12时取极大值也是最大值，即每天空气质量指数最高的时刻为12时．

答：(1)实数m的值为12；

(2)每天空气质量指数最高的时刻为12时．

21.(1)解：由题意可得2b=2c,故所求椭圆C的标准方程为x24(2)证明：设直线MN的方程为x=my+2，M(x1联立x=my+2,x所以y1+y直线AM的方程为y=y与直线l:x=22联立，可得点P的纵坐标y直线AN的方程为y=y2x可得点Q的纵坐标yQ则kMB=y故kMB−k把 ①代入 ②，可得，所以直线MQ与x轴相交于右顶点B

同理可得直线NP与x轴相交于右顶点B.故直线MQ与直线NP相交于点B．

22.解：(1)对函数f(x)=axex+b求导，得f′(x)=a(1+x)ex，

由条件可知f(1)=ae+b=e，f′(1)=a(1+1)e=2e，解得a=1，b=0，

∴f(x)=xex，f′(x)=(x+1)ex，令f′(x)=0，得x=−1，

当x∈(−∞,−1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

当x∈(−1,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．

故函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−1)，单调递增区间为(−1,+∞)；

(2)由(1)知g(x)=xe2x−mx−lnx.要使g(x)≥1在x∈(0,