更新自动控制原理(胡寿松)第五第五章

频率特性分析法

，又称为频域分析法，是一种图解的分析方法，它不必直接求解系统输出的时域表达式，不需要求解系统的闭环特征根，具有较多的优点。如：①根据系统的开环频率特性能揭示闭环系统的动态性能和稳态性能,得到定性和定量的结论，可以简单迅速地判断某些环节或者参数对系统闭环性能的影响,并提出改进系统的方法。②时域指标和频域指标之间有对应关系，而且频率特性分析中大量使用简洁的曲线、图表及经验公式，简化控制系统的分析与设计。

频率特性分析法的特点现在是1页\一共有135页\编辑于星期四③具有明确的物理意义，它可以通过实验的方法，借助频率特性分析仪等测试手段直接求得元件或系统的频率特性，建立数学模型作为分析与设计系统的依据，这对难于用理论分析的方法去建立数学模型的系统尤其有利。④频率分析法使得控制系统的分析十分方便、直观，并且可以拓展应用到某些非线性系统中。

本章重点介绍频率特性的基本概念、幅相频率特性(奈奎斯特图)与对数频率特性(波特图)的绘制方法、奈奎斯特稳定判据、控制系统的相对稳定性、利用开环频率特性分析系统闭环性能的方法。现在是2页\一共有135页\编辑于星期四5.1频率特性的基本概念5.2幅相频率特性及其绘制5.3对数频率特性及其绘制5.4奈奎斯特稳定判据5.5控制系统的相对稳定性5.6利用开环频率特性分析系统的闭环性能5.7闭环系统频率特性本章内容现在是3页\一共有135页\编辑于星期四5.1频率特性的基本概念现在是4页\一共有135页\编辑于星期四5.1.1频率响应控制系统对正弦输入信号的稳态正弦响应。一个稳定的线性定常系统，在正弦信号的作用下，稳态时输出仍是一个与输入同频率的正弦信号，且稳态输出的幅值与相位是输入正弦信号频率的函数。RC

RC网络ui(t)u0(t)i(t)电路的时间常数T=RC，单位为s。

例5-1：求下述RC网络在正弦信号输入作用下的稳态输出。Ui与分别为输入正弦信号的振幅与角频率现在是5页\一共有135页\编辑于星期四输出的拉氏变换为：

对上式进行拉氏反变换可得输出的时域表达式：输出与输入相位差：

=-arctanTω稳态输出与输入幅值比A：二者均与输入频率，系统本身的结构与参数有关。现在是6页\一共有135页\编辑于星期四

实际上，频率响应的概念具有普遍意义。对于稳定的线性定常系统（或元件），当输入信号为正弦信号r(t)=sint

时，过渡过程结束后，系统的稳态输出必为

Css(t)=Asin(ωt+)，如图所示。线性定常系统sintAsin(ωt+)tr（t）Css（t）

线性系统及频率响应示意图A(ω)(ω)现在是7页\一共有135页\编辑于星期四5.1.2频率特性1、定义

线性定常系统（或元件）在零初始条件下，当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，系统稳态输出与输入信号的幅值比A(ω)与相位差(ω)随输入频率变化而呈现的变化规律为系统的频率特性。A(ω)：幅频特性。稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上是放大(A＞1)还是衰减(A＜1)。(ω)：相频特性。稳态响应不同频率的正弦输入时在相位上是超前(＞0º)还是滞后(＜0º)。

频率特性反映系统对不同频率的输入信号的跟踪能力，在频域内全面描述系统的性能。

只与系统的结构、参数有关，是线性定常系统的固有特性。现在是8页\一共有135页\编辑于星期四RC网络的幅频特性和相频特性的表达式分别为：A（ω）=

（ω）=-arctanTωRC

RC网络ui(t)u0(t)i(t)控制系统的频率传递函数恰好表示了系统的频率特性，其幅值与相角分别为幅频特性、相频特性的表达式。频率传递函数现在是9页\一共有135页\编辑于星期四G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej指数表示法G（jω）=A(ω)∠(ω)幅角表示法

当ω是一个特定的值时，可以在复平面上用一个向量去表示G(jω)。向量的长度为A(ω)，向量与正实轴之间的夹角为

(ω)，并规定逆时针方向为正，即相角超前；规定顺时针方向为负，即相角滞后。2、频率特性的表示方法现在是10页\一共有135页\编辑于星期四

另外还可以将向量分解为实数部分和虚数部分，即

G（jω）=R（ω）+jI（ω）

R(ω)称为实频特性，I(ω)称为虚频特性。A(ω)与R(ω)为ω的偶函数，

(ω)与I(ω)是ω的奇函数。现在是11页\一共有135页\编辑于星期四线性定常系统，传递函数为G（s）G（jω）=

G（s）|s=jω=A(ω)·ejRsinωtA(ω)·R·sin[ωt+(ω)]A(ω)是幅频特性，是相频特性

系统的频率特性可由系统的传递函数G（s）将jω代替其中的s而得到。由拉氏变换可知，传递函数的复变量s=σ+jω。当σ=0时，s=jω。所以G（jω）就是σ=0时的G（s）。即当传递函数的复变量s用jω代替时，传递函数转变为频率特性，这就是求取频率特性的解析法。由传递函数求取频率特性现在是12页\一共有135页\编辑于星期四RC

RC网络ui(t)u0(t)i(t)G(s)=

00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90现在是13页\一共有135页\编辑于星期四5.1.4频率特性的物理意义1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性。2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外界因素无关。3.频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号的频率有关。4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有“低通滤波”与“相位滞后”作用。现在是14页\一共有135页\编辑于星期四5.1.5频率特性的数学意义

频率特性是描述系统固有特性的数学模型，与微分方程、传递函数之间可以相互转换。

三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经典控制理论中最常用的数学模型。

微分方程（以t为变量）

传递函数（以s为变量）

频率特性（以ω为变量）

控制系统数学模型之间的转换关系现在是15页\一共有135页\编辑于星期四1.幅相频率特性曲线（奈氏曲线,奈氏图）坐标系为极坐标。反映A(ω)与

(ω)随ω变化的规律。2.对数频率特性曲线(对数坐标图，

波德图)坐标系为半对数坐标。反映对数幅频特性曲线L(ω)=20lgA(ω)和对数相频特性曲线

(ω)随ω变化的规律。3.对数幅相频率特性曲线(尼柯尔斯图或对数幅相图)

坐标系为对数幅相坐标。反映L(ω)=20lgA(ω)随

(ω)的变化规律，主要用于求取闭环频率特性。常用频率特性曲线现在是16页\一共有135页\编辑于星期四2023/4/21现在是17页\一共有135页\编辑于星期四5.2幅相频率特性及其绘制

现在是18页\一共有135页\编辑于星期四5.2.1奈氏图的基本概念

绘制奈氏图的坐标系是极坐标与直角坐标系的重合。取极点为直角坐标的原点，极坐标轴为直角坐标的实轴。当ω在0→∞的范围内连续变化时，向量的幅值A()与相角()均随之连续变化，不同ω下的向量的端点在复平面上扫过的轨迹即为该系统的奈氏曲线G(j2)Re(1)(2)A(1)A(2)G(j1)

极坐标图的表示方法

Im

把ω作为参变量，标在曲线旁边，并用箭头表示频率增大时曲线的变化轨迹，以便更清楚地看出该系统频率特性的变化规律。G(jω)与G(-jω)互为共轭。相应的奈氏图曲线G(jω)必然与G(-jω)对称于实轴。G(jω)=A(ω)·ej现在是19页\一共有135页\编辑于星期四

当系统或元件的传递函数G(s)已知时，可以采用解析的方法先求取系统的频率特性的具体步骤：1.用jω代替s，求出频率特性G(jω)2.求出幅频特性A(ω)与相频特性(ω)的表达式，也可求出实频特性R(ω)与虚频特性I(ω)，帮助判断G(jω)所在的象限。3.在0→∞的范围内选取不同的ω，分别计算出A(ω)与(ω)的值，在坐标图上描出对应的向量G(jω)，将所有G(jω)的端点连接描出光滑的曲线即可得到所求的奈氏曲线。现在是20页\一共有135页\编辑于星期四典型环节的奈氏图1、比例环节用j替换s，可求得比例环节的频率特性表达式为

G(j)=KImRe0K→0→

比例环节的幅相频率特性G(s)=K幅频特性A(ω)=

|K|=K相频特性（ω）=0º比例环节的幅频特性、相频特性均与频率无关。所以当由0变到,G(j)始终为实轴上一点。比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。现在是21页\一共有135页\编辑于星期四2、积分环节频率特性：幅频特性：A()=|1/|=1/

，与角频率ω成反比相频特性：()=-90º

积分环节的幅相频率特性→0→0ReIm0＜＜：幅相频率特性与负虚轴重合。积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。现在是22页\一共有135页\编辑于星期四3、微分环节G(s)=s频率特性：G(j)=j幅频特性:

A()=||=，与成正比。相频特性：

()=90º。在0＜＜的范围内,

奈氏图与正虚轴重合。理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。现在是23页\一共有135页\编辑于星期四4、惯性环节R()≥0，I()≤0:惯性环节的奈氏图必在坐标系的第四象限。位于第四象限的半圆，圆心为(1/2,0),直径为1。

比例系数变为K时，圆心为(K/2,0),直径为K。惯性环节为低通滤波器，且输出滞后于输入，相位滞后范围为0º→-90º。00.5/T1/T2/T3/T4/T5/T6/TA()10.890.710.450.320.240.200.160()0-26.6-45-63.5-71.5-76-78.7-80.5-90现在是24页\一共有135页\编辑于星期四5、一阶微分环节实频特性恒为1，虚频特性与输入频率成正比。平行于正虚轴向上无穷延伸的直线G(s)=(s+1)具有放大高频信号的作用，输入频率越大，放大倍数越大；且输出超前于输入，相位超前范围为0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。是控制工程中常用的比例微分控制器（PD控制器），PD控制器常用于改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。00.5/1/2/A()11.121.412.36()028.74565.490现在是25页\一共有135页\编辑于星期四6、二阶振荡环节虚频特性恒≤0，奈氏曲线必位于第三与第四象限。1＞2。与负虚轴的交点频率为=1/T，幅值为1/(2)。相位滞后：输出滞后于输入的范围为0º→-180º；的取值对曲线形状的影响较大，可分为以下两种情况

01/A()11/(2)0()0-90-180现在是26页\一共有135页\编辑于星期四1)

＞0.707

幅频特性A()随的增大而单调减小，如图中1所对应曲线，环节有低通滤波作用。当＞1时，振荡环节有两个相异负实数极点。若足够大，一个极点靠近原点，另一个极点远离虚轴（对瞬态响应影响很小），奈氏曲线与负虚轴的交点的虚部为1/(2)≈0，奈氏图近似于半圆，即振荡环节近似于惯性环节。

现在是27页\一共有135页\编辑于星期四2)0≤≤0.707当增大时，幅频特性A()并不是单调减小，而是先增大，达到一个最大值后再减小直至衰减为0，这种现象称为谐振。奈氏图上距离原点最远处所对应的频率为谐振频率r，所对应的向量长度为谐振峰值Mr=A(r)=A(r)/A(0)

。谐振表明系统对频率r下的正弦信号的放大作用最强。现在是28页\一共有135页\编辑于星期四随的减小,谐振峰值Mr增大，谐振频率r也越接近振荡环节的无阻尼自然振荡频率n。谐振峰值Mr越大，表明系统的阻尼比越小，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

求谐振角频率r和谐振峰值Mr，现在是29页\一共有135页\编辑于星期四7、延迟环节幅频特性：A()=1相频特性：()=-单位为弧度（rad）。或者()=G(s)=e-sG(j)=e-j故延迟环节的奈氏图是一个以原点为圆心,半径为1的圆。即延迟环节可以不失真地复现任何频率的输入信号，但输出滞后于输入，而且输入信号频率越高，延迟环节的输出滞后就越大。

=时，()=-，即输出相位滞后输入为无穷大。当从0连续变化至时，奈氏曲线沿原点作半径为1的无穷次旋转，τ越大，转动速度越大。现在是30页\一共有135页\编辑于星期四在低频区，频率特性表达式根据泰勒公式展开为当很小时，有

即在低频区，延迟环节的频率特性近似于惯性环节。从奈氏图也可见，二者的曲线在低频区基本重合。现在是31页\一共有135页\编辑于星期四5.2.3开环奈氏图的绘制1.定义系统的频率特性有两种，闭环频率特性Ф(jω)与开环频率特性Gk(jω)。由于系统的开环传递函数较易获取，并与系统的元件一一对应，在控制系统的频率分析法中，分析与设计系统一般是基于系统的开环频率特性。幅值相乘、相位相加现在是32页\一共有135页\编辑于星期四2.开环奈氏图的绘制(1)低频段的确定(→0)：起点

低频段的Gk(jω):()=-v90°向量相乘是幅值相乘、相位相加:低频段的幅频：低频段的相频：现在是33页\一共有135页\编辑于星期四开环系统奈氏图低频段的形状（幅值与相位）均与系统的型别v与开环增益K有关。1)0型系统，v=0：A(0)

=K，(0)=0º;低频特性为实轴上的一点(K,0)。2)Ⅰ型系统，v=1：A(0)=∞，(0)=-90º3)Ⅱ型系统，v=2：A(0)=∞，(0)=-180º系统的型别v每增加1，起点顺时针转90度现在是34页\一共有135页\编辑于星期四(2)高频段（→∞）：终点

不失一般性，假定系统开环传递函数全为不相等的负实数极点与零点。m为分子多项式的阶数，

n为分母多项式的阶数，且一般m＜n

高频段终止于坐标原点；而最终相位为()=-(n-m)90，

现在是35页\一共有135页\编辑于星期四

①(n-m)=1,则()=-90,即幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。②(n-m)=2,则()=-180,即幅相特性沿负实轴进入坐标原点。③(n-m)=3,则()=-270,即幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。现在是36页\一共有135页\编辑于星期四(3)奈氏图与实轴、虚轴的交点将频率特性表达式按照分母有理化的方法分解为实部与虚部。1）曲线与实轴的交点处的频率由虚部为0求出

Im[G(j)]=I()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。2）曲线与虚轴的交点处的频率由实部为0求出

Re[G(j)]=R()=0求出交点处的，再代回频率特性表达式求出交点的坐标。现在是37页\一共有135页\编辑于星期四(1)分别写出开环系统中各个环节的幅频特性和相频特性。(2)写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。(3)分别求出ω=0和ω=的G(jω)H(jω)

。(4)求奈氏图与实轴交点：可用Im[G(jω)H(jω)

]=0求出。(5)求奈氏图与虚轴交点：可用Re[G(jω)H(jω)

]=0求出。(6)必要时再画出中间几点。(7)勾画大致曲线（开环概略幅相曲线）总结：开环系统Nyquist图的一般作图方法现在是38页\一共有135页\编辑于星期四起点：A(0)=10,(0)=0终点：A()=0,()=-90-90=-180与虚轴的交点：G(j)()17.07-50.72.53.61-82.0351.75-105.2100.74-129.31000.01-173.7例1：绘制0型开环系统的奈氏图现在是39页\一共有135页\编辑于星期四Ⅰ型系统G(j)()0.199.6-95.710.517.89-116.5722.24-153.4350.39-168.69100.1-174.29500.004-178.85例2已知开环系统的频率特性，试画出奈氏图现在是40页\一共有135页\编辑于星期四Ⅱ型系统例3G(j)()0.535.7-206.617.07-22521.12-243.4350.08-258.7100.01-264.3现在是41页\一共有135页\编辑于星期四0型3型2型1型值系统名称奈氏图起点奈氏图终点=00型(K,j0)(1)分母阶次大于分子阶次：坐标原点处；相位为-90(n-m)(2)分母阶次等于分子阶次：坐标实轴上的有限值处=1I型相角为-90的无穷远处=2II型相角为-180的无穷远处奈氏图起点：每增加一个积分环节，相位增加-90现在是42页\一共有135页\编辑于星期四下图列出了常见系统的开环传递函数与开环概略奈氏图。

如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在由0增大到过程中，频率特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。现在是43页\一共有135页\编辑于星期四(4)开环零点对曲线的影响1）如果系统的开环传递函数没有开环零点，则在由0增大到过程中，频率特性的相位单调连续减小（滞后连续增加），特性曲线平滑地变化。奈氏曲线应该是从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。2）如果系统的开环传递函数有开环零点，则在由0增大到过程中，特性的相位不再是连续减小。视开环零点的时间常数的数值大小不同，特性曲线的相位可能在某一频段范围内呈增加趋势，此时，特性曲线出现凹部。

现在是44页\一共有135页\编辑于星期四若该系统增加一个开环零点，开环频率特性表达式为此系统仍为Ⅱ型系统，当→0时，幅值趋于无穷大,而相角位移为-180，即奈氏图的起点基本未变。在→时，A()=0，()=-(n-m)90=-290=-180，奈氏图沿负实轴终止于原点。

由于增加了开环零点，所以奈氏曲线从低频段到高频段连续变化时，相位先滞后增加，达到一个滞后最大值后，相位滞后又开始减小（即相位增加），整条曲线出现了凹凸。现在是45页\一共有135页\编辑于星期四现在是46页\一共有135页\编辑于星期四

根据以上绘制规律，可以方便地绘制系统的开环概略奈氏图。

在０＜＜的区段，奈氏曲线的形状与所有典型环节及其参数有关，但通过奈氏曲线并不能非常直观地显示出系统的开环传递函数的结构与参数。

奈氏图的用途：判断系统稳定性作业：p.2375-6p.2385-8,5-9现在是47页\一共有135页\编辑于星期四2023/4/21现在是48页\一共有135页\编辑于星期四5.3对数频率特性及其绘制现在是49页\一共有135页\编辑于星期四5.3.1对数频率特性曲线（Bode图）基本概念坐标系为半对数坐标。反映对数幅频特性曲线L(ω)=20lgA(ω)和对数相频特性曲线

(ω)随ω变化的规律。1.Bode图的坐标系横坐标：对取以10为底的对数lg进行分度。十倍频程（decade，dec）：每变化十倍,

1gω就增加一个单位长度。标注ω的真值,以方便读数。横坐标对于ω是不均匀的，但对1gω却是均匀的线性分度。由于0频无法表示，横坐标的最低频率是由所需的频率范围来确定的。ω1与ω2的距离不是ω2-ω1，而是lgω2-lgω1现在是50页\一共有135页\编辑于星期四对数幅频特性纵坐标：(dB)

，用L()=20lgA(ω)表示。对数相频特性图纵坐标：对相角进行线性分度，单位为度（o）

,仍用

()表示。2.伯德（Bode）图的构成G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()现在是51页\一共有135页\编辑于星期四3．Bode图法的特点（1）横坐标按频率取对数分度，低频部分展宽，而高频部分缩小。与对实际控制系统（一般为低频系统）的频率分辨要求吻合。（2）幅频特性取分贝数（20Lg|GH|）后，使各因子间的乘除运算变为加减运算，在Bode图上则变为各因子幅频特性曲线的叠加，大大简化了作图过程，使系统设计和分析变得容易。（3）可采用由直线段构成的渐近特性（或稍加修正）代替精确Bode图，使绘图十分简便。（4）在控制系统的设计和调试中,开环放大系数K是最常变化的参数。而K的变化不影响对数幅频特性的形状，只会使幅频特性曲线作上下平移。现在是52页\一共有135页\编辑于星期四5.3.2典型环节的伯德图

1.比例环节（K）

比例环节可以完全、真实地复现任何频率的输入信号，幅值上有放大或衰减作用；

()=0º,表示输出与输入同相位，既不超前也不滞后。现在是53页\一共有135页\编辑于星期四2.积分环节(1/s)

402000.010.111020100.010.11

频率每增加10倍，幅频特性下降20dB，故积分环节的对数幅频特性是一条斜率为-20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。积分环节是低通滤波器，放大低频信号、抑制高频信号，输入频率越低，对信号的放大作用越强；并且有相位滞后作用，输出滞后输入的相位恒为90º。现在是54页\一共有135页\编辑于星期四3.微分环节（s）

1微分环节的对数幅频特性是一条斜+20dB/dec的斜线,并且在=1这一点穿过0dB线。理想微分环节是高通滤波器，输入频率越高，对信号的放大作用越强；并且有相位超前作用，输出超前输入的相位恒为90º，说明输出对输入有提前性、预见性作用。积分环节与理想微分环节的对数幅频特性相比较，只相差正负号，二者以轴为基准，互为镜象；同理，二者的相频特性互以轴为镜象。现在是55页\一共有135页\编辑于星期四4.惯性环节(1)对数幅频特性

1)低频段：T<<1(或<<1/T)，T0低频渐近线：0dB的直线，现在是56页\一共有135页\编辑于星期四2)高频段

:T>>1(或>>1/T)3）转折点：低频与高频渐近线的交点。

转折频率T：

T

=1/T。

绘制惯性环节的对数频率特性时的一个重要参数。高频渐近线：斜率为-20dB/dec的直线，现在是57页\一共有135页\编辑于星期四（2）对数相频特性()=-arctan(ωT)；对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-45°这一点斜对称。在整个频率范围内，()呈滞后持续增加的趋势，极限为-90。现在是58页\一共有135页\编辑于星期四

当惯性环节的时间常数T改变时，其转折频率1/T将在Bode图的横轴上向左或向右移动。与此同时，对数幅频特性及对数相频特性曲线也将随之向左或向右移动，但它们的形状保持不变。现在是59页\一共有135页\编辑于星期四5．一阶微分环节（s＋1）

(1)

低频渐近线：<<1(或<<1/)；近似用零分贝线表示。(2)高频渐近线：>>1(或>>1/)；斜率为20dB/dec的斜线。(3)转折频率:T=1/。1)对数幅频特性

现在是60页\一共有135页\编辑于星期四一阶微分环节的bode图与惯性环节互以横轴为镜像。一阶微分环节具有放大高频信号的作用；输出超前于输入，0º→90º，输出对输入有提前性、预见性作用。一阶微分环节（PD控制器）：改善二阶系统的动态性能，但存在放大高频干扰信号的问题。2)相频特性

3)特点

现在是61页\一共有135页\编辑于星期四

6．二阶振荡环节（1）对数幅频特性

1)低频段：T<<1(或<<1/T)时，L()20lg1=0dB。(0≤≤1)2)高频段：T>>1(或>>1/T)时,并考虑到（0≤≤1），有L()-20lg(T)2=-40lg(T)=-40lgT-40lgdB这说明高频段是一条斜率为-40dB/dec的斜线。3)T=1/T为转折频率，也就是环节的无阻尼自然振荡频率n。现在是62页\一共有135页\编辑于星期四0.4时，渐近线需要加尖峰修正。随的减小,谐振峰值Mr增大，系统的相对稳定性就越差，单位阶跃响应的最大超调量σ%也越大。谐振频率r也越接近n。当=0时，r≈n，Mr≈，即振荡环节处于等幅振荡状态。

高频渐近线:-40dB/dec低频渐近线:0dB现在是63页\一共有135页\编辑于星期四（2）相频特性

当ω=0时，()=0ω=1/T时，()=-90°ω→∞时，()→-180°

振荡环节具有相位滞后的作用，输出滞后于输入的范围为0º→-180º；同时的取值对曲线形状的影响较大。振荡环节的对数相频特性曲线将对应于ω=1/T及()=-90°这一点斜对称。现在是64页\一共有135页\编辑于星期四7．延迟（滞后）环节（e-Ts）

()是呈指数规律下降的曲线，随ω增加而滞后无限增加，现在是65页\一共有135页\编辑于星期四控制系统的开环频率特性为：5.3.3开环伯德图的绘制顺序斜率叠加法在绘制系统Bode图时，应先将系统传递函数分解为典型环节乘积的形式，再逐步绘制。不必将各个典型环节的L(ω)绘出,而使用从低频到高频逐次变换斜率的方法绘出L(ω)曲线,Ф(ω)曲线描点或叠加求取。G(j)=G1(j)G2(j)…Gn(j)=

A()ej()

A()=A1()A2()…An()；()=1()+2()+…+n()

L()=20lgA()=20lgA1()+20lgA2()+…+20lgAn()=L1()+L2()+…+Ln()现在是66页\一共有135页\编辑于星期四1.基本规律（1）由于系统开环幅频特性的渐近线是由各典型环节的对数幅频特性叠加而成，而直线叠加就是斜率相加，所以L()的渐近线必为由不同斜率的线段组成的折线。（2）低频渐近线（及其延长线）的确定()=-v90°斜率:-20vdB/dec;与积分环节的个数v有关=1时,有L(1)=20lgK。现在是67页\一共有135页\编辑于星期四（3）转折频率及转折后斜率变化量的确定在惯性环节的转折频率1/T处，斜率-20dB/dec；在一阶微分环节G(s)=(s+1)的转折频率1/处，斜率+20dB/dec；在振荡环节的转折频率1/T处，斜率-

40dB/dec（4）最终斜率与最终相位滞后与n-m的关系()=-(n–m)·90°斜率为-20（n-m）dB/dec的斜线。高频段Bode图与（n-m）有关。→时,由于n＞m，现在是68页\一共有135页\编辑于星期四2．Bode图绘制步骤1)开环传递函数写成时间常数表达式，确定各典型环节的转折频率。2)选定Bode图坐标系所需频率范围，一般最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为最高转折频率的10倍左右。3)在横坐标上，由小到大标注各典型环节转折频率。4)确定低频渐近线（由积分环节个数v与开环传递系数K决定），找到横坐标为ω=1、纵坐标为20lgK的点，过该点作斜率为-20vdB/dec的斜线。5)由低频向高频延伸，每到一个转折频率,斜率根据具体环节作相应的改变，最终斜率为-20（n-m）dB/dec。6)如有必要，可对分段直线进行修正，以得到精确的对数幅频特性。通常只需修正各转折频率处以及转折频率的二倍频和1/2倍频处的幅值就可以了。现在是69页\一共有135页\编辑于星期四7）系统开环对数幅频特性L()通过0分贝线,即

L(c)=0或A(c)=1时的频率c称为幅值穿越频率。是分析与设计时的重要参数。8)在对数相频特性图上，分别画出各典型环节的对数相频特性曲线，将各典型环节的对数相频特性曲线沿纵轴方向迭加，便可得到系统的对数相频特性曲线。也可求出()的表达式，逐点描绘。低频时有()=-v(90)，最终相位为()=-(n-m)90。9)若系统串联有延迟环节，不影响系统的开环对数幅频特性，只影响系统的对数相频特性，则可以求出相频特性的表达式，直接描点绘制对数相频特性曲线。现在是70页\一共有135页\编辑于星期四(1)确定Bode图坐标系例5.3.1：求开环传递函数的Bode图0.1110100204060(2)将各环节的转角频率由低到高依次标于横轴上：=1,=2。2(3)绘制低频渐近线。I型系统；斜率为-20dB/dec

的直线；

=1处的幅值为20lg100=40(dB)。-20dB/dec(4)由低频到高频顺序绘出对数幅频特性渐近线。在低频渐近线的基础上，每遇到一个环节的转折频率,根据该环节的性质作一次斜率变化，直至最后一个环节完成为止。-40dB/dec-20dB/dec>1:[-20][-40]>2:[-40][-20]28c(5)幅值穿越频率c?现在是71页\一共有135页\编辑于星期四画开环传递函数的相频bode图-108.4-95.592023/4/21现在是72页\一共有135页\编辑于星期四例5.3.2系统的开环传递函数为

绘制Bode图。解：(1)频率特性(3)转折频率：=2,10现在是73页\一共有135页\编辑于星期四0.1121020()-92.86-110.85-123.69-123.69-110.85-90现在是74页\一共有135页\编辑于星期四0.112103010002040-20-90L(ω)/dBω[-20][-40]14[-40]-2620-14[-20]-100-110-120(ω)/现在是75页\一共有135页\编辑于星期四例：绘制开环对数幅频渐近特性曲线低频段(<0.5)：转折频率：0.5230斜率：-40-20-40时为38db时为52db解：开环传递函数为现在是76页\一共有135页\编辑于星期四0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL(ω)ω[-20][-40][-20][-40]低频段：时为38db转折频率：0.5230斜率：-40-20-40时为52db

L()曲线38db14db-6db现在是77页\一共有135页\编辑于星期四例5.3.4：绘制开环系统的对数频率曲线。解：对数幅频：低频段：-20dB/dec,=1时，20lgK=20lg20=26dB对数相频：相频特性的画法为：起点，终点，转折点。 环节角度：

转折频率：1510斜率：-400-40现在是78页\一共有135页\编辑于星期四1101000.10db20db40db-20db-40dbL(ω)/dBω5-90-180对数幅频：低频段：-20dB/dec,20lgK=26dB

转折频率：1510

斜率：-400-40修正值：

-114.7-93.7-137.5[-20]26db46db8.14db[-40][-40]-14db现在是79页\一共有135页\编辑于星期四画开环系统Bode图的步骤：(1)写出开环频率特性的时间常数表达式，把其所含各环节的转折频率由小到大依次标注在频率轴上。(2)确定各转折频率前后分段直线的斜率：低频段（<min)的斜率为-20dB/dec（为积分环节数）。同时利用在=1处，L()=20lgK确定低频渐近线的位置。沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率，取决于对应的典型环节的种类（p.203表5-2）。高频渐近线（分段直线最后一段）的斜率为-20(n-m)dB/dec，其中n、m分别为开环传递函数G(s)H(s)的极点数和零点数。(3)作出分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按照各典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正，就可得到实际的对数幅频特性曲线。如对二阶振荡环节，标出Mr值。(4)作相频特性曲线，根据开环相频特性的表达式，在低频、中频和高频区域各选择若干个频率进行计算，然后连成曲线。现在是80页\一共有135页\编辑于星期四由Bode图确定传递函数1、系统的类型与Bode图低频渐近线斜率的对应关系1）0型系统0型系统对数幅频特性低频渐近线为一条20lgKdB的水平线。2）I型系统

低频渐近线斜率为-20dB/dec开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点的频率值。

低频渐近线（或延长线）在ω=1处的相交坐标值为20lgK。现在是81页\一共有135页\编辑于星期四3）Ⅱ型系统

低频渐近线的斜率为-40dB/dec。

低频渐近线（或延长线）在ω=1处的坐标值为20lgK。

开环增益K在数值上等于低频渐近线（或延长线）与0dB线相交点频率值的平方。现在是82页\一共有135页\编辑于星期四例5.3.5某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。2、举例28现在是83页\一共有135页\编辑于星期四例5.3.5某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图所示，确定该系统的传递函数。现在是84页\一共有135页\编辑于星期四作业：p.238:5-11；5-12现在是85页\一共有135页\编辑于星期四5.3.4最小相位系统和非最小相位系统

“最小相位”这一概念来源于网络理论。它是指具有相同幅频特性的一些环节,其中相角位移有最小可能值的,称为最小相位环节;反之,其中相角位移大于最小可能值的环节称为非最小相位环节。1.基本概念（1）如果系统传递函数在右半S平面上没有极点和零点，则称该系统为最小相位系统（由除延迟环节之外的典型环节组成），如（2）系统传递函数在右半s平面上有一个(或多个)零点或极点，称为非最小相位系统；

现在是86页\一共有135页\编辑于星期四

显然G1（s）属于最小相位系统。这两个系统幅值相同，具有同一个幅频特性，但它们却有着不同的相频特性。下面以一个简单例子来说明最小相位系统的慨念。现在是87页\一共有135页\编辑于星期四1()=arctan-arctanT2()=-arctan-arctanTG1(s)具有较小的相位变化范围(0°,-90°),为最小相位环节；而G2(s)为非最小相位环节，相位变化范围较大(0°，-180°)现在是88页\一共有135页\编辑于星期四2、性质☆

(1)最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性是一一对应的。也就是说，对于最小相位系统，一条对数幅频特性只有一条对数相频特性与之对应，知道其对数幅频特性，也就知道其对数相频特性。因此，利用Bode图对最小相位系统进行分析时，往往只分析其对数幅频特性L()。(2)最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L()的斜率减小（或增大），则()的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内,对数幅频特性L()的斜率保持不变,则在这些范围内,相位也几乎保持不变。现在是89页\一共有135页\编辑于星期四5.4奈奎斯特稳定判据现在是90页\一共有135页\编辑于星期四

除劳斯判据外，分析系统稳定性的另一种常用判据为奈奎斯特(Nyquist)判据。Nyquist稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，是频率法的重要内容，简称奈氏判据。奈氏判据的主要特点有1.根据系统的开环频率特性，来研究闭环系统稳定性，而不必求闭环特征根；2.能够确定系统的稳定程度（相对稳定性）。3.可用于分析系统的瞬态性能，利于对系统的分析与设计；4.基于系统的开环奈氏图，是一种图解法。

现在是91页\一共有135页\编辑于星期四一、

简化奈奎斯特稳定判据

1.绘制由0变到+

时的开环幅相频率特性G(j)

由0变到+

时的开环幅相频率特性G(j)顺时针包围(-1,j0)点的圈数为N，已知系统开环右极点数为P

，则系统闭环右极点个数为Z

（不包括虚轴上的极点）：

Z=P+2N

当Nyquist曲线G(jω)通过(-l,j0)点时,表明在s平面虚轴上有闭环极点，系统处于临界稳定状态，属于不稳定。现在是92页\一共有135页\编辑于星期四2.采用穿越的概念简化复杂曲线包围次数的计算由0变到+

时开环频率特性曲线要形成对(-1,j0)点的一次包围，势必穿越（-∞，-1）区间一次。开环频率特性曲线逆时针穿越（-∞，-1）区间时，随ω增加，频率特性的相角值增大，称为一次正穿越N’+。开环频率特性曲线顺时针穿越（-∞，-1）区间时，随ω增加，频率特性的相角值减小，则称为一次负穿越N’-。由0变到+

时的开环幅相频率特性G(j)对(-1,j0)点的总包围次数为N=N’--

N’+

Z=P+2(N’--

N’+

)利用正、负穿越情况的奈奎斯特稳定判据叙述为：现在是93页\一共有135页\编辑于星期四3.半次穿越

奈氏曲线始于或止于(-1,j0)点以左负实轴，称为一个半次穿越。由于曲线始于(-3，j0)点，故顺时针包围(-1，j0)的次数为1/2，N’-=1/2。开环右极点数为P=0，故

Z=P+2(

N’--0)

=P+2N’-=1闭环系统有一个右极点，闭环不稳定。例某系统开环传递函数如下，试判断闭环系统的稳定性。现在是94页\一共有135页\编辑于星期四例5.4.2经实验测得某最小相位系统的开环奈氏图如图所示，判断闭环稳定性。由图可以看出,当由0变到+时,G(j)矢量在(-1,j0)点以左负实轴上正负穿越次数各一次。

Z=P+2（N’-

-N’+

）

=0。

故由奈氏稳定判据知该闭环系统是稳定的。

由于为最小相位系统，开环右极点数P=0，且为0型系统，故直接利用开环频率特性G(j)的轨迹判断稳定性。现在是95页\一共有135页\编辑于星期四4.型别v≥1系统开环频率特性G(j)曲线的处理原有曲线的起点对应于=0+。在=0附近,幅相特性以为半径,逆时针补画=v·90°的圆弧，添加圆弧后相当于得到新的开环频率特性G(j)曲线。系统在虚轴上的0值开环极点作左极点处理。

Z=P+2（N’--

N’+

）开环系统型别过高会影响稳定性.而串联比例微分调节器可以改善系统的稳定性，起到校正的作用，但要选择合适的参数。现在是96页\一共有135页\编辑于星期四例5.4.3判断图示系统的闭环稳定性b图所示系统为一Ⅰ型二阶系统，该系统为非最小相位系统，P=1，在=0附近,曲线以为半径,逆时针补画=1·90°=90°的圆弧与负实轴相交。由0变到+

时，顺时针包围（-1，j0）点半次，有N’-=1/2。则Z=P+2N’-=2，闭环系统有两个右极点，系统不稳定。Z=P+2（N’--

N’+

）现在是97页\一共有135页\编辑于星期四例5.4.4系统的开环传递函数为画出开环系统的奈氏图，并用奈氏稳定判据判断系统稳定性开环系统存在一阶微分环节，奈氏图穿越负实轴。开环系统稳定，但闭环系统不稳定，有2个极点在[s]平面的右半平面。现在是98页\一共有135页\编辑于星期四二、

奈奎斯特稳定判据在伯德图上的应用

由于系统开环对数频率特性曲线的绘制较奈奎斯特曲线更为简单、方便，自然使用伯德图来进行系统稳定性判别就更适用。该判据不但可以回答系统稳定与否的问题，还可以研究系统的稳定裕量（相对稳定性），以及研究系统结构和参数对系统稳定性的影响。现在是99页\一共有135页\编辑于星期四（1）在G(j)平面上,|G(j)|=1的单位圆,对应于对数幅频特性的0dB线;

单位圆外部如(-,-1)区段，对应L()>0dB，单位圆内部对应L()<0dB。

（2）从对数相频特性来看,G(j)平面上的负实轴,对应于对数相频特性上的()=-180°。（3）(-1,j0)点的向量表达式为1∠-180°，对应于波德图上穿过0dB线，并同时穿过()=-180°的点。二、

奈奎斯特稳定判据在伯德图上的应用

1、奈氏图与伯德图的对应关系现在是100页\一共有135页\编辑于星期四2、穿越在波德图上的含义（1）穿越：在L()>0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180°；在L()<0dB的频率范围内，相频特性曲线穿过-180°不是穿越。（2）正穿越N+ˊ：产生正的相位移，这时，相频特性应由下部向上穿越-180°线。（3）负穿越N-ˊ：产生负的相位移,这时,相频特性应由上部向下穿越-180°线。正、负穿越的定义和前面的定义实际上是一致的。正穿越负穿越-270-90现在是101页\一共有135页\编辑于星期四3、对数幅频特性曲线的奈氏判据根据上述对应关系，结合使用正、负穿越情况的稳定判据，在伯德图上使用奈奎斯特稳定判据时，就是在L()>0dB的频率范围内，根据相频曲线穿越-180º的相位线的次数对系统稳定性做出判定。可将对数频率特性判断闭环系统稳定性的奈氏稳定判据表述如下:

设开环传递函数在右半s平面上的极点数为P，则L()>0dB的频率范围内，当频率增加时对数相频特性曲线对-180º的相位线的正、负穿越次数为N’+与N’-

，闭环右极点个数为

Z=P+2（N’--N’+）

现在是102页\一共有135页\编辑于星期四[例6]设系统的开环传递函数如下，系统开环对数频率特性曲线如图所示，试判别闭环系统的稳定性。

解：由系统开环传递函数可知，开环系统是稳定的，即P=0，在L()>0dB的频率范围内，相频特性曲线()不穿越-180º的相位线，即正、负穿越次数差为0，由Z=P+2N´可知，Z=0，故闭环系统稳定。

现在是103页\一共有135页\编辑于星期四

对于型别v≥1（v为系统开环传递函数在原点处的极点数）的系统，应将Bode图对数相频特性在ω→0处附加一段自上而下的、变化范围为-v·90°的曲线与相频特性曲线在ω→0处相连。相频特性经过处理后，再使用上述稳定性判据。现在是104页\一共有135页\编辑于星期四作业：p.2385-14(不交）；p.2395-16；p.2405-17现在是105页\一共有135页\编辑于星期四5.5控制系统的相对稳定性

（计算系统稳定裕度：

相角裕量和幅值裕量hg）

现在是106页\一共有135页\编辑于星期四一、相位裕量γ,

幅值穿越频率ωc相角裕量γ:使系统达到临界稳定需要增加的相角:

γ=(c)-

(-180º)=(c)+180º稳定系统：γ>0,γ越大,系统相对稳定性越高。

相位裕度是设计控制系统时的一个重要依据，描述系统的阻尼程度。幅值穿越频率(或截止频率)ωc:G(j)曲线与单位圆(0dB线)交接处的频率；现在是107页\一共有135页\编辑于星期四二、

幅值裕量hg，

相位穿越频率ωg幅值裕量hg：Nyquist曲线与负实轴交点处幅值的倒数稳定系统：hg>1,Lh(dB)>0,hg越大，相对稳定性越高。相位穿越频率(相位交接频率)ωg：G(j)曲线曲线与负实轴(-180o线)交接处的频率。现在是108页\一共有135页\编辑于星期四三、系统的稳定裕量仅用相位裕量或幅值裕量都不足以充分说明系统的稳定性。对于非最小相位系统，只有当γ、Lh均为正时，系统才是稳定的。对最小相位系统，有时仅需两者之一即可，一般取γ。为了确保系统的相对稳定性，使系统具有满意的性能，γ、Lh都应该有合适的取值。从控制工程实践得出，系统应具有30~60的相位裕量，幅值裕量大于6dB（即hg>2）。要求相位裕量应在30~60之间,意味着开环对数幅频特性在穿越频率c上的斜率必须小于-40dB/十倍频,通常取-20dB/dec，且具有一定的宽度。适当的相位裕量和幅值裕量,可以防止系统中元件的参数和特性在工作过程中的变化对系统稳定性产生不良的影响，并可以提高系统抗高频干扰的能力。现在是109页\一共有135页\编辑于星期四例：系统开环传函为分别画出K=5、20系统的Bode图，并求幅值裕度hg，相位裕度。K=5：=12o，L(h)=6dBK=20：

=-12o，L(h)=-6dB解：(1)作出bode图；（2）由图读相应的数据(3)计算法：现在是110页\一共有135页\编辑于星期四例5.5.2典型二阶系统如图所示：试确定其相角裕度。R(s)C(s)_截止频率c相角裕度截止频率c是n的增函数和的减函数相角裕度只与阻尼比有关，且为的增函数现在是111页\一共有135页\编辑于星期四现在是112页\一共有135页\编辑于星期四现在是113页\一共有135页\编辑于星期四现在是114页\一共有135页\编辑于星期四作业：p.2405-21,5-22,5-23现在是115页\一共有135页\编辑于星期四5.6利用开环频率特性

分析系统的性能现在是116页\一共有135页\编辑于星期四

幅值穿越频率c与相位穿越频率g，相位裕量与幅值裕量hg都是控制系统的开环频域指标，频域指标是表征系统动态性能的间接指标。由于时域指标（稳态误差ess、最大超调量σ%、调节时间ts等）反映系统性能更为直接、正确。因此需要探讨开环频域指标与时域指标之间的关系，以便于由开环频域指标分析闭环系统的性能。

对于最小相位系统来说，对数幅频特性与对数相频特性存在着一一对应的关系，反映系统的结构与参数，能够据此推出系统的传递函数。因此，根据系统的开环对数幅频特性L()，就能了解系统的静态和动态性能。

本节介绍开环对数幅频特性L()的形状与系统性能的关系，并研究频域指标与时域指标的关系，以及根据频域指标估算系统的时域响应性能的方法。现在是117页\一共有135页\编辑于星期四一、开环对数幅频特性L()中频段

与系统动态性能的关系

由开环频率特性来研究系统的动态性能,一般是用对数幅频特性的幅值穿越频率c和相位裕量这两个特征量，这两个特征量都与系统中频段的形状有关。开环对数幅频特性L()的中频段是指L()曲线在幅值穿越频率c附近的区段，在波德图一般是L()从大约+30dB过渡到约-15dB的范围内。下面以一例题来说明系统开环波德图中频段形状与系统稳定性之间的关系。现在是11