2022湖南省长沙市高三上学期新高考1月适应性考试数学试题（解析版）

2022届湖南省长沙市高三上学期新高考1月适应性考试数学试题一、单选题1．若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】，，因此，.故选：A.2．已知i为虚数单位，若复数z=，则=（）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】运用复数除法的运算法化简复数，进而可得，再根据复数模的计算公式，即得.【详解】因为，∴所以.故选：B.3．若数列{an}的前n项和为，则“”是“数列{an}为等差数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由的关系，结合可求的通项，再根据充分条件、必要条件的定义即得.【详解】∵，则，当，，∴，即从第二项起为等差数列；当时，则，数列{an}为等差数列，当数列{an}为等差数列，则，即.故“”是“数列{an}为等差数列”的充要条件.故选：C.4．函数在上的图象大致为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设，由排除A选项，再分析该函数的奇偶性及其在的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】设，因为，排除A选项，，即函数为奇函数，排除C选项，当时，，，此时，排除D选项.故选：B.5．已知sin，则（）A． B． C． D．±【答案】C【分析】利用诱导公式即得.【详解】∵sin，∴.故选：C.6．若双曲线与直线有交点，则其离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，让它的斜率比的斜率大，找到的关系，再求离心率的范围.【详解】双曲线的焦点在轴，一条渐近线方程为，这条渐近线比直线的斜率大，即，．故选：C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、求离心率范围的问题.7．已知m，n，s，t为正数，，，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，点M(m,n)是曲线的一条弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为（）A．x－4y＋6=0 B．4x－y－6=0C．4x＋y－10=0 D．【答案】D【分析】由已知求出取得最小值时满足的条件，再结合求出，再用点差法求出直线的斜率，从而得直线方程．【详解】∵，当且仅当，即取等号，∴，又，又为正数，∴可解得．设弦两端点分别为，则，两式相减得，∵，∴．∴直线方程为，即．故选：D．8．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得，然后结合欧拉线、向量运算的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】是三角形的重心，所以，，A错误.根据欧拉线的知识可知，B选项正确.，所以C选项正确.，所以D选项正确.故选：A二、多选题9．若，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性质，结合特值法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A：，即，显然成立，故正确；B：因为，不妨取，故可得，故错误；C：，即，又，故可得，又，则，故正确；D：因为，不妨取，故，故错误.故选：.10．下列选项正确的是（）A．若，则B．若二项式的展开式中二项式系数之和为，则展开式中常数项是第项C．若，，则：∀，D．设随机变量，若，则【答案】BC【分析】根据二项式定理，以及二项式展开式的通项公式，以及命题的否定的求解，以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析即可判断和选择.【详解】A：当时，，故错误；B：二项式的展开式中二项式系数之和为，即，解得；故二项式的的展开式的通项公式为，当时，也即二项式展开式的第项是常数项，故正确；：，，则：，，故正确；：随机变量，若，则，解得，故错误.故选：.11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为棱A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的是（）A．CM与PN是异面直线B．C．过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形D．平面PAN⊥平面BDD1B1【答案】BD【分析】连接，因为点，平面可得平面，因为点，平面可得平面可判断A；以为原点，所在的直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，设，求出，，配方后可判断B；取的中点，可得四边形是梯形，由，可判断C；由线面垂直的判断定理可得底面，再由面面垂直的判断定理可判断D.【详解】如上图，连接，因为点，平面，所以点在平面，即平面，因为点，平面，所以点在平面，即平面，即不是异面直线，故A错误；如上图，以为原点，所在的直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，所以，，，，所以，因为，所以，即，故B正确；如上图，取的中点，连接，则，，所以四边形是梯形，因为，所以，所以此时四边形是等腰梯形，故C错误；如上图，因为底面是正方形，所以，因为底面，所以，因为，所以平面，且平面，所以平面平面，即平面平面，故D正确.故选：BD.12．若存在，则称为二元函数在点处对x的偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为.若二元函数，则下列结论正确的是（）A．B．C．的最小值为D．的最小值为【答案】ABC【分析】根据偏导数的定义进行分析计算，，可判断AB；，的最小值为，由于，构造函数（），利用导数可求出的最小值可判断CD.【详解】因为（，），所以，则，故A选项正确；又，所以，故B选项正确；因为，所以当时，取得最小值，且最小值为，故C选项错误；，令（），，当时，，当时，，故，从而当时，取得最小值，且最小值为，故D选项正确.故选：ABC.三、填空题13．函数的图象在点处的切线方程为___________.【答案】【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点，运用点斜式写出直线方程，即可得到所求切线的方程．【详解】∵的导数为，∴，可得在点处的切线斜率为，又，所以切点为，则在点处的切线方程为，即为．故答案为：．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据列（个数x，加工时间y）为：.若用最小二乘法求得其回归直线方程为=0.67x54.9，则的值为___________.【答案】68【分析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线方程，即可求得参数.【详解】根据题意，可得：，.又回归直线方程经过样本中心点，故可得，解得.故答案为：.15．已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，如果A与B互斥，令；如果A与B相互独立，令，则___________.【答案】0.425【分析】利用互斥事件的概念及独立事件概率公式即得.【详解】∵A与B互斥，∴,∵A与B相互独立，∴，∴.故答案为：.16．已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.【答案】[0，1]【分析】可根据已知条件，构造函数，通过分类讨论得到的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.【详解】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，当时，，函数图象恒过；当时，；当时，；要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴，即；当时，的对称轴，即；且,综上故答案为：[0，1].四、解答题17．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c=2，2bcosB=ccosA＋acosC，且△ABC的面积S=，求b.【答案】【分析】由正弦定理可得2sinBcosB=sinB，从而得出角，由面积公式求出,再由余弦定理可得答案.【详解】解：由2bcosB=ccosA＋acosC，根据正弦定理，有2sinBcosB=sinCcosA＋sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A＋C）=sinB.由B∈（0，π），sinB≠0，所以cosB=，故.由ABC的面积S=acsinB=×a×，解得.根据余弦定理，得b2=a2＋c2-2accosB=4＋2＋4×2×=6，故b=.18．已知数列{an}满足a1=1，an＋1=2an＋1（n∈N）.(1)求证：数列{an＋1}是等比数列；(2)设bn=（2n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.【答案】(1)证明见解析(2)Tn=（2n-3）·2n＋1＋6-n2（n∈N）【分析】（1）可在已知式子两边同时加上1，构造等比数列，然后利用等比数列的定义即可完成证明；（2）可通过第（1）问构造出的等比数列，求解出an通项公式，然后分别使用错位相减、等差数列求和求解出各自的前n项和，然后合并在一起即可.(1)证明：依题意，由an＋1=2an＋1，可得an＋1＋1=2（an＋1），即，又∴数列{an＋1}是以2为公比的等比数列.(2)解：由（1）得an＋1=（a1＋1）·2n-1，又a1=1，∴an=2n-1（n∈N），∴bn=（2n-1）an=（2n-1）·（2n-1）=（2n-1）·2n-（2n-1）（n∈N）.构造数列{dn}：令dn=（2n-1）·2n，则bn=dn-（2n-1）（n∈N）.设数列{dn}的前n项和为Sn，则Sn=d1＋d2＋…＋dn=1·21＋3·22＋5·23＋…＋（2n-1）·2n，2Sn=1·22＋3·23＋…＋（2n-1）·2n＋1，两式相减，可得-Sn=1·21＋2·22＋2·23＋…＋2·2n-（2n-1）·2n＋1=2＋23＋24＋…＋2n＋1-（2n-1）·2n＋1=2＋-（2n-1）·2n＋1=（3-2n）·2n＋1-6，∴Sn=（2n-3）·2n＋1＋6（n∈N），∴Tn=b1＋b2＋…＋bn=（d1-1）＋（d2-3）＋…＋[dn-（2n-1）]=（d1＋d2＋…＋dn）-[1＋3＋…＋（2n-1）]=Sn-=（2n-3）·2n＋1＋6-n2.∴Tn=（2n-3）·2n＋1＋6-n2.（n∈N）.19．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为矩形，若平面BCC1B1⊥平面ABB1A1，平面BCC1B1⊥平面ABC1.(1)求证：AB⊥BB1；(2)记平面ABC1与平面A1B1C1所成角为α，直线AC1与平面BCC1B1所成角为β，异面直线AC1与BC所成角为φ，当α，β满足cosα·cosβ=m（0＜m＜1，m为常数）时，求sinφ的值.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）构造辅助线，通过证明AB⊥平面BCC1B1，即可由线面垂直推证线线垂直；（2）根据（1）中所证，建立空间直角坐标系，通过二面角以及线面角的向量求解方法，即可求得结果.(1)证明：∵BCC1B1是矩形，∴BC⊥BB1.又平面ABB1A1⊥平面BCC1B1，平面ABB1A1∩平面BCC1B1=BB1，∴BC⊥平面ABB1A1，平面，∴AB⊥BC.过点C作CO⊥BC1，∵平面BCC1B1⊥平面ABC1，平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1，CO⊂平面BCC1B1，∴CO⊥平面ABC1.又AB⊂平面ABC1，∴AB⊥CO.∵AB⊥BC，CO∩BC=C，平面，∴AB⊥平面BCC1B1，又BB1⊂平面BCC1B1，∴AB⊥BB1.(2)由棱柱知AB∥A1B1，又AB⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1.以B1为原点，B1A1，B1B，B1C1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如下所示，不妨设B1A1=a，B1B=b，B1C1=c，则=，=，设=为平面ABC1的法向量，则∴x1=0.令y1=c，则z1=b，∴=.取平面A1B1C1的一个法向量=，∴cosα=|cos〈，〉|=，取平面BCC1B1的一个法向量=，由=，∴sinβ=|cos〈，〉|=，∴cosβ=，则cosαcosβ=，|cos〈，〉|=cosφ=，∴cosφ=cosαcosβ.∵cosαcosβ=m且m，φ∈，∴sinφ=，故sinφ=为所求.20．2022年电商即将开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：（年龄单位：岁）年龄段[10，20）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]频率0.10.320.280.220.050.03使用网上购物人数828241221(1)若以40岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数不使用网上购物人数总计(2)若从年龄在[50，60），[60，70]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.参考公式和数据：K2=，其中n=a＋b＋c＋d.P（K2≥k0）0.0250.0100.0050.001k03.8416.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关(2)分布列见解析，【分析】（1）由已知条件和统计表中的数据填写列联表，然后根据公式K2=计算K2，再由临界值表得到结论，（2）由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，再计算出相应的概率，从而可得分布列和期望(1)由统计表可得，年龄低于40岁的人数为70，不低于40岁的人数为30，可得列联表如下.年龄低于40岁年龄不低于40岁总计使用网上购物人数601575不使用网上购物人数101525总计7030100于是有K2的观测值K2=≈14.286>10.828，故可以在犯错的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关.(2)由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=P（X=3）=，于是X的分布列为X0123P所以E（X）=.21．已知离心率为的椭圆C1：(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的一点，△PF1F2的周长为6，且F1为抛物线C2：的焦点.(1)求椭圆C1与抛物线C2的方程；(2)过椭圆C1的左顶点Q的直线l交抛物线C2于A，B两点，点O为原点，射线OA，OB分别交椭圆于C，D两点，△OCD的面积为S1，△OAB的面积为S2.则是否存在直线l使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)，；(2)存在，或.【分析】（1）由