2022江西省新余市高三上学期期末数学（文）试题（解析版）

2022届江西省新余市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据集合的补集、交集运算求解即可.【详解】,,故选：D2．在复平面内，复数Z和（为虚数单位）表示的点关于虚轴对称，则复数（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的四则运算化简复数，即可得到答案；【详解】，，故选：B3．根据新余市气象局数据，本市三个月份在连续五年内的降雨天数如下表，则下列说法错误的是（

）年份20172018201920202021降雨天数3437434546A．降雨天数逐年递增B．五年内三个月份平均降雨天数为41天C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小D．五年内降雨天数的方差为22【答案】C【分析】根据表中的数据逐个分析判断即可【详解】对于A，由表中的数可知，降雨天数逐年递增，所以A正确，对于B，五年内三个月份平均降雨天数为天，所以B正确，对于C，因为，所以降雨天数的增加量在刚开始的三年内变大，所以C错误，对于D，，所以D正确，故选：C4．已知，，，则，，三者之间的关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据指数函数的单调性，对数函数的单调性与0,1比较即可求解.【详解】，，，故选：B5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由等比数列的通项公式和前n项和公式，用首项表示，，，即可得出结果.【详解】由题意知a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而，所以，故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式，考查了运算求解能力，属于基础题目.6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆M与圆的位置关系是（

）A．内含 B．相交 C．外切 D．外离【答案】B【分析】根据圆的弦长求出的值，再根据圆心距与两圆的半径之和大小关系比较，即可得到答案；【详解】圆：的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，，圆的圆心为，半径为1，，两圆相交，故选：B7．下列四个结论中，正确结论的个数是（

）①若是真命题，则一定是假命题；②命题“”的否定是“”；③“”是“”成立的充要条件；④（且）的最小值为2．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据且命题的真假性可判断出①，根据特称命题的否定可判断②，结合指数函数和对数函数的知识可判断③，利用基本不等式可判断出④【详解】是真命题，则均为真，一定是假命题，故①正确；命题“”的否定是“，故②错误；由得，由得，所以“”是“”成立的必要不充分条件，故③错误；当时，当且仅当时，取等号，当时，，此时y有最大值，故④错误.所以正确结论的个数是1故选：B8．已知，则当时，的图像不可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过图象可得函数的奇偶性，结合函数值的正负，即可得到答案；【详解】令，定义域为关于原点对称，，为奇函数，令，对A，B，为偶函数，为奇函数，或，故A，B有可能成立；对C，D，为奇函数，为偶函数，，，当时，，故C不可能，故选：C9．已知一个空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则其表面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据三视图还原原几何体可知，原几何体为半个三棱锥，即可解出．【详解】由三视图还原原几何体可知，原几何体为半个三棱锥，，解得，所以其表面积为．故选：D．10．在条件下，目标函数的最大值为40，则的最小值是A． B． C． D．2【答案】B【解析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最值点，再利用均值不等式得到答案.【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当时，有最大值为，即，故..当，即时等号成立.故选：.【点睛】本题考查了线性规划中根据最值求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.11．如图，三棱锥的四个面都为直角三角形，平面，三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，现在球O内任取一点，则该点取自三棱锥内的概率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得三棱锥的外接球O的半径，以几何概型即可解决.【详解】三棱锥中，平面，则，直角三角形中，，则又，，则平面，则则线段中点为三棱锥的外接球的球心，又由，可得，则三棱锥的外接球的半径为1故在球O内任取一点，该点取自三棱锥内的概率为故选：D12．已知函数，若的解集中恰有一个整数，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，转化为，令，用导数法作出其图象，的解集中恰有一个整数，再由过定点（0，1）求解.【详解】，即，即，因为，所以．令，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．画出的大致图象，如图所示．当直线与图象相切时，设切点为，则，解得，故．当直线过点时，，故的取值范围为．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．二、填空题13．已知函数为奇函数，，若当时，，则______．【答案】【分析】由可求得；利用可知周期为，由周期可得，进而求得结果.【详解】为奇函数，，解得：；，是周期为的周期函数，.故答案为：.14．已知点是角的终边上的两点，若，则的值为________．【答案】【分析】列方程组解得参数后，即可求得角的正弦值和余弦值，代入即可解决.【详解】由点是角的终边上的两点，可得，解之得，则有，故，则故答案为：15．已知椭圆为C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且的内心，若的面积为，则椭圆的离心率e为_______．【答案】0.6【分析】设延长线交轴于点，作轴于，由内角平分线定理得，再由三角形面积求得点纵坐标，把与的纵坐标联系起来可得结论．【详解】如图，设延长线交轴于点，作轴于，不妨设在第一象限，，，是内心，则，所以，，，．故答案为：．16．如果函数在区间上和区间上都是减函数，且在上也是减函数，则称是上的间减函数，如是上的间减函数．是即上的间减函数，是上的间减函数，不是上的间减函数，不是上的间减函数．以下四个函数中：①，②，③，④．其中是间减函数的是______（写出所有正确答案的序号）．【答案】①③【分析】根据间减函数的定义逐一判断可得答案．【详解】对于①：是在R上的间减函数；对于②：在上是减函数，在上是减函数，但在不是减函数，所以在R上不是间减函数；对于③：在上是减函数，在上是减函数，并且在上是减函数，所以在上是间减函数；对于④：在上是减函数，但在是增函数，所以在R上不是间减函数，所以是间减函数的是①③，故答案为：①③．【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于抓住函数的定义，把握住间减函数的实质，结合函数的单调性得以解决问题．三、解答题17．已知向量，，.(1)求函数的最小正周期及取得最大值时对应的的值；(2)在锐角三角形中，角、、的对边为、、，若，，求三角形面积的最大值并说明此时该三角形的形状.【答案】(1)；当时，最大值为(2)，等边三角形【分析】（1）先利用诱导公式化简的坐标，再利用平面向量的数量积、二倍角公式及辅助角公式化简表达式，再利用三角函数的性质进行求解；（2）先利用求出角，再利用余弦公式、基本不等式和三角形的面积公式进行求解.(1)由已知可得：，，所以，所以的最小正周期为，当即时，取得最大值.(2)在锐角三角形中，由（1）得，所以，所以，因为为锐角，所以，在中，由余弦定理知：，所以，当且仅当时等号成立，所以，当三角形为等边三角形时面积取得最大值为.18．第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．(1)求的值；(2)根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分；(3)在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同组的概率．【答案】(1)，(2)78分(3)【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；（2）由频率分布直方图得和的频率分别为0.2和0.05，故录取分数应落在第四组，不妨设录取分为，则求解即可；（3）根据分层抽样，在和中分别选取4人和1人，列举出这5人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同组的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可.(1)由题意可知：，，解得，；(2)由频率分布直方图得和的频率分别为0.2和0.05，故录取分数应落在第四组，不妨设录取分为，则解得；故被录取至少需要78分.(3)根据分层抽样，和的频率比为故在和中分别选取4人和1人，分别设为和则在这5人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有共10个，

即，记事件“两人来自同组”，则事件包含的样本点有共6个，即，

所以.19．如图，长方体中，已知．(1)求证：平面平面；(2)在上是否存在一点M，使平面？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)在上存在点【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明出平面，再用面面垂直的判定定理即可证明；（2）假设在上存在点M，使平面，证明出．在矩形中由利用线段的比例关系即可求出.(1)长方体中，平面．又平面，又平面为正方形．．又平面，且，平面．又平面，平面平面(2)假设在上存在点M，使平面．设，连接交于点O．平面．又长方体中，平面．又平面．又平面，且平面．平面．四边形为矩形，．．在上存在点20．设抛物线：（）的焦点为，点（）在抛物线上，且满足．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于，两点，分别以，为切点的抛物线的两条切线交于点，求三角形周长的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由抛物线定义可得求p，写出抛物线方程即可；（2）设，，直线的方程为，联立抛物线方程应用韦达定理得，，设，处的切线斜率分别为，，可得，处的切线方程，联立求坐标，即知在定直线上，应用将军饮马模型，即可求三角形周长的最小值．【详解】（1）由抛物线定义，得，得，∴抛物线的标准方程为；（2）设，，直线的方程为，∴联立，消掉，得，，∴，，设，处的切线斜率分别为，，则，，∴在点的切线方程为，即①，同理，在的切线方程为②，由①②得：，代入①或②中可得：，∴，即在定直线上，设点关于直线的对称点为，则，由（1）知，∵，即三点共线时等号成立，∴三角形周长最小值为．【点睛】关键点点睛：第二问，设交点及直线方程，联立抛物线结合韦达定理求，，再设切线方程，求交点坐标并可确定其在定直线上，应用将军饮马模型求三角形周长的最小值.21．已知函数，其中．（1）讨论的单调性；（2）若有两个极值点，证明．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）求出导函数，结合二次方程的根的情况分类讨论得的正负，从而得单调性；（2）由（1）可得，当时，有两个极值点，且，，计算转化为的函数，再引入新函数求最值得证得不等式成立．【详解】解：（1）由题得，其中，考察，，其中对称轴为，．若，则，此时，则，所以在上单调递增；若，则，此时在上有两个根，即，．且，所以当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减；当时，，则，单调递增，综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增．在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：由（1）知，当时，有两个极值点，且，，所以．令，，由于，故在上单调递增，所以．所以，即．【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，证明与极值点有关的不等式，解题关键是确定极值点的性质，化简二元函数为关于的一元函数，然后再利用函数的性质求解证明．22．直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数）．以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是．（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的线段长．【答案】（1），；（2）12.【分析】（1）将，代入直线的参数方程并消去参数可得极坐标方程，同样利用，可化曲线极坐标方程为直角坐标方程．（2）设直线和曲线两交点的极坐标分别为和，将代入曲线的极坐标方程，利用韦达定理求得即得．【详解】（1）将，代入参数方程得，，消去参数得，．所以直线的极坐标方程是．将，代入，得，所以，曲线的直角坐标方程为．（2）设直线和曲线两交点的极坐标分别为和．由方程组得得，．∴，，．∴．所以，直线被曲线截得的线段长是12．【点睛】方法点睛：