2022江西省南昌市高三第一次模拟测试数学（文）试题（解析版）

2022届江西省南昌市高三第一次模拟测试数学（文）试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解不等式，求出集合A和B，进而求出交集.【详解】，解得：，所以，，解得：或，故，故故选：C2．已知（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点一定在（

）A．实轴上 B．虚轴上C．第一､三象限的角平分线上 D．第二､四象限的角平分线上【答案】C【分析】设出，从而得到，即，得到复数在复平面内所对应的点在第一､三象限的角平分线上.【详解】设，则，则，即，从而，故，所以复数在复平面内所对应的点在直线上，即第一､三象限的角平分线上.故选：C3．根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（

）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．有95%的把握认为变量与独立B．有95%的把握认为变量与不独立C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【分析】根据独立性检验的概率含义可得.【详解】因为，所以变量与不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D4．数列中，，，则（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】先令，求出，再令，可求出【详解】因为数列中，，，所以令，则，即，令，则，即，故选：B5．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（

）A． B．15cm C． D．20cm【答案】B【分析】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积,水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为,列出方程即可得到答案.【详解】由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积.设玻璃球的半径为，即圆柱形玻璃杯的底面半径为则玻璃球的体积为，圆柱的底面面积为若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为所以，解得故选：B6．，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式有，注意等号成立条件，即可证充分性，特殊值法令判断必要性即可.【详解】由，注意前一个等号成立条件为，所以，则，充分性成立；当时，若，则，必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A7．已知若，则（

）A．2 B． C．1 D．0【答案】B【分析】由题意在,上分别单调递增，由条件即，从而得出，解出答案.【详解】作出函数的图像，在,上分别单调递增.由，若，即，此时，所以，即，解得或（不满足，舍去）此时满足题意，则若，此时不存在满足条件的故选：B8．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出双曲线的方程，根据离心率可得，根据题意求出点M、N的坐标，进而求得，结合三角形的面积公式化简计算即可求出a，b.【详解】设双曲线的方程为，则，由离心率为2，得，则，因为直线l过点且垂直于x轴交E于点M、N，所以点M、N的横坐标都为-c，有，解得，所以，所以，又，则，所以，故，得，所以双曲线的方程为：.故选：A9．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展.许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算.012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘.这两者的积，其实就是2的个数做一个加法.所以只需要计算.那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了.若，则落在区间（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数运算，对进行化简，从表格数据入手，得到，进而求出答案.【详解】，设，，由表格得知：，，，，所以，，所以，，则故选：B10．的内角，，所对边分别为，，，若，，的面积为，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由面积公式求出，再用余弦定理计算可得；【详解】解：因为，，的面积为，所以，所以，由余弦定理即，解得；故选：D11．已知，，分别是椭圆的左焦点､右焦点､上顶点，连接并延长交于点，若为等腰三角形，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意和椭圆的定义可得，进而求出，，利用余弦定理求出，结合列出关于a与c的方程，解方程即可.【详解】由椭圆的定义，得，由椭圆的对称性，得，设，则，又，所以，因为为等腰三角形，所以，即，得，所以，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，又，所以，即，整理，得，所以，由，得.故选：C12．已知，若，分别是方程，的根，则下列说法：①；②；③，其中正确的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由题意可得的图象关于直线对称，与的图象关于直线对称，在同一坐标系中画出3个函数的图象，可求得的范围，然后逐个分析判断即可【详解】，因为，所以，所以，且在上单调递减，，分别是方程，的根，因为与互为反函数，所以与的图象关于直线对称，由，得，画出函数，和的图象，由图可得，因为当时，，当时，，所以，所以，所以①正确，对于②，由图可得，所以，因为，所以，所以②正确，对于③，因为的图象关于直线对称，因为和互为反函数，所以与关于直线对称，所以或，化简得，所以③正确，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查数形结合的思想，解题的关键是正确画出函数图象，根据图象分析求解的范围，考查数学转化思想，属于较难题二、填空题13．已知向量，，若，则___________.【答案】-1.5【分析】求出的坐标，利用向量垂直的坐标形式可得关于的方程，从而得到的值.【详解】因为，，故，因为，故，解得.故答案为：.14．已知函数的图象与轴在原点右侧的第一个交点为，在轴右侧的第一个最高点为，则___________.【答案】【分析】先通过第一个交点和第一个最高点的横坐标确定周期，再由最高点的纵坐标求出A，最后代入点，代入求值即可.【详解】由与轴在原点右侧的第一个交点为，在轴右侧的第一个最高点为知，或，当时，，，，代入点，，又，，，；当时，，，，代入点，，又，，，.综上，故答案为：.15．在直三棱柱中，、、、、分别是、、、、的中点，给出下列四个判断：①平面；②平面；②平面；④平面，错误的序号为___________.【答案】①②④【分析】连接、、、、、、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质结合假设法可判断①②③④的正误.【详解】连接、、、、、、、，在三棱柱中，因为且，所以，四边形为平行四边形，则且，、分别为、的中点，则且，故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面，同理可证四边形为平行四边形，则，，则四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，则平面，，故平面平面，平面，则平面，③对；对于①，若平面，，则平面平面，因为过点且与平面平行的平面只有一个，矛盾，故①错，同理可知，②④均错.故答案为：①②④.16．无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则___________.【答案】【详解】根据题意给的转化方法可得，化简计算即可.由题意知，.故答案为：.三、解答题17．某公司计划招聘新员工40名，现有100名应届毕业生应聘，采用先笔试再面试相结合的方式，笔试结束后，依据笔试成绩按的比例确定入围面试名单.这100名应届毕业生笔试成绩的频率分布直方图如图所示.(1)求的值及笔试成绩的平均分；(2)根据频率分布直方图，请预估面试入围分数线（结果保留整数）.【答案】(1)，平均分为(2)113分【分析】（1）根据频率之和为1求a,据此求平均值即可（2）先计算出参加面试人数，再得频率，根据频率分布直方图利用面积为0.6求分数线即可.(1)由图知，则，所以平均分为；(2)因为面试比例为，则应有60人参加面试，故频率为0.6，设分数线为，则，解得（取整）所以预估面试入围分数线为113分.18．已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动.(1)当点运动的路程为时，求线段的长度；(2)记，，求的最大值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）通过A点运动的路程，求出的大小，再借助余弦定理求边长.（2）设出角度，分别表示和，借助倍角公式转化成二次函数的最值问题.(1)因为点运动的路程为，，所以，又，所以，，由余弦定理，所以.(2)设则，所以，，则，所以当时，取得最大值.19．如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，.(1)求的长；(2)求异面直线与所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）连接交于点，易证平面，再根据，为斜边的中点，结合，得到求解；（2）连接，过点A作的平行线交的延长线于点，然后在中，利用余弦定理求解.(1)解：如图所示：连接交于点，由题意知，平面，所以，又因为，，所以平面，则，因为，为斜边的中点，所以，则，因为，所以，则，所以；(2)如图所示：连接，因为，，为斜边，所以，因为，所以，，过点A作的平行线交的延长线于点，则，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.20．已知面积为的等边（是坐标原点）的三个顶点都在抛物线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于，两点.(1)求的值；(2)求的外接圆的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据等边的面积，可求得点的坐标，代入抛物线方程，即可求得的值；（2）首先设切线方程为，与抛物线方程联立，，求得，，得，即可求得圆心和半径.(1)因为等边的面积为，所以的边长，结合抛物线的对称性，得，所以，所以；(2)由（1）知，设切线方程为则，，由，得到，即，∴，，∴，的中点，将代入得出点，∴，∴的外接圆方程为.21．已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：为常数.【答案】(1)单调递增区间为，，的单调递减区间为(2)证明见解析【分析】（1）求导，进而利用导函数的正负，求解函数的单调区间；（2）先确定当时，设的解为，且，则，，，由单调性求出，，从而证明出结论.(1)当时，，令，可得，解得或；令，可得，解得，即的单调递增区间为，，的单调递减区间为.(2)，当时，恒成立，当时，恒成立，故均不会有两个极值点，舍去；当时，设的解为，且则，，，且当或时，；当时，，故当或时单调递增；当时，单调递减，所以，，所以，故.22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线在直角坐标系第一象限交于点，点的极坐标为，求的面积.【答案】(1)，(2)【分析】（1）消去参数，可得直线的直角坐标方程，再根据将其化为极坐标即可；对两边同时乘以，在根据即可求出曲线的普通方程；（2）由求出，将其转化为极坐标，再根据点的极坐标为，根据几何意义，利用面积公式，即可求出的面积.(1)解：由（为参数），得到，所以直线的极坐标方程为，由，得到，所以曲线的普通方程；(2)解：由，解得或，由于直线与曲