2022江苏省南通市通州区高三上学期期末数学试题（解析版）

2022届江苏省南通市通州区高三上学期期末数学试题一、单选题1．（

）A．1 B．i C．－1 D．－i【答案】C【分析】由复数的除法和复数的乘方运算计算．【详解】，所以．故选：C．2．已知集合，则(RA)∩B＝（

）A．[0，2) B．[－1，0) C．[－1，0] D．(－∞，－1)【答案】C【分析】解不等式确定集合，然后由集合的运算法则计算．【详解】或，所以或，所以，，所以．故选：C.3．若二项式的展开式中常数项为160，则a的值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】求出二项式展开式的常数项，再列式计算作答.【详解】二项式的展开式的常数项为，依题意，，解得，所以a的值为.故选：B4．甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（

）A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分B．第二名的总分可能超过18分C．第三名的总分共有3种情形D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名【答案】C【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.【详解】依题意，甲的得分情况有两种：10，10，5和10，10，3，显然3人的总得分为54分，甲得分为10，10，5时，第二名、第三名的总分之和为29分，甲得分为10，10，3时，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；甲得分为10，10，5时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，3；3，5，3；5，5，3，总分分别为9分，11分，13分，甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5，5，10；5，3，10；3，3，10，总分分别为20分，18分，16分，第三名得分对应有三种情况：3，3，5；3，5，5；5，5，5，总分分别为11分，13分，15分，选项B，D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.故选：C5．梅森素数是指形如2p－1的素数，其中p也是素数(质数)，如27－1＝127是梅森素数，211－1＝23×89不是梅森素数.长期以来，数学家们在寻找梅森素数的同时，不断提出一些关于梅森素数分布的猜测，1992年中国学者周海中提出一个关于梅森素数分布的猜想，并首次给出其分布的精确表达式，被数学界命名为“周氏猜测”.在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】不超过的素数为：，共个，其中，即个梅森素数，所以在不超过20的素数中随机抽取2个，则至少含有1个梅森素数的概率为.故选：A6．已知a＝log0.20.02，b＝log660，c＝ln6，则（

）A．c＜b＜a B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【答案】A【分析】根据对数函数的单调性判断．【详解】，，，，，易知，所以，即，所以．故选：A．7．在正三棱锥P－ABC中，D是棱PC上的点，且PD＝2DC.设PB，PC与平面ABD所成的角分别为α，β，则sinα：sinβ＝（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设点到平面的距离为，根据线面角的定义求，，由此可求.【详解】设点到平面的距离为，∵PB与平面ABD所成的角分别为α，∴，又与与平面ABD所成的角相等，∴，又PD＝2DC∴，故选：D.【点睛】8．函数y＝[x]广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其中[x]为不超过实数x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝[log2x]，则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(210＋1)＝（

）A．4097 B．4107 C．5119 D．5129【答案】B【分析】根据新函数的定义，确定的值，然后用分组求和法、错位相减法求和．【详解】由题意时，，，在上奇数共有个，，，，设，则，相减得：，所以，所以．故选：B．二、多选题9．下列命题中，正确的是（

）A．若事件与事件互斥，则事件与事件独立B．已知随机变量的方差为，则C．已知随机变量服从二项分布，若，则D．已知随机变量服从正态分布，若，则【答案】BC【分析】由事件的互斥性可知它们一定不独立来判断第一个选项，由方差和期望的运算性质可判断BC选项，由正态曲线的对称性可判断D选项.【详解】事件与事件互斥，即事件与事件不能同时发生，也就是其中一个事件的发生会干扰另一件的发生，即事件与事件一定不独立，则A选项错误；由方差的运算性质可知B选项正确；由二项分布的期望公式，，由期望的运算性质，，则，C选项正确；由正态分布曲线的性质可知，，根据对称性，，于是，D选项错误.故选：BC.10．已知点A(4，3)在以原点O为圆心的圆上，B，C为该圆上的两点，满足，则（

）A．直线BC的斜率为 B．∠AOC＝60°C．△ABC的面积为 D．B、C两点在同一象限【答案】ABD【分析】由向量相等得直线平行，线段相等，同时得出的方向，从而由斜率判断A，由四边形的形状判断B，求出三角形面积判断C，确定与的夹角的大小判断D．【详解】，则平行且相等，，A正确；而，所以是菱形，且都是正三角形，即，B正确，，，C错误，设的倾斜角为，由且，若直线在直线上方，则，，均在第二象限，若直线在直线下方，由于，，因此点在第四象限，则（取较小角），在第四象限，综上，在同一象限，D正确．故选：ABD．11．已知函数(A＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则（

）A．B．是偶函数C．当时，f(x)的最大值为1D．若，则的最小值为π【答案】AC【分析】根据图象求得，根据三角函数的奇偶性、最值等知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】由图可知，A选项正确.，，所以.为奇函数，B选项错误.，，C选项正确.，若，则，，，，，当时，取得最小值为，D选项错误.故选：AC12．已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝，其中k≠0，则（

）A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点【答案】ACD【分析】利用反函数的性质判断A；结合反函数性质，求出的与直线相切的切线的切点坐标，由切点到直线的距离可得与图象上两点间的最短距离，从而判断B；利用导数求得的最小值判断C；根据函数与的单调性及反函数的性质，确定它们的交点个数，判断D．【详解】由得，，所以是的反函数，它们的图象关于直线对称，A正确；时，，，由得，，所以函数的与直线平行的切线的切点是，到直线的距离是，所以，B错；时，，则，是增函数，，，所以在，即在上存在唯一零点，，时，，时，，即在上递减，在上递增，所以，，，所以，由对勾函数知在上是减函数，，所以，C正确；时，是减函数，也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线上，在右侧，的图象在轴上方，而的图象在处穿过轴过渡到轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近处也有一个交点，因此函数与的图象有3个交点，所以有3个零点，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查反函数的性质，导数与最值，导数的几何意义，函数的零点等知识．考查综合应用的能力．对于互为反函数的两个函数和的图象上两点间的距离的最小值问题转化为一个函数图象上的点到直线的距离的最小值，从而转化为求出与直线平行的切线的切点坐标即可得．函数的零点个数问题转化为两个函数的图象的交点个数，从而可利用反函数的函数图象的性质，结合图象的变化趋势得出结论．本题属于较难题．三、填空题13．已知单位向量满足，则＝__________.【答案】【分析】先将两边平方，求得，再根据向量的数量积的运算法则求得的值.【详解】由可知：，即，则，所以，故答案为：14．若，则α的一个可能角度值为__________.【答案】等答案较多【分析】先把化简成，解得后，解三角方程即可解决.【详解】则，故，或故答案为：等均符合题意.15．已知椭圆的上顶点与抛物线C′：x2＝2py(p＞0)的焦点F重合，P为C与C′的一个公共点.若C的离心率为，且|PF|＝2，则p＝__________.【答案】3【分析】由椭圆上顶点与抛物线焦点相同，及椭圆离心率把用表示，由焦半径公式求得点坐标，代入椭圆方程后可解得值．【详解】由题意，又，所以，又，所以，则，所以，化简得，解得（负的舍去）．故答案为：3．四、双空题16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′－BD－C，设三棱锥A′－BDC的外接球和内切球的半径分别为r1，r2，球心分别为O1，O2.若正方形ABCD的边长为1，则________；O1O2＝__________.【答案】

【分析】由题可得，然后利用等积法可得，最后利用球的性质即求.【详解】设，则，∴三棱锥A′－BDC的外接球，点即为，∵将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A′－BD－C，又，∴平面，平面，∴，，∴，，∴，解得，∴，设球与平面，平面BCD分别切于P，Q，则为正方形，∴.故答案为：，.五、解答题17．从以下3个条件中选择2个条件进行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC边的中点，且BD＝，求AC的长及△ABC的面积.【答案】，三角形的面积为【分析】结合余弦定理、三角形的面积公式求得正确答案.【详解】选①②，设，由余弦定理得，，所以，由于，所以.所以.选①③，设，由余弦定理得，所以，所以.选②③，设，在三角形中，由余弦定理得①，在三角形中，由余弦定理得②，由①②解得，所以，所以.18．已知数列的前n项和为，满足＝2，2()＝6－.(1)求数列的通项公式；(2)设的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列的通项公式；（2）求得数列的前n项和的解析式，求其最值后即可解决.(1)数列中，＝2，2()＝6－当时，2()＝6－则2()-2()＝6－－（6－），整理得当时，由2()＝6－，可得，满足综上，数列是首项为2，公比为的等比数列，(2)由（1）可知，等比数列的前n项和为当n为奇数时，，则当n为偶数时，，则综上得，数列的前n项和的最大值为2，最小值为故M－m19．如图，C，D分别是以AB为直径的半圆O上的点，满足，△PAB为等边三角形，且与半圆O所成二面角的大小为90°，E为PA的中点.(1)求证：DE//平面PBC；(2)求二面角A－BE－D的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）通过证明平面平面来证得平面.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值.(1)依题意，所以，所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，所以，所以四边形是菱形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于是的中点，是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.由于，所以平面平面，所以平面.(2)设的中点为，连接，则，由于四边形是菱形，所以，则，依题意平面平面且交线为，所以平面.连接，则，由于三角形是等边三角形，所以，由于平面平面且交线为，所以平面，则，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，平面的法向量为.，，设平面的法向量为，则，故可设.设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，所以.20．当今时代，国家之间的综合国力的竞争，在很大程度上表现为科学技术水平与创新能力的竞争.特别是进入人工智能时代后，谁掌握了核心科学技术，谁就能对竞争对手进行降维打击.我国自主研发的某种产品，其厚度越小，则该种产品越优良，为此，某科学研发团队经过较长时间的实验研发，不断地对该产品的生产技术进行改造提升，最终使该产品的优良厚度达到领先水平并获得了生产技术专利.(1)在研发过程中，对研发时间x(月)和产品的厚度y(nm)进行统计，其中1~7月的数据资料如下：x(月)1234567y(nm)99994532302421现用作为y关于x的回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并估计该产品的“理想”优良厚度约为多少?(2)某企业现有3条老旧的该产品的生产线，迫于竞争压力，决定关闭并出售生产线.现有以下两种售卖方案可供选择：①直接售卖，则每条生产线可卖5万元；②先花20万元购买技术专利并对老旧生产线进行改造，使其达到生产领先水平后再售卖.已知在改造过程中，每条生产线改造成功的概率均为，若改造成功，则每条生产线可卖20万元；若改造失败，则卖价为0万元.请判断该企业应选择哪种售卖方案更为科学?并说明理由.参考数据：设z＝，zi＝，＝0.37，＝50，＝184.5，－72＝0.55；参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝u＋中的斜率和纵截距的最小二乘法估计的计算公式为＝，＝－.【答案】(1)，13nm；(2)方案②，详见解析.【分析】（1）利用回归直线公式即求；（2）分别计算两种方案的收益，比较即得.(1)由题可得，∴，∴，∵，∴，即该产品的“理想”优良厚度约为13nm.(2)方案①，售卖收益为万元；方案②，设为3条老旧生产线改造成功的收益，的可能取值为－20,0,20,40，，，，，∴，∵，∴该企业应选择方案②更为科学.21．已知双曲线的两条渐近线方程为，直线l交C于A，B两点.(1)若线段AB的中点为，求l的方程；(2)若以线段AB为直径的圆过坐标原点O，且O到l的距离为，求C的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点差法求得直线的方程.（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，求得，从而求得的方程.(1)依题意，双曲线的渐近线方程为，