2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）2

2022届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知全集为，集合，则（）A． B．C．或 D．或【答案】A【分析】先求出集合B，再根据交集定义即可求出.【详解】因为，所以.故选：A.2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可；【详解】解：，所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限.故选：A.3．与直线垂直的直线的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线的斜率,然后根据两直线垂直斜率之间的关系,可以求出与它垂直的直线的斜率,最后利用斜率与倾斜角之间的关系式,求出倾斜角即可.【详解】解：由,所以该直线的斜率为,设与它垂直的直线的斜率为，所以有,设与直线垂直的直线的倾斜角为,则有,所以故选：D4．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据点在抛物线上，可求出参数m的值，方法一，可根据两点间的距离公式求出的值；方法二，可由抛物线的定义，根据到焦点的距离与到准线的距离相等，得出结论.【详解】抛物线的焦半径求解法一：由题意可知，点在抛物线上，则，解得，即，且，所以.故选：D．法二：由题意可知，抛物线的渐近线为，点在抛物线上，则，解得，即，则由抛物线的定义可得，.故选：D．5．已知等差数列的各项均为正数，且，则其前13项之和为（）A．21 B．26 C．36 D．39【答案】D【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式即得.【详解】∵等差数列的各项均为正数，∴，∴.故选：D.6．已知函数是定义在的奇函数，满足，当时，，则（）A． B．0 C． D．2019【答案】A【分析】根据奇函数的性质求出，再根据已知条件得出是以4为周期的函数，即可求出.【详解】因为是定义在的奇函数，且当时，，所以，解得，又，则，所以，所以是以4为周期的函数，所以.故选：A.7．关于函数，有下列命题①其最小正周期为；②其图像由向右平移个单位而得到；③图像关于点对称；④在为单调递增函数；⑤其图像关于直线对称则其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据正弦函数的性质依次判断即可得出.【详解】①的最小正周期为，故①正确；②由向右平移个单位可得，故②错误；③，所以图像关于点对称，故③正确；④当时，，根据正弦函数的单调性可得单调递增，故④正确.⑤，所以图像不关于直线对称，故⑤错误.综上，正确的个数为3个.故选：C.8．等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与抛物线的准线交于A、B两点，，则的实轴长为（）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用，得到A、B两点坐标，即可求得结论．【详解】解：设等轴双曲线的方程为．，①抛物线，，，．抛物线的准线方程为．设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点，，，则，．将，代入①，得，等轴双曲线的方程为，即，的实轴长为．故选：．9．已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则的最小值是A． B．4 C． D．5【答案】A【分析】根据抛物线定义，将所求最小值转化为的最小值；再利用三角形三边关系得到三点共线时取最小值，求解的长度得到最值.【详解】由抛物线方程可得焦点坐标为由抛物线定义可知：，即根据三角形三边关系可知：当且仅当三点共线时取等号即本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中的距离之和的最值问题，解决此类问题的关键是建立合适的不等关系，常用方式是利用三角形三边关系建立不等关系.10．已知双曲线－=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为A． B． C．2 D．【答案】A【分析】先设P的坐标（x，y），焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，根据|PF1|＝4|PF2|，进而可得e的关于x的表达式．根据p在双曲线右支，进而确定x的范围，得到e的范围．【详解】设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨＝ex+a，丨PF2丨＝ex﹣a，∴ex+a＝4（ex﹣a），化简得e＝，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，∴e≤，即双曲线的离心率e的最大值为.故选A．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生对双曲线定义的灵活运用．求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同．求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围．11．已知函数．若关于的方程，有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】画出图象，由此求得的取值范围.【详解】画出图象如下图所示，由图可知，的取值范围是.故选：B12．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设，因为点，，，所以即，所以，可得圆心，半径，由圆可得圆心，半径，因为在圆上存在点满足，所以圆与圆有公共点，所以，整理可得：，解得：，所以实数的取值范围是，故选：D.二、填空题13．若，且___________.【答案】【分析】根据向量平行求出，即可求出，再求出模即可.【详解】因为，，所以，解得，所以，所以.故答案为：.14．过抛物线焦点的直线交拋物线于两点，若两点的横坐标之和为5，则___________.【答案】7【分析】根据抛物线定义即可求出.【详解】由抛物线方程可得，则由抛物线定义可得.故答案为：7.15．已知是的直径，M是圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则（∵）类比到椭圆中，是过椭圆（）中心的弦，M是椭圆上不同于A、B的任意一点，、的斜率分别为、，则______【答案】【分析】由题设若则，设结合斜率的两点式可得，再由点在椭圆上即可求的值.【详解】由题设，结合椭圆的对称性，若，则，设，∴，，故，∵，，∴两式相减得：，即，∴.故答案为：三、双空题16．如图的多面体中，为矩形，平面，，，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么，添加的三棱锥的体积为______．补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______．【答案】；.【分析】添加的三棱锥为直三棱锥，且体积为直三棱柱体积的，由已知条件求出直三棱柱体积可得添加的三棱锥的体积；外接球的球心即为侧面的中心，由勾股定理可得球的半径从而得到球的表面积.【详解】如图添加的三棱锥为直三棱锥，可以将该多面体补成一个直三棱柱，因为平面，，，所以，直三棱柱的体积为，添加的三棱锥的体积为；如图，分别取的中点，连接交于点，因为四边形为矩形，所以为的中点，在直三棱柱中，平面，平面，即，所以上下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点，连接，即为球的半径，因为，，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：①；②.四、解答题17．已知数列中，且．(1)求的通项公式；(2)求的前项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到数列为公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解；（2）由，化简得到，结合裂项法求和，即可求解.(1)解：因为，可得数列为公差为的等差数列，又因为，解得，所以数列的通项公式为.(2)解：由，可得，又由，所以的前项和．18．如图，是正方形，是正方形的中心，底面是的中点.(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，交于，连接，证明即可；（2）求出到平面的距离，利用即可求出.(1)连接，交于，连接，则在中，分别为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；(2)因为，是正方形，所以，因为底面，所以,则到平面的距离，则.19．某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏内(不考虑宽度)，知，现在计划以为一边种植一片三角形的草地，为这群牛提供粮草，.（1）求间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积.【答案】（1）；（2）【分析】（1）可连接，在中，根据余弦定理即可求出，然后可得出，从而根据勾股定理可求出；（2）在中，根据余弦定理和不等式可得出，从而得出，然后根据三角形的面积公式即可求出面积的最大值．【详解】解：（1）如图，连接，在中，，，根据余弦定理得，，，，，且，；（2）在中，，，根据余弦定理，，当且仅当时取等号，，，所种植草坪的最大面积为．20．2021年10月16日，搭载“神州十三号”的火箭发射升空，这是一件让全国人民普遍关注的大事，因此每天有很多民众通过手机､电视等方式观看有关新闻．某机构将每天关注这件大事的时间在2小时以上的人称为“天文爱好者”，否则称为“非天文爱好者”，该机构通过调查，并从参与调查的人群中随机抽取了100人进行分析，得到下表(单位：人)天文爱好者非天文爱好者合计女2050男15合计100(1)将上表中的数据填写完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关？(2)现从抽取的女性人群中，按“天文爱好者”和“非天文爱好者”这两种类型进行分层抽样抽取5人，然后再从这5人中随机选出3人，求其中至少有1人是“天文爱好者”的概率．附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格见解析，能；(2).【分析】(1)根据总数补全表格，根据公式计算K2，与经验表数据对比即可判断；(2)将选中的5人编号，用枚举法列出所有的可能，数出满足条件的个数即可求出概率﹒(1)天文爱好者非天文爱好者合计女203050男351550合计5545100=故能在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“天文爱好者”或“非天文爱好者”与性别有关；(2)按分层抽样抽取的5人中：2名为“天文爱好者”，编号为a、b；3名为“非天文爱好者”，编号为1、2、3，则从这5人中随机选出3人，所有可能结果如下：ab1，ab2，ab3，a12，a13，a23，b12，b13，b23，123，共10种情况，其中至少有1人是“天文爱好者”的有9种，∴概率为﹒21．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据题意，求得，，利用导数的几何意义，即可写出切线方程；（2）对分离参数，构造函数，利用导数求得其单调性和最值，即可求得参数的范围.(1)当时，，，又，，故在点处的切线方程为：，即：.(2)因为，若，即，.令，则，当，，单调递减，故.若在区间内至少存在一个实数x，使得成立，故,则实数a的取值范围为.【点睛】本题考察导数的几何意义，以及利用导数处理不等式能成立问题；本题第二问中，对分离参数，构造是解决本题的关键，属中档题.22．已知椭圆，离心率为，它的短轴长等于双曲线的虚轴长(1)求椭圆C的方程(2)已知是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值②当A，B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由．【答案】(1)；(2)①，②直线的斜率为定值，理由见解析.【分析】（1）根据题意可求得，再根据椭圆的离心率求得，即可得解；（2）①设，直线的方程为，联立，利用韦达定理求得，再由四边形面积，即可得出最大值；②当时，的斜率之和为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，将的直线方程分别代入椭圆方程，然后运