2016届辽宁省大连市高三第一模拟考试数学（理）试题（图片版）

大连市2016年高三第一次模拟考试参考答案和评分标准数学（理科）说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题1.B2.C3.A4.B5.A6.C7.D8.D9.A10.C11.D12.B二．填空题13.414.15.①④16.三．解答题17.解：（Ⅰ）由题知:，可知，…………………3分数列是以512为首项,为公比的等比数列…6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，.，…………………8分令，设的前项和为，则，……………10分当时，当时，……………………12分18.解：（Ⅰ）女生立定跳远成绩的中位数cm．…………3分（Ⅱ）男生中成绩“合格”有8人，“不合格”有4人，用分层抽样的方法，其中成绩“合格”的学生应抽取人………………………6分（III）依题意，的取值为0,1,2，则，，，因此，的分布列如下：012P……………………10分∴．………12分19.解：（Ⅰ）过点作于点，过点作于点，连接.由题意，，//………………………2分又，所以，即，所以四边形为平行四边形.………………4分所以，又因为，所以平面…………6分（Ⅱ）以为坐标原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系.由题意，，，，，，平面的法向量为，，，即可以取……………8分平面的法向量为，，即可以取…………10分则，所以二面角的余弦值为.……12分20.解：（Ⅰ）设点，由知点为的中点，则点，将点代入中得E的方程为：………4分（Ⅱ）方法一：设过点斜率为的直线方程为,.联立，得，则………………6分，…………8分当时（此时，点与均不重合），取得最小值，最小值为1.…………12分方法二：设过点斜率为的直线方程为,.联立，得，则………………6分，，………………8分因为当时（此时，点与均不重合），取得最小值，最小值为1.……12分21.解：（I）由题.因为函数存在单调减区间，所以方程有解.而恒成立，所以有解等价于有解，所以.………………………3分又，所以，.…………………5分(II)因为，所以，所以.而，又因为，所以.要证原不等式成立，只需证明即，在上恒成立.………7分记，，因为，可见，在时，，即在上是减函数，在时，，即在上是增函数，所以,在上，，所以.所以，，等号成立当且仅当时.………………9分记，，因为，可见时，，即在上是减函数，时，，即在上是增函数，所以在上，，所以，所以，，等号成立当且仅当时.………11分综上所述，，因为取等条件并不一致，所以，在上恒成立，所以，总有成立.…………12分证明：（Ⅰ）由可知，，由角分线定理可知，，即得证.………4分（Ⅱ）由，可知，又因为，所以所以.所以又因为所以所以……………………10分23.解：(I)点的极坐标为,所以直角坐标为曲线的极坐标方程为，所以直角坐标方程为………………………3分将直线的参数方程（）代入曲线C的直角坐标方程中得，所以…………5分(Ⅱ)设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，由对称性可得椭圆的内接矩形的周长为=…………9分当，即时椭圆的内接矩形的周长取得最大值16.………………10分24.解：(I)所以，所以的取值范围为.…………