小学奥数之排列组合问题

数问题教学目标.使学生正确理解列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；.了解排列、排列和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组；.掌握排列组合的算公式以及组合数与排列数之间的关系；.会、分析与数字关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能和逻辑思维能力；通过本讲的学习对列组合的一些计数问题进行归纳总结点掌握排列与组合的联系和区别并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。.根据不同题目灵运用计数方法进行计数。知识点拨：例题精讲：一、

排列组合的应用【1新阿等个学像分别出下条下多种法（1）个排一；（2）个排一，新须在间（3）个排一，新阿必有人在间.（4）个排一，新阿必都在边.（5）个排一，新阿都有在上.（6）个战两，排人后四.（7）个战两，排人后四.小、呆在一排【解析】（1

（（2只需排其余个人站剩下的6个置．P720（.（3先确定中间的位置站谁，冉排剩下的个置．×=1440(种．（4先排两边，再排剩下的5位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．2240(种)．（5先排两边，从除小新、阿呆之外的个中选，再排剩下的5个人，P

（种）（6七个人排成一排时7个置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个素的全排列．P

（）（7可以分为两类情况新前阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以即可．4××情况再去全排列。

P

×2=种)排队问题，一般先考虑特殊【212、、、可组多个有复字个是5的三数【析个位字已知问题变成从从个素中取个素的排列问题已知，m根排列数公式，一共可以组成

20(个符题意的三位数。【固用1、、、、这个字组多个大且位字是3的重数的位？【解析】可以两类来看：⑴把3排最高位上，其余个可以任意放到其余个位上，是4个元素全排列的问题，有P

(种)放，对应24个不同的五位数；⑵把，4放在最高位上，有3种择，百位上有除已确定的最高位数字和3之的个数字可以选择，有选择，其余的个字可以任意放到其余个数位上，有以组成354(个不的五位数。由加法原理，可以组成2454(个不的五位数。

种择．由乘法原理，可【固用到9个字组没重数的位若将这四数从到的序列则是几数【析从高到低位逐层分类：⑴千位排，2，3或4时，千位有种择而、十、个位可以~中千位已确定的数字之

2外的9数字中选择，因为数字不重复，也就是从个素中取的排列问题，所以百、十、2有

(种排列方式．由乘法原理，有4504(个)．⑵千上排，位上排4时千位有种择，百位有种择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从8素中取2个排列问题，即P(个)．

，由乘法原理，有⑶千上排5，位上排，位上排，2，，4，7时个位也从剩下的七个数字中选择，有42(个)．⑷千上排5，位上排，位上排8时，比小数的个位可以选择0，，2，3，4共5个综上所述，比小四位数有2016280422343(个)，故比小第2344个位数．【3、、、4、这五数，许复位不，写多个3的倍数【解析】按位来分类考虑：⑴一数只有个3；⑵两数：由与，15，与4，4与四数字组成，每一组可以组成P两位数，共可组成()同的两位数；

(个不同的⑶三数：由1，2与3；1，3与5，4；3，与四组数字组成，每一组可以组成P(个不的三位数，共可组成6(个不的三位数；⑷四数：可由1，2，，5这四个数字组成，有

24()不同的四位数；⑸五数：可由1，2，，，组，共有(个不的五位数．由加法原理，一共有24(个)能被3整的数，即的数．【固用1、345、六张数卡，次三卡组三数一可组多少不的数【析由于成偶数个上的数应从2，4，中一张有种法十和百位的数可以从剩下的张中选二张，有

20(种选．由乘法原理，一共可以组成(个不同的偶数．【4管员记自小险的密数，记是四非数码成且个码和，么保开险至要几？【解析】四个0数之和等于组合有1，，，；1，，51，1，3，；1，2，41，2，3，3，，2，种。第一种中，可以组成多少个密码呢？只要考虑6的置就可以了，6可任意选择个置中的一个，其余位置放1，有种择；第二种中虑选择虑5的置有种选择的位置放4()选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各种选择．最后一种，与第一种的情形相似3的置有4选择，其余位置放2，有种择．综上所述，由加法原理，一共可以组成4(个)不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试56次【5对胞喜逢他围在桌旁要每人不自的胞妹邻(同一位置上不同人不的法，么有多种同坐？【解析】第一位置在个中任选一个，有

(种)选，第二个位置在另一胞胎的人任选一个，有种)法．同理，第，4，5个置依次有2，，11种选法．由乘法原理，不同的坐法有PPPPP(种。【6种子在时分秒时的示624，么8时到时段间，此的个数字都相的刻共多个【解析】设:是足题意时刻，有A8、D应，1，，4，这数字中选择两个不同的DE数字，所以有P种选法，而、应从剩下的个字中选择两个不同的数字，所以有P种法，所6以共有

P×P7

=1260种法。从到9时段时间里，此表的个数字都不相同的时刻一共有1260。【7个位能整除它各数非且互相的将个位的6个字新列最少能出少能11整除六数【解析】设这六位数为abcdef，则有()、()均不为，任何一个数作为首位都是一个六位数。

的差为0或的数．且a、c、d、f

先考虑a、c、e偶位内b、、奇位内的组内交换，有

P3×P33

=36种序；再考虑形如badcfe这种奇数位与偶数位的组间调换，也有×=36种序。3所以，用均不为bcdef最可排出+36个能被11除的数包原来的所以最少还能排出-=个能被11整的六位数。

)。【8知由、、、、共5名同进的工作赛，出第至第名名．、乙名赛去问绩回者甲“遗，和乙未到军对说你然会是差”这回分，人名排共多种同的况【解析】这道乍一看不太像是列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军且“乙不是最差的等于人成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有排法，剩下的人随意排，有P

(种排法．由乘法原理，一共有54(种不同的排法。【94名男，5名女，体成行问列形有少不的法⑴甲在间不两；⑵甲乙人须在端⑶男女分排一；⑷男相．【析⑴先甲，9个置除了中间和两端之外的个置都可以，有选择，剩下的8个随意排也是个素全排列的问题共有40320(种排法．

(种选乘法原理，⑵甲乙先排，有P

(种排；剩下的7个随意排，有

(种排．由乘法原理，共有(种)排法．⑶分把男生、女生看成一个整体进行排列，有P(种不同列方法，再别对男生、女生内部进行排列，分别是个素与5个素的全排列问题，分别有P24(种和(种排法．由乘法原理，共有5760(种排．⑷先4名生，有P(种排法，再把5女生排到个档中，有P(种排．由乘法原理，一共有2880(种排法。【固五同扮奥会祥物娃贝晶、欢迎和妮排一表节目如贝和妮相，有）种同排。【解析】五位学的排列方式共××3××1（种如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有×3××1（种因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×=(种；贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-4872种【10一晚上个演节和个舞节．：⑴当4舞蹈目排一时有少同安节的序⑵当求2个舞节目间少排个唱目，共多不的排目的序【析⑴先4个蹈节目看成1个目，与个演唱节目一起排，则是个元素全排列的问题，有【析P

(种)方．第二步再排个蹈目，也就是4个蹈节【析目排列的问题，有P(种)方．根据乘法原理，一共有120960()方法．⑵首将6个唱节目排成一列如下图中的eq\o\ac(□,“)”)是元素全排列的问题，一共有6!(种)方法．×□×□×□×□×□×□×第二步，再将个蹈节目在一头一尾或个唱节目之(即上图中“×”的位)这相当于从7个×”中选4个排，一共有840(种)方法．根据乘法原理，一共有720(种)方法。【固由个不的唱目不的唱目成一晚，求意个唱目相，始最一节必是唱则台会目编方共多种？【析先排唱节目，四个节目随意排是个素全排列的问题，有24种排法；其次在独

唱节目的首尾排合唱节目，有三个节目，两个位置，也就是从三个节目选两个进行排列的问题有

(种)排法；再在独唱节之间的个置中排一个合唱节目有种法．由乘法原理，一共有24432()同的编排方法．【结排中，我们可以先排条件限制不多的元素，然后再排限制多的元素．如本题中，独唱节目好之后，合唱节目就可以采取“插空”的方法来确定排法了．总的排列数用乘法原理．把若干个排列数乘，得出最后的答案。【11⑴，，，8中任个数成重数的三数共多个（要列）⑵位候选中选位别团书组委，传员，有少不的法⑶位学个座位每座坐1人，有种法⑷个坐个位每座坐1人，共有少坐？⑸火站股道停3列火，多种同停方？⑹种同菜，选种种不土的块地，多少不的法【析⑴按序，有百位、十位、个位个位置个数字个元素）取出往上排，有P

种．⑵3种务3个位置，从8位选人（个元素）任取3位往上排，有种⑶3位学看成是三个位置，任取8个位号8元素）中的个上排（座号找人定一种号码即对应一种坐法，有

种．⑷3个位排号，2三位置，从人任取3个上排（人找座位⑸3列车编为，2号从8股道中任取股上排，共有种．

种．⑹土地编1，，3号，从8种籽中任选3种上排，有种。【固现男学3人女学4人(女学有人王)从选男同学，别加学英、乐美四兴小：)有少选?)中加术组是同的法多种?)加学组不女学红选有少种)加学组不女学红且加术小的女学选有少?【析（）从3个男同学中选出2人有

34=种法。从4个女同学中选出人有=6种选法。22在四个人确定的情况下，参加四个不同的小组有×××种选法。××24432，所以共有种法。（2在四个人确定的情况下，参加美术小组的是女同学时有×××1种选法。××12216，所以其中参加美术小组的是同学的选法有216种（3考虑参加数学小组的是王红时的选法，此时的问题相当于从3男同学中选出2人，从女同学中选出人，3个参加3个组时的选法。××3×2×154所以参加数学小组的是王红时的选法有54，=378所以参加数学小组的不是女同学王红的选法有种（4考虑参加数学小组的是王红且参加美术小组的是女同学时的选法，此时的问题相当于从3个同学中选出人参加两个不同的小组，3个同学中选出参加美术小组时的选法。××3，所以参加数学小组的是红且参加美术小组的是女同学时的选法有种，21618=198，所以参加数学小组的不是女同学王红，且参加美术小组的是女同学的选法有1种。【12某举男乒球比，赛成个段行第阶：参比赛名手成8个组每人分进行循赛第阶：8个小产的2名共人再成4个组每人分进单循赛第阶：4小产的个第名行2场决和2决，确至名名．：整赛一需进多场赛【析第一阶段中，每个小组内部的6个每2人赛一场组内赛C

6场共个组，有24120场第二阶段中，每个小组内人每赛一场，组内赛场共4个小组，2有6场；第三阶段赛2．根据加法原理，整个赛程一共有148场赛。【13由字12组五数求五数12至各现次么样五数有_______个(2007年“春”年组赛)【析这是道组合计数问题．由于题中仅要2至各出现一次，没有确，2，出的具体

次数，所以可以采取分类枚举的方法进行统计，也可以从反面想，从由组的五位数中，去掉仅有1个个字组成的五位数即可．(法1分两类：⑴1，，3恰有一个数字出现次这样的数有C

(；⑵，2中两个数字各出现次这样的数有C90(个．符合题意五位数共有150(个．(法)从反面想，由1，，3组的五位数共有35

个，由，，3中的某2数字组成的五位数共有个，由1，2，3中某个字组成的五位数共有3个所以符合题意的五位数共有

150(个。【14人成一，中出个相的，有少不选？【析(1乘法原理．按题意，分别站在每个人的立场，当自己被选中后，另一个被选中的，可以是除了自己和左右相邻的两人之外的所有人，每个人都有7种选择，总共就有770种择，但是需要注意的是，选择的过程中，会出现“选了甲、乙，选了乙、甲”这样的情况本来是同一种选择而却算作了两种，所以最后的结果应该(10)35种．(法)排除法．可以从所的两人组合中排除掉相邻的情况，总的组合数为

，而被选的两个人相邻的情况有0种所以共有C45()。【158个站，冬必站小和奇中（一相小和智能邻，光大必相，足求站一有少？【析冬冬站在小悦和阿奇的中间意着只要为这三个人选定了三个位置间的位置就一定要留冬冬，而两边的位置可以任意地分配给小悦和阿奇．小慧和大智不能相邻的互补事件是小慧和大智必须相邻小光和大亮必须相邻，则可以将两人捆绑考虑只满足第一、三个条件的站法总数为：

3360（）同时满足第一、三个条件，满足小慧和大智必须相邻的站法总数为：C960（种）因此同时满足三个条件的站法总数为：2400（【16小有10块大白奶,今起每至少一.么一有少不的法?【析我们将10块大白兔奶糖从左至右排成一,如果其中9个隙中的某个位置插木棍则将lO块糖分成了两部分。我们记从左至右,第分是第1天的第2分是第2吃,…，|○○○不难知晓每一种插入方法对应种吃而9间隙,每个间隙可以插人也可以不插,且相独立共有2=种不同的插入方,即512种同的吃法。【固小有10块糖每至吃块，7天吃，共多种同吃？【析分三情况来考虑：⑴当红最多一天吃块，其余每天1，吃块这天可以是这七天里的任何一天，有种吃法；⑵当红最多一天吃3块，必有一天吃块，其余五每天，先选吃3块的那天，有7种择，再选吃块那天，有6种择，由乘法原理，有种吃法；⑶当红最多一天吃2块，有三天每天吃2，其四天每天吃1块，从7天中选天有C

7种吃。3根据加法原理，小红一共有74284(种不的吃法．还可以用挡板法来解这道题，10块有个，6个放挡板，有C84(种不的吃法。【固把个苹分个朋，人少3个，以多种不的法【解析】(法1先每人2个，还有14个果，每人至少分一个13个插2个，有C(法2也可以按分苹果最多的人分的个数分类枚举。

种法．【固有粒糖分天完每至吃粒，有少不的法【析如图○|○○|○○○○将10粒如下图所示排成一排，这样每两颗之间共有9个，从头开始吃相两块糖是分在两吃的在其间画一条竖线隔开表示之前的糖和之后的糖不是在一天吃掉的，九个空中画两条竖线，一共有936方法．【17某塘有、、C只船A可坐人船乘人，船可乘1人，有个成和个童分这游为全见有儿童坐游上须少个人同那么他5人乘这支船所安乘方共多种

【析由于儿童乘坐的游船上必须至1个人陪同，所以儿童不能乘坐船⑴若这都不乘坐船恰坐满、两船①若两个儿童在同一条船能船上时A船上还必须有个人有C

种法②两儿童不在同一条船上分别在A、两上则B船上有1个童和1个人，1个童有选择，个人有C法．故都不乘坐船3种全方法；

种选择，所以有种⑵若这5人中有1人乘坐C船这个人必定是个成人，有

选择．其余的2个人与个童①若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时A船还必须有1个人，有2种法，所以此时有3种法；②若两个儿童不在同一条船上，那么B船上有儿童和1成人，此时个童和1个成人均有C2种择，所以此种情况下有种法；故人有1乘坐船种全方法．所以，共有种安全乘法．【18从0名生8名女生选人参加泳赛在列件，别多少选？【19⑴有名生选；至有名生选⑶两女，两男必须选【20⑷两女，两名生能时选⑸两女，两男最入选人【析⑴恰3名女生入选，说明男生有人选，应为C14112种；⑵要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求．运包含与排除的方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：C

；⑶人须入选则从剩下的1人中再选出另外4，有1001种⑷从所有的选法C

种中减去这4个人同时入选的

种：C

42757．⑸分三类情况：4无人入选；仅有1入选；人有入选，共：

C

34749。【固在6名科生4名科生，科任和科任一，要成5人疗小送下，按下条各多种派法【固⑴有3内医生名外科生【固⑵既有内医，有科生【固⑶至少有名任加【固⑷既有主，有科生【析⑴先6名科医生中选3名有C

620种法；再从4名科医生中选名34共有种法．根据乘法原理，一共有选派方法2种．2⑵用去杂法”较方便，先考虑从10医生中任意选派人有

5

种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况．由于外科医生只有4，所以不可能只派外科医生．如果只派内科医生，有种选派方法．所以，一共有252246种有内科医生又有外科医生的选派方法。⑶如选1名任则不是主任的名医生要选4人有2

84

种选派方法如选

8名任不主任的8名医生要选3人1种选派方法据法原理，3一共有140选派方法．⑷分类讨论：①若选外科主任，则其余人任意选取，有

94

种取方法；②若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余4人不能全选内科医生，用“去杂法”有

8565种取法．4根据加法原理，一共有2665191种派方法。

【21在名生，5人会电，人会装响备其2既会装脑又安音设，选由人组成安小，内装脑3人，装响备人，共多种同的人案【析按具双项技术的学生分类：⑴两都不选派，有

5(种选派方法；3⑵两中选派人有2种法．而针对此人的任又分两类：若此人要安装电脑还2人装电脑C(选法另会安装音响设备的人全选派上，只有种法．由乘法原理，有0(种选；若此人安装音响设备，则还需从人选人装音响设备，有

3(种选，需从5人中2选3人安装电脑，有C

种)选法．由乘法原理，有(种选法．根据加法原理，有030(种)选法；综上所述，一共有80(种选派方法．⑶两全派，针对两人的任务可分类讨论如下：①两人全安装电脑，则还需要5人选1人装电脑，另外会安装音响设备的人选上安装音设备，有5(种)选方案；②两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有C

5(种选方案；22③两人全安装音响设备，有3

530(选派方案．3根据加法原理，共有56095(种选方案．综合以上所述，符合条件的方案一共185()．【22有11名外翻人，中名是语译，4名日翻员另两英、语精．中出8人使们成个译组其人翻英，4人翻日，两个组同工作问样分名共以出少？【析针对名英语、日语都精通人(以称多面)的参考情况分成三类：⑴多手不参加，则需从名语翻译员中选出人有C种择，需从名日语翻译员中选出人有1种择．由乘法原理，有5种择．⑵多手中有一人入选，有2种择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能：如果参加英文翻译，则需从5名语翻译员中再选出3人，有

5种择，需从4名3语翻译员中选出人有种选择．由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从英语翻译员中选出人有选择，需从名语译员中再选出名有C种择．由乘法原理，有40选择．根据加法原理，多面手中有一人入选，有4060种择．⑶多手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：①两人都译英文；②两人都译日文；③两人各译一个语种．情况①中需从5名英语翻译员中选出2人C

52

选择从4名语翻译员中选人，种择．由乘法原理，有1种择．情况②中需5名语翻译员中选出有选择还从4名日语翻译员中选出24人，有C种选择．根据乘法原理，共有130选择．2情况③中，两人各译一个语种，有两种安排即两种选择．剩下的需从5名语翻译员中选出3人有C

5选择，需从名语翻译员中选出人有3

种择．由乘法原理，二、

有80种择．根据加法原理，多面手中两人均入选，一共130种选择．综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出5张几何计数

11112111111【23下中有____正形11112111111【析每个正方形中有长为的方形有4

个长2的方形有3

个；边为的正方形有

个；边长为4的方形有个总共有4()方形．现有个4的正方形，它们重叠部分是2的方形．此，图中正方形的个数是3。【24在中单位：米：①共几长形②有些方面的是少【析①一有(4100(个长方形；②所求的和是(512)8)8)(12(2(47)(7(2(4(212384(平方厘米。

【25由20个边为1的正形成个4长方中一有☆图含“”所长(正形共个，们面总是。第届美赛题)【析含☆的行内所有可能的长方形有：(八种)含☆☆☆☆☆内所有可能的

☆

☆☆

的一列长方形有：(六种

☆所☆☆

以总共长方形有648个面积总

和

为

☆

☆☆(1360。

☆【固图共多个角？【解析】显然角形可分为尖向与尖向下两大类类中三角形的个数相等尖向上的三角形又可分为6类（1最大的三角形(△ABC，（2第二大的三角形有3个（3第三大的三角形有6个（4第四大的三角形有10个（5第五大的三角形有15个（6最小的三角形有个所以尖向上的三角形共有++6+1524=（个）图中共有三角形2=118（【26一圆有个点A，，A，，A，．以们顶连角，使个恰是个角形顶，各三形边不交问有少不的法【析我们采用递推的方法．I如圆上只有3个，那么只有一种连法Ⅱ如果圆上有6个，除点在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A所三角形一条边所对应的圆弧上，表1给这时有可能的连法。Ⅲ如果圆上有9个，考虑所的三角形．此时，其余的6点可能分布在：①所三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表中用“”表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种法．Ⅳ最后考虑圆周上有个．同样考虑所三形，剩下点的分布有三种可能：①9个都在同一段弧上：②有个点是在一段弧上，另三点在一段弧上；③每三个点在A所三角形一条边对应的弧上．得到表3共有12+3×+＝55种．

所以当圆周上有12个时，满足题意的连法有种。课后练习：练1.用24排四数（1）有少四数（2）重数的位有少？（3）重数的位数多个（4）2在3的左的重复字四数多个（5）2在千上无复字四数多少？（6）5不在位个上无复字四位有少？【析⑴条中未限制“无重复数字以数字可以重复出现，如2555等依分步计数乘法原理共有⑵24（个）

（个）⑶个位上只能是或，P（）⑷所有四位数中，2在3的边或2在的边的数各占一半，共有

个）⑸2在千位上，只有种法，此后在外的个置上排列，有

（）⑹法一：5不十位、个位上，所以5只在千位上或百位上，有2P

（）法二：从中减去不合要求的（十位上、个位上PP（练2.如，中每条段是平或直，界各线的度次为厘米7厘米9厘米厘米4厘、厘、厘、厘．图长形个，及有长形积和【析利用方形的计数公式：横边上有n条段，纵边上共有m条段，则图中共有长方（平行四边形）mn个所以(+3++1)×（43++）=100这些长方形的面积和为79+2+161121++）×（++51+++6++）=1248610664。练3.有粒糖每至吃粒吃为止共多种同吃？【析初看题似乎觉得很好入手，比可以按天数进行分类枚举：吃完的有1种法，这天吃块；2天完的有方法=19=+8…9+；当枚举到天吃完的时，情况就有点综复杂了，叫人无所适从……所以我们必须换一种角度来思考不妨从具体的例子入手来分析，比如这块分天完：第吃2块第2天吃3块；第3天；第天吃4块．我们可以将10个○”代表粒糖，把个“○”排成一排eq\o\ac(○,)之间共有空位，若相邻两块糖是分在两天吃的，就在其间画一条竖如下图．○eq\o\ac(○,○)|○○○○比如上图就表示“第天；第吃3块；第吃块；第吃4块这样一来，每一种吃糖的方法就对应