北师大版九上数学第一章第2节 矩形的性质与判定第二课时

北师大版年级上第一《特殊平行四形》《矩形的质与判定》(时)案【教学标】1.知与能（）经矩形判定定理的探索程，进一步发展合情推理能.（）能用综合法证明矩形的定定理，进一步发展演绎推理能.2.过与法在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果。3.情态和值.【教学点】矩形的判定【教学点】矩形的判定及性质的综合应用．【教学法】合作、探究【课前备】多媒体课件【教学程】一复引（1矩形的定义；2矩形的特征；3矩形的特殊性质；提出问题引入新课：想一想我们可以怎样判定一个四边形是矩形？二、究知1.矩的定：定法有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）制作一个如图所示的平行四边形的活动框在一个平行四边活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？

当

时，平行四边形为矩形。定：一个角是直角的平行四边形叫做矩.几何语言：∵四边形ABCD是行四边形且°∴四边形ABCD矩形2.矩的定2的探究：角线相等的平行四边形是矩形活内1：工人师傅为了检验两组对边相等的四边窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？处方先学生独立思考尝解答再采取小组合作的方式，交流讨论，进而得到结论对线等平四形矩.活内2：通过思考、交流，我们可以发现，对角线相等的平行四边形是矩形，你能证明这个命题吗？处方鼓学生积极探索大猜想在此基础上再进行严格地证明证过中学生可能会有一定的困难，教师要及时予以指导和规范此可安排学生板演证明过.定的明如图，在平行四边形ABCD中AC、是它两条对角线，且AC=DB，明：四边形ABCD是.分析:要证明□ABCD是形只证明有一个角是直角即.证明：∵四边形ABCD是行四边形∴AB=DC,AB//DC又∵BC=CB,AC=DB∴△≌DCB∴∠ABC=∠∵∴∠ABC+∠DCB=180°，∴∠ABC=∠DCB=90°∴平行四边形ABCD是形几语：eq\o\ac(□,在)ABCD中，∴□ABCD是矩形3.矩的定的究三角是直角的四边是矩形活内1一同学用“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样四步，画出一个四边形，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？处方：学独立完成作图后可与本作法进行对比，通过思考作法的正确性，探索得到矩形的另一种判定方法：三个角是直角的四边形是矩并对这一判定方法加以证.

已知:如图在四边形ABCD中A=∠∠C=90，求:边形ABCD是矩形.分析利用同旁内角互,两直线行来证明四边形是平行四边,可使问题得证证明∵∠A=∠B=∠C=90°∴∠A+∠°∠B+∠C=180°∴∥BC,AB∥∴四边形ABCD是行四边.∴四边形ABCD是形几语：在四边形ABCD，∠A=∠∠C=90°∴ABCD矩形归：形三判：有个角是直角的平行四边形矩.对线相等的平行四边形是矩有个角是直角的四边形是矩三例讲例例1.判断题：（）一个角是直角的四边形是矩形。（×）（）个角都相等的四边形是矩形。（√）（）角线相等的四边形是矩形。（×）（对线互相平分且相等的四边形是矩形（√）（）组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形。（）例2.下列条件中,不能判定四边形ABCD为形的是（C）ＡAC⊥BD，与BD互相分ＢAB=BC=CD=DAＣAB=BC，，AC⊥ＤAB=CD，，⊥解析：根据菱形的三个判定可得C是误.例3如，ABCD的条角ACBD相于点OAB=5AC=8DB=6，求:四边形ABCD是菱形证明:∵四形ABCD是平四形∴OA=OC=4OB=OD=3又∵AB=5∴

AB

2AO2+

∴∠AOB=90°∴⊥又∵四形ABCD是平行四边形∴四边形是形四巩练：例1.如所示□ABCD条件，

A

１

Ｄ②AB=AD，∠1=∠，④AB⊥BC中能说eq\o\ac(□,)ABCD是矩形的有______（填写序号.解析：根据对角线相等的平行四边形是矩形；矩形

Ｂ

２

Ｃ的定义答案：①④例2.如，在平行四边形ABCD中MAD边中点，且MB=MC，求证：四边形是形分析：要证明平行四边形ABCD是形，则只需验证有一个角是直角或对角线相等即可；根据题意可得△AMB≌DMC，而有A=D,再结合AB//CD得到∠A=90°即得证证明：∵四边形是行四边形∴AB//DC，AB=DC，∴∠A+∠D=180°，∵是AD的点∴AM=MD∵MB=MC∴△AMB≌△DMC(SSS)∴∠∠∵∠A+∠D=180°∴∠A=90°∴平行四边形ABCD是矩形例3.已知行四边形ABCD的角线AC、BD交于O△是等边三角形AB=，这个平行四边形的面积.解：∵ABCD是行四边形，∴=2OA，=2OB。

∵=OB，∴=BD，∴平行边形ABCD是形。在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∵=4cm，AC=2AO=8cm，∴

8

2

-

2

，

平行边形ABCD

BC44cm

2

.练习：1.如图，四边形ABCD的角线ACBD相交于点，且AC=BD则下列条件能判定四边形A为形的是（B）

A

DA.AB=CDB.OA=OCOB=ODC.AC⊥∥CDAD=BC

OB解：A、由AB=DC，AC=BD无法判四边形ABCD矩形．故错误B、∵OA=OC，，∴四边形是行四边形，∵AC=BD，∴四边形是形．故正确C、由AC⊥，AC=BD无判断四边形ABCD矩形，故错误．D、由AB∥，AC=BD无判断四边形ABCD矩形，故错误．2.如图，矩形中BC=4cm点从开沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度运动，Q从C开始沿CD边以1cm/s的度移动，如果点、分别A、同出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（），当t=___5___时四边形APQD也矩形．解：根据题意，当AP=DQ时四形APQD为矩．此时，4t=20-t，解得t=4（s）故答案是：．3.如图，在△ABC中，AB=3，，BC=5P为BC上动点⊥于E⊥于F的最值为__2.4____．解：连接AP，∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，

C

AB2AC2BC2即∠BAC=90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥于F，∴四边形AEPF是形，∴EF=AP，∵AP的最值即为直角三角形ABC边上的高，即，∴EF的最值为2.4.4.如图，在△ABC中，AB=AC=5BC=6，AD为BC边上高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交点E，AB与DE交点，连结BE．（）证：四边形AEBD是形（）四边形的积．分（利平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．（）eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理可以求得AD的度，由等腰三角形的性质求得BD的度则矩形的面=长×宽AD•BD，即可得出结果．（）明：∵∥，∥，∴四边形AEDC是行四边形．∴AE=CD．在△ABC中AB=AC，为BC边的高，∴∠ADB=90°，BD=CD．∴BD=AE．∴四边形AEBD是形．（）：在eq\o\ac(△,Rt)中∠ADB=90°，AC=5，BD=CD=

12

BC=3，∴AD=

52-24

．∴四边形AEBD的积BD•AD═×4=12．五拓提(1)对角线相等的四边形是矩形?(腰梯)(2)需要添加什么条件才能使对线相等的四边形是矩形?

归：角相且相分四形矩几何语言：∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四边形ABCD是矩形例：已知：矩ABCD的对线ACBD相于OFGH分别AOBOCODO上的点，且。证：四边形EFGH矩形。证明：∵四形ABCD是矩∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四边形EFGH是平四边形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四边形EFGH是矩六课总矩形的三个判定方法：1.有一个角是直角的平行四边形矩.2.对角线相等的平行四边形是矩.3.有三个角是直角的四边形是矩.