文档：怎样学好两个基本计数原理

怎样学好两个基本计数原理计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是推导排列数公式与组合数公式的依据，是解决排列、组合、概率应用问题的两个最基本、最重要的方法，是排列、组合的理论基础，也称为基本计数原理．它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．一、掌握正确的学习方法1．分类加法计数和分步乘法计数是处理计数问题的两种基本思想方法，要着眼于搞清它们之间的区别与联系，要根据实际问题，认真思考、细心体会、准确理解和把握这两个计数原理，要搞清楚在什么情况下应用这两个计数原理，要学会根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式．2、要立足于基础知识、基本方法、基本问题的学习．认真研究典型例题，搞深搞透，形成典型问题的思维模式，奠定解其它相关问题的思维依托和思维的合理定势，着眼于分析问题、解决问题能力的提高．3、要注意分类讨论、等价转换、整体思想、正难则反等数学思想在解题中的应用．二、理解两个原理的内容1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法．上述计数原理可以推广为：完成一件事，有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法．说明：（1）所谓“完成一件事，有n类办法”这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事的任何一种方法必须属于某一类（无遗漏）；②分别属于不同类的方法是不同的方法（无重复）．即分类要做到“不重不漏”．（2）分类后，再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法．那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法．上述计数原理可以推广为：完成一件事，需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．说明：（1）所谓“完成一件事，需要分成n个步骤”，这是说完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，各步之间相互独立，彼此依附，互相关联，缺一不可．分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足条件“完成这件事必须并且只需连续完成这几个步骤后，这件事才算最终完成”，即分步要做到“步骤完整”．（2）分步后，再计算每一步的方法数，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数．三、弄清两个原理的区别和联系1、联系：两个基本原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完成，都是涉及完成一件事的不同方法的种数．这两个原理之间的联系主要表现在两个方面：一是两个原理常常要协同作用，按“先分类，后分步”的原则进行；二是不少用乘法原理解决的问题，通过适当分类后同样可以用加法原理来解决．2、区别:“分类”还是“分步”，分别是加法原理与乘法原理的标志，也是它们的主要区别．一般说来，可以这样理解：如果完成一件事的方法种数需“分类”思考，有n类办法，这n类办法彼此之间是并列的、相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，这n个步骤相互依存，缺一不可，具有连续性，当且仅当依次完成所有的n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理．两者的区别可列表如下：加法原理乘法原理区别一完成一件事，共有类办法，关键词“分类”完成一件事，共有个步骤，关键词“分步”区别二每类办法都能独立地完成这件事，它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事区别三各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是关联的、独立的，“关联”确保不遗漏，“独立”确保不重复例如，“书架上有5本语文书和4本数学书，现要从中取一本书，问有多少种不同的取法？”如果现在我从书架上拿了一本语文书，是“分类”还是“分步”呢？由于事件已经完成了，当然是分类，第一类，从5本语文书中任取一本，有5种可能性，第二类，从4本数学书中任取一本，有4种可能性，根据“加法原理”，共有N=5+4=9种不同的取法．若将问题改为“书架上有5本语文书和4本数学书，现要从中取一本语文书和一本数学书，问有多少种不同的取法？”如果现在我从书架上拿了一本语文书，由于事件还没有完成，仅是第一步，故为分步，根据“乘法原理”，应有N=5×4=20种不同的取法．四、正确应用两个计数原理在应用两个计数原理具体处理问题时，首先要弄清是“分类”还是“分步”，简单的说是“分类互斥，分步互依”．因此在解题时，要搞清题目的条件与结论，且还要注意分类时，要不重不漏，分步时合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰．1、分类加法计数原理的应用应用分类加法计数原理解题要注意三点：（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，完成这件事可以用些什么办法，怎样才算完成这件事．（2）完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其它的方法．（3）确立恰当的分类标准，注意“类”与“类”之间的独立性和等效性，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既“不重复”也“不遗漏”．例1、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线在单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26B．24C．20D．19解析：我们所要完成的是“结点B向结点A传递信息”这件事，从图示可以看出，从B到A，自上而下有四条路线都可以传递信息，若分别记为①②③④，路段①三段标注3，5，12，故单位时间内通过的最大信息量为三段中最小者3；同理路线②③④通过最大信息量为4，6，6．因此由分类计数原理得，单位时间内通过的最大信息量为3+4+6+6=19．故选D．点评：应用分类计数原理，首先根据问题的特点，确定分类的标准，分类应满足：完成一件事的任何一种方法，必属于某一类且仅属于某一类，做到不重不漏．2、分步乘法计数原理的应用应用分步乘法计数原理解题要注意三点：（1）明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，单独用题目中所给的某种方法是不是不能完成这件事，也就是必须要经过几步才能完成这件事．（2）完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．（3）根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏．例2、（1）将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？（2）3位旅客到4个旅馆住宿，有多少种不同的住宿方法？解析：（1）完成这件事情可分四步：第一步投第一封信，可以在三个邮筒中任选一个，因此有3种投法；第二步投第二封信，也可以在三个邮筒中任选一个，因此也有3种投法；同理，第三步投第三封信，第四步投第四封信，也各有3种投法．由分步乘法计数原理可得不同的投法共有：3×3×3×3＝34＝81（种）．（2）完成这件事情可分三步，每位旅客都有4种不同的住宿方法．因此，不同的住宿方法共有：4×4×4＝43＝64（种）．点评：初学者对这两题很容易弄混，到底是34？还是43？如对第（2）小题，有些同学可能这样考虑：第一个旅馆中可以住3人，同样第二、三、四个旅馆中也可以住3人，因此，共有3×3×3×3＝34＝81种不同的住宿方法．其实这种做法是错误的，因为，如果一位旅客住在第一个旅馆中，就不可能再住第二、三、四个旅馆，把着眼点放在旅馆上来考虑，情况非常复杂，不易求出．这是一类可重复排列的计数问题，要注意区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复．把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．3、两个原理的综合应用对于一些较复杂的题目，往往既要分类又要分步，也就是说既要应用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理，在计数时应让两个原理协同作用．我们可以根据题意恰当合理的画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．例3、（天津高考题）从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和,则能组成落在矩形区域且内的椭圆个数为（）A．43B．72C．86D．90解析：由题意可知，要使椭圆落在矩形区域B中，则有＜11，＜9．当＝1时，可等于2，3，…，8共对应7个不同的椭圆；当＝2，3，4，5，6，7，8时，各分别对应7个不同的椭圆；当＝9时，可等于1，2，3，…，8共对应8个不同的椭圆；同理，当＝10时，对应8个不同的椭圆．综上，共7×8+8×2＝72个．故应选B．点评：本题根据分类加法计数原理，对的取值进行分类，得到适合条件的椭圆个数．用两个计数原理综合解决问题时，最重要的就是在开始计算前要仔细分析．首先可以考虑问题是否应当分类，分类能大大降低问题的复杂度；然后在每一类中考虑是否可以分步来完成事情．我们把问题分解成几类互不重复的情况，每一类都使用分步计数原理计数，然后再用分类计数原理将各类情况组合在一起．例4、从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）（A）8种（B）12种（C）16种（D）20种解析1：记正方体的6个面为上、下、左、右、前、后，那么，从中取3个不相邻的面，可分为三类：第一类，选取的3个面不含前、后面，有4种不同的取法；第二类，选取的3个面不含左、右面，也有4种不同的取法；第三类，选取的3个面不含上、下面，同样有4种不同的取法．因此，应用分类加法计数原理，得到不同的取法数为：4+4+4＝12（种）．解析2：完成