初一数学竞赛专题19 最值问题

专题19

最值问题阅读与考在实际生活与生产中们想省时间或费用取最好的效果或最高效益映数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，这类问题的相关知识与基本方法有：1、通过枚举选取2、利用完全平方式性.3、运用不等式（组）逼近求解4、借用几何中的不等量性质、定理.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例.例题与解【1】若为正整数且

，

，

（

c

）的最小值是.（北京市竞赛试题）解思：条件中关于C的息量最多，应突出的作用，把及待求式用的代数式表.【2】知实数ab满

a

22，4

的最小值是（）A.

18

B.0C.1D.

98解思：对

a4ab

(全国中数学竞赛试题进行变形，利用完全平方公式的性质进行解.【3】果正整数

xx,满x=xx，x的最大值.12345134515解

题

思

路：

不

妨

设

xxx125

，

由

题

中

条

件

可

知111xxxxxxxxxxx2345134545235234

=1.结题意进行分.

【4】已知

xy

都为非负数，满足

xyxy，，的最大值与最小值（四川省竞赛试题）解思：解题的关键是用含一个字母的代数式表示

w

.【5】某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米立线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆根，要求完成运送18根任务返仓库工车每行驶1千耗油m在里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）每汽油n元求完成此项任务最低的耗油费.（湖北省竞赛试题）解思：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运5次而5次有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费.【6】直三角形的两条直角边长分别为和，斜边长为13P是三角形内或边界上的一点P到三边的距离分别为，d，d，求d+d+d的大值和最小值，并求当dd+d取最大值和11212最小值时，点位.新邀赛试题）解思：连接P点三角形各顶点，利用三角形的面积公式来.

能力训A

级社，，满

a

2

2

2

，那么代数式

a

2b)

的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）在足

xy3,x

的条件下，

2y

能达到的最大值是

.望”邀请赛试题）已锐角三角形ABC的个内角A满B＞用表B-C及中最小值的最大值是.

（全国初中数学联赛试题）已有理数，，满＞＞，，那么

ca

的取值范围是

.在子

x

（数学夏令营竞赛试题）中，代入不同的x值得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）A.1B.2C.3若a，，，是数b是整数，且满足大值是（）

b，么

的最A.-1B.-5C.0D.1(全初中数学联赛试已

x,y10,

则代数式

xy22xyyzxz

的最小值是（）A.75B.80C.100D.105(江省竞赛试题已xy，z为非负数，且满足的最小值与最大值分别为（）

xy=303x，又设MxyZ

，则MA.110120B.120，C.130140D.1401509.已知非负实数

x

，

y

，

满足

xyz234

，记

x

.求

w

的最大值和最小值望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料米乙钟布料26米现计划用这种布料生产，两型号的装共套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米可获利45元做一套M型的童装需用甲种布料米，乙种布料0.2米可获利元试问该厂生产的这批童装，当型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？（江西省无锡市中考试题）例124提：a,d

专最问，原式24c例2B

提示：

b

ab

b

ab

19．4因为，以

111，从而ab244

，故0

14

91619因此0，即48

ab

9．8例3设xxx，

1

1xx

1xxx

1xxx

1xxx

1xxx

1x

1x

1x

1x

1x

=

3xxx

于是得到

xx

．

．

若xx

1

题设等式为4x

矛盾xxx时，容易找到满足条件的数组(，1，1，，5)，所以x的最大值是．例4由

，得

，由得，yz

23时有最小值当z554

时有最大值6例5提：显然运送次数越少，所驶的路程越短，所需邮费越少，因此18根线杆运送次行驶路程较短，这有两种运送方法）次个4根一次2根）三次各，二次各3根（1）考虑先送2根，后送4根；先送根，后送．①先送2根再4根二次共行驶：②先送4根再2根二次共驶：300（）次各送3根，所行路程为200

米；米；米故先送2根行路程最短，最短总行程为：

400

400

19000米故所用最少油费为

1mn1000

元例6如所示，在△ABC，C90，BC=5，AB=13点P到，CAAB的离分别为ddPC由三角形的面积公式知：

，连接PA，，1ddd22

.即

5136012

.显然有

ddd312

.故

6013

2

.当

d02

时，有

d12

，即

dd12

3

取最大值时，与A重合；当

d01

时，有

d2

6013

，即

dd12

取最小值时，与C重.

A1.27

原式

3

2

2.63.15°

提示：

6

C

4.

1提b∴a2a

又

b

代入

b

中，得cc

，∴

1c1.故2a2

.5.D6.B

7.A

B9.设

z

，则

xky2,z

.∴

x,

均为非负实.∴04k+3

，解得：

23

.故

xyz

26

.∴

126，352

，所以

的最小值是，最大值是

.10.20套1800元提设生产L型的童装套数为S301500.

则产M型的童装为

套所得利润

由由得

x，x

.11.最小表面积的打包方式为2×3.小表面积为17952，图略B级1.27

当

b2,a25时的最大.2.102

提示：m190

.3.1157

提示：

8b64d

.4.BDE5.13800元

93.62百元提示：设由甲库调运吨粮食到市，总运费为y元，则y5x

x13800

6.

提示：

abdaM

abcaa

.故1M

.7.B提：设

x，

.故

S13四边形

x25x

.8.（）

1

2002

1

2

2

2

2002

2

2012m

.m

1

2

2012

.当

aa1

2002

或

时取最大值当

a,a,a

中恰有个1个时，取小值.（）为大于2002的最小完全平方数为452，1

2002

必为偶数，所以a1

2002

即a,,

中恰有个1978个个978个1时，m取最小值

2002

.

9.由条件得：a2

,a

a

，以上各式相加，得

2005

，故

a1

2005

.由已知a,,

,a

都是偶数，因此

aa12

2005

.另方面，当aa1

a

2005

0，a24

2004

时，符合条件，且使上式等号成立，故所求的最小值是.10.仓库地址应选在C处假定仓库另选一地O设

AB,,AOBOy

（单位千米定厂量为

2

厂产量为

3

厂量为

吨仓库在O处总运费表示为

2mxmymz

；仓库在C处总运费可表示为3ma由于x＋＋