2022年高考概率统计试题的特点及其教学启示 论文

2022年安徽省中小学教育教学论文评选2022年高考概率统计试题的特点及其教学启示摘要：本文以2022年数学高考“概率统计”试题为研究对象，先简析了试题具有加强基础性、注重全面性、突出情境性、深化创新性的特点，然后基于高考评价体系对“概率统计”教学和高三复习提出了几点教学启示：以概念生成为抓手，重视回归新教材；以核心概念为载体，注重大单元设计；以情境创设为依托，突出问题解决；以深度学习为旨归，关注素养提升。关键词：概率统计试题评析教学启示概率与统计在高中数学课程中地位很重要，课标指出高中数学课程内容要“突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线”[1]，概率统计覆盖了从小学到高中的所有学段。法国数学家拉普拉斯有句名言:“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题。”随着大数据时代的到来，人工智能化、数据的分析与处理都与概率统计息息相关，因此概率与统计的重要性变得越来越突出，已成为新高考命题的热点。 本文将以2022年高考全国卷中的概率统计试题为载体，对高考试题进行了深入地思考，并探求高中概率统计教学对策，以飨读者。 一、素养导向下的试题特点简析

今年是数学新高考全国卷的第三年，试题坚持素养导向、能力为重的命题原则，表现出加强基础性、注重全面性、突出情境性、深化创新性的特点。为了更好地助力教学，发挥高考的积极导向，下面将认真研究2022年高考概率统计试题，希望能够对大家有所启示。 1.加强基础性，要求学生用数学眼光观察问题，考查数学抽象素养

2022年高考概率统计试题进一步强化基础考查，突出关键能力。对“概率与统计”内容的考查，均以概率与统计的必备知识为载体，主要围绕古典概型、概率的基本性质、频率与概率、离散型随机变量分布列、期望及方差、样本的数字特征、相关性分析和独立性检验等方面进行考查。众所周知，数学主干知识是学科素养的基础支撑。2022年试题全面深化基础性考查，一方面持续加大对数学基本概念和基本能力的考查，如2022年全国甲卷文科第6题考查“中位数”“平均数”“古典概型”“茎叶图”等基本概念和基础知识；另一方面加强对数学主干知识考查，如全国甲卷理科第19题，考查概率的基础知识和求离散型随机变量的分布列与期望的方法。例1（2022年全国甲卷文科第2题）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答12022年安徽省中小学教育教学论文评选一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图： 则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

点评：本题以考生熟悉的普及社区居民的垃圾分类知识的公益讲座为背景，统计讲座前和讲座后问卷答题的正确率，考查样本数据的数字特征；考生需要弄清基本概念“中位数”“平均数”“标准差”“极差”，并能从生活中的问题抽象出数学问题，体现对学生数学抽象素养的考查。2022年概率统计试题突出对基本概念、基本原理的考查，不仅加强了对学生基本计算能力的训练和培养，也要求学生能从生活问题中抽象出数学问题，对数学抽象素养又有一定的要求。如新高考1卷解答题第20题考查了独立性检验这个基本点。这就要求老师平时教学要注重回归知识本质，注重数学的基础性，多讲概率统计的原理和思想，引导学生强化对数学基本概念的理解，让对概念混淆不清的学生知其然还要知其所以然。 2.注重全面性，要求学生用数学思维思考问题，考查逻辑推理素养

2022年高考概率统计题，考查内容注重全面性，这就要求考生知识覆盖全面，关键能力强化。一线教师要领悟新课标要求，关注新旧教材变化，注意对新增内容的考查力度，否则就会受旧课标的思维定势的影响而陷入教学误区。切勿根据平常模拟的出题导向来复习，而忽视了一些不常考的考点。若教师只是对着复习资料照本宣科，不依标施教、依本施教，不引导学生从整体上架构起高中知识体系，不系统学习每章每节知识、整理出自己的知识导图,独立梳理总结出各种题型，那就远远不能满足新高考的要求。例2（2022年新高考Ⅰ卷第20题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当22022年安徽省中小学教育教学论文评选地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表PBA) PBA)示事件“选到的人患有该疾病”．PBA)与PBA)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．（ⅰ）证明：R=PAB) PAB×PAB)；PAB))（ⅱ）利用该调查数据，给出PABPAB)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．K2=nad-bc)2附(a+bc+da+cb+d)，PK(2³k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 点评：本题第二问考条件概率的证明题，而条件概率是平时很少考的冷门考点、边缘考点，考生比较陌生，很多考生考试时便无从下手。求新求变是高考的主旋律，因此关注高频考点的同时要注意防范边缘考点、冷考点。再如2022年新高考I卷第5题考查学生对古典概型的计算，引入了初中就学习过的“互质”这个概念，由于学生不理解“互质”的定义，做题便无从下手。其实这个概念在高中人教A版选择性必修教材（见图1）中也出现过。32022年安徽省中小学教育教学论文评选图1人教A版选择性必修第二册57页因此，平时教学不能放过教材中涉及到的任何一个概念，这也要求考生知识点覆盖要全面，并要有较强的分析问题能力和推理论证能力，能将具体问题情境转化为数学语言，并利用数学语言进行逻辑推理，进而发展学生的逻辑推理素养。总之，只有在平时强化对知识的梳理，形成紧密联系的概率统计知识体系，把基础夯实，并对内容体系理解透彻，对题型把握得清晰，才可以在高考中做到以不变应万变！ 3.突出情境性，要求学生用数学语言表达问题，考查数学建模素养

2022高考全国卷数学概率统计试题一如既往地将数学知识融于实际情境之中，呈现出典型的“无情境，不成题”的特征。它加大了试题的情境创设和呈现方式,通过设计现实性和综合性问题，进一步突出对学生加强联系实际的应用性考查，实现对数学建模素养的考查。让学生在现实情境中感受数学的应用价值。例3（2022年全国乙卷文、理科第19题）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总

和根部横截面0.00.00.00.00.00.00.00.00.00.00.642022年安徽省中小学教育教学论文评选并计算得10

åi=1xi2=0.038,10

åi=1yi2=1.6158,10

åi=1xyi i=0.2474．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数r=n

åi=1(xi-x)(yi-y)y)2,1.896»1.377n

åi=1(xi-x)2n

åi=1(yi-点评：全国乙卷文、理科第19题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力，考查统计中的回归分析模型和学生的数学建模素养。除此之外，全国甲卷文、理科第2题以社区环境建设中的“垃圾分类”为背景材料，全国甲卷理科第19题，以学校体育比赛为情境材料。新高考Ⅱ卷第19题，以流行病学为实际背景，体现了概率在医学科学中的应用。全国乙卷理科第17题以检验新设备生产产品的某项指标有无提高为命题背景，考察了考生对于平均数、方差等知识的理解和应用，引导学生重视数学应用。而学生在学习概率统计遇到的较大困难是对所学的模型理解不透彻，不会化繁为简，不能正确的建立模型和选择模型解题，常乱用模型解题。教学中要引导学生从题干中对概念与模型有一定的辨识能力，并利用相应的数学模型来解决问题。 4.深化创新性，要求学生用数学知识解决问题，考查数据分析素养

高考命题除了在情境设计方面下足功夫，在试题设问方式上也有了新的创新，加大灵活性的设问，改变设问方式，优化试题设计，创新考查方式，充分考查学生的创造性思维和，减少学生反复刷题、机械训练的收益。例4（2022年全国乙卷理科第10题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，52022年安徽省中小学教育教学论文评选各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为pp1 2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关

B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

点评：本题对问题中条件的叙述、设问的方式进行合理优化，概率计算没有出现具体的数值，而是以字母代替，是利用符号语言进行逻辑推理的概率与不等式的综合试题，以此考查学生的数据分析素养。 再如新高考Ⅰ卷第20（2）题以条件概率作为背景为命题的切入点，要求学生证明等式，第一次在统计与概率的解答题中出现证明问题，可谓灵活创新，考法多变。大数据时代，整理数据、分析数据进行决策和判断是大势所趋，高考也注重查学生的数据分析素养。如全国乙卷文、理科19题以林区树木的总材积量的统计计算为依托，考查了统计思想、统计量的理解与计算，考查学生应用统计的基本知识和方法，分析数据、处理数据能力和公式的变形与计算能力，考查了数学运算的学科核心素养。再如全国乙卷理科数学第10题考查棋手比赛背景下的概率计算，全国乙卷文科数学第4题统计了两位学生的课外体育运动时长，在此背景下考查基本统计量的识别和概率估计。可见，没有准确的计算能力，难以适应现在的高考改革。“数学运算是数学学习的核心能力，尤其是在统计学习中显得尤为重要。”[2]教学中，要让学生用数学知识解决问题，不断积累数据分析的经验，数据分析素养的培养才成为可能。 二、基于高考评价体系下的教学启示

以上通过简析2022年数学高考试题中有关概率统计方面的试题，旨在在高考评价体系下揭示该知识点的命题规律，预测命题趋势，为科学高效地组织新课教学和高三复习提供借鉴和参考。 1.以概念生成为抓手，重视回归新教材

概率统计内容是课改变动较大的内容，是高考命题专家命制试题的关键处，这就要求一线教师要回归新教材，密切关注概率统计知识在新旧版教材中的内容增减、编排次序、考查重点等方面的变化，新课教学在突出主干内容、必考点、高频考点的同时，也要注意易忽视的冷考点，加大对新增内容的关注，应在变化处多下功夫，回归教材，减量提质。如2022年新高考Ⅰ卷第20题对旧教材不常考的条件概率进行了考查，足见高考试题正在向新教材的课程内容调整进行靠拢。62022年安徽省中小学教育教学论文评选回归新教材，除了关注新旧教材的变化处，还要重视概念的生成、公式的推导。2022年高考概率统计试题内容紧扣课标和教材，加强基础性与关键能力考查，这是对中学教学依标施教、依本施教的积极导向。分析2022年的高考概率统计真题，不难发现学生得分不理想是与学生对很多基本概念存在假性理解，不注重原理、概念的生成，公式的推导过程有关。只有基于新课标，回归新教材，深刻挖掘题目背后的原理和内涵，才能更好地把握数学的本质，才能对该部分知识的掌握得更深刻更牢固，如此，方能在高考中拿到高分。如全国乙卷文、理科第19题考查学生应用统计的基本知识和基础方法，本题考点中有对相关系数公式rn

i1(xix)(yiy)y)2的考查，学生若忽视公式的推导，对于n

i1(xix)2n

i1(yi公式的求解、变形未能灵活运用，就会打乱解题节奏进而失分。可见，不要强记题型、死背结论，而是要把重点放在回归新教材，重视概念生成和公式推导上。 2.以核心概念为载体，注重大单元设计

2022年高考数学对“概率与统计”内容的考查，均以概率与统计的核心概念为载体，主要聚焦基本概念、基本公式的理解、应用；仍持续加强对“三交汇”知识的考查力度：概率模块内知识交汇，概率与统计、统计案例的交汇，概率与函数、方程、不等式的交汇。学生得分不理想与部分老师没有领悟新课标要求，概率统计教学还是更多的停留在“讲授、告知”阶段，没把基本概念及公式讲解透彻，没有引导学生从整体上把握学科知识的结构和逻辑关系有关。如新高考I卷第20题，在数学知识网络的交汇点处设计问题，以独立性检查和条件概率为原型，设计概率统计应用题，要求学生证明等式，考查考生对独立性检查、条件概率、数据处理、等式等知识的理解和应用。再如全国乙卷理科第10题是含多字母参数，利用符号语言进行逻辑推理的概率与不等式的试题。试题综合性较强，要求考生从整体出发，综合运用所学知识解决问题。因此，高考引导一线教师要认真钻研新教材，要从课时设计向单元设计转变，应先在数学学科知识的整体单元架构下，打通各个章节的联系，梳理概率与统计内容的内在逻辑关联（见图2和图3），以此来确定单元内容,然后以核心概念为载体，优化大单元教学，形成紧密联系的概率统计知识体系，进而培育学生的数学核心素养。72022年安徽省中小学教育教学论文评选概念随机变量随机事件古典几何二项超几何正态分布的概率概型概型分布分布随机模拟随机事件核心知识基本概率模型随机方法核心概率核心模型化方法载体事件方法随机思想核心思想模型化思想图2收集数据随机抽样用样本估计总体变量相关性核知心识整理数核心统计核心数据据方法载体 核思

估计与判 心想

断问题随机思想 归纳思想图382022年安徽省中小学教育教学论文评选 3.以情境创设为依托，突出问题解决

2022年高考概率与统计试题的呈现均配有相应的问题背景情境，引导学生利用概率与统计知识来进行问题的解决，着重考查学生的问题解决的能力。如北京卷第18题以学生熟悉的校运动会体育铅球比赛为背景,设置铅球比赛问题，重点考查统计学中关于数据的收集、估计、预测的基本方法和原理，考查统计学中预测方法与步骤的全过程。素材来自现实、源于真实情境，突出对问题解决能力的考查。再如全国乙卷第19题以生态环境建设为背景材料，考查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力。可见，2022年高考注重能力立意，素养导向，考查的是知识所承载的关键能力和学科素养，理念已经从“解题”跃升到“解决问题”，这使单纯的知识记忆和刷题失效，说明高考数学正逐步降低“机械刷题”的得分收益，提升问题解决能力才是硬道理。因此，一线教师应利用现实生活中跨学科的、具有现实背景意义的案例来创设问题情境，注重概率与统计模型的教学，要引导学生利用相应的数学模型来提升解决问题的能力。 4.以深度学习为旨归，关注素养提升

2022年高考试题继续在题型创新上加大力度，突出概率与统计内容的应用特色，加强对阅读理解与信息整理、数据整理、加工分析和统计推断能力的考查，引导教学关注素养，促进学生深度学习。题目思路和方法比较简单，但是学生得分率并不高。究其原因，是学生阅读审题困难，识别构建模型困难，计算困难。如新高考Ⅱ卷第19题设置流行病学调查问题，通过频率分布直方图考查考生对符号语言、图形语言的阅读理解能力和利用统计图表读取数据，进行数据处理和数据分析的能力。再如新高考Ⅱ卷第三问考查了学生不太敏感的条件概率，学生失分在于不能识别条件概率的模型。还如全国乙卷