双曲线及其性质（练习）（含解析）2023年高考数学二轮复习VIP

考点8-3双曲线及其性质1．（2021·全国·高考真题（文））点到双曲线的一条渐近线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.故选：A.2．（2021·山东·高三开学考试）已知，分别为双曲线（）的左、右焦点，，是右支上的两点，且直线经过点．若，以为直径的圆经过点，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由以为直径的圆经过点得，结合双曲线的定义及勾股定理可得解.【详解】由题意得，设，则，，，，在中，由勾股定理得，解得，则，，在中，由勾股定理得，化简得，所以的离心率，故选：A.3．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，O为坐标原点，点P为双曲线C中第一象限上的一点，的平分线与x轴交于Q，若，则双曲线的离心率范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据角平分线的性质得出，，利用三角形的三边关系以及双曲线的性质即可求解.【详解】设双曲线的半焦距为，离心率为，由，则，，因为是的平分线，所以,又因为，所以，所以，解得，即，所以双曲线的离心率取值范围为.故选：B4.（2022·全国·高考真题（理））若双曲线的渐近线与圆相切，则_________．【答案】【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线的渐近线为，即，不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，依题意圆心到渐近线的距离，解得或（舍去）．故答案为：．5．（2022·河南开封·高三模拟（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若，则双曲线的离心率为______．【答案】【分析】联立直线方程可得点，的坐标，结合，可得，进而可得离心率.【详解】由题意，双曲线的渐近线为，若过的直线与直线垂直，垂足为，直线与直线交于，，因为，所以在，之间，如图所示，直线的方程为，由，得，由，得，由，可得，所以，所以，所以双曲线的离心率．同理，过的直线与直线垂直时，双曲线的离心率．综上所述，双曲线的离心率为，故答案为：.6.（2022·山东青岛·二模）设O为坐标原点，抛物线与双曲线有共同的焦点F，过F与x轴垂直的直线交于A，B两点，与在第一象限内的交点为M，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的运算建立方程，转化为离心率e的方程求解.【详解】因为抛物线的焦点，由题可知，，即抛物线方程为，令代入抛物线方程，可得，代入双曲线方程，可得，可设，，，由有两边平方相减可得，，由有：，又即，由有：由，解得.故A，B，D错误.故选：C.7．（2022·新疆·三模（理））已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限交于点A，M为的中点，且，则双曲线C的渐近线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】依题意可得，即可求出，再由，即可得到，由余弦定理求出，即可得到，再根据，即可得到、的关系，即可得解；【详解】解：由，即，又，且，解得或（舍去），由且为的中点，知，∴，∴，∴，又，∴，∴渐近线方程为.故选：A8．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】由题意可得为线段的中点；由得，结合双曲线定义求得，利用勾股定理可得，即得a,c的关系式，求得答案.【详解】如图，因为，所以为线段的中点；由于，即,所以，所以为等腰三角形，且有连接，又，点Q在双曲线C上，由双曲线的定义，可得，故;所以在中，有，即，整理得，所以离心率，故选:B．9.（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是________．【答案】【分析】连接，，结合双曲线定义及余弦定理解三角形，可得离心率.【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，由条件可得，则，，，所以，即，即，所以双曲线的离心率为：，故答案为.10．（2021·青海·大通回族土族自治县教学研究室高三开学考试（文））已知双曲线的右焦点为，右顶点为，以坐标原点为圆心，过点的圆与双曲线的一条渐近线交于位于第一象限的点，若直线的斜率为，则双曲线的渐近线方程为________．【答案】【分析】先由题意得到圆的方程，再与双曲线的渐近线联立得到的坐标，利用的坐标求出直线的斜率，得到，继而求出双曲线的渐近线方程【详解】解：由题意得圆的方程为，双曲线经过第一象限的渐近线方程为，联立方程，解得点的坐标为，有，又由直线的斜率为，可得，有，故双曲线的渐近线方程为．故答案为：11.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线的右顶点.过的直线与双曲线的右支交于两点（其中点在第一象限），设分别为的内心，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由内心的性质，可知M，N的横坐标都是a，得到MN⊥x轴，设直线AB的倾斜角为θ，有，将表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设上的切点分别为H､I､J，则.由，得，∴，即.设内心M的横坐标为，由轴得点J的横坐标也为，则，得，则E为直线与x轴的交点，即J与E重合.同理可得的内心在直线上，设直线的领斜角为，则，，当时，；当时，由题知，，因为A，B两点在双曲线的右支上，∴，且，所以或，∴且，∴，综上所述，.故选：B.12．（2022·全国·高三专题练习）长为11的线段AB的两端点都在双曲线的右支上，则AB中点M的横坐标的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】用A、B两点的坐标表示出和，(F为双曲线右焦点）解出A、B两点的坐标，利用，求得m的最小值.【详解】由双曲线可知，a＝3，b＝4，c＝5，设AB中点M的横坐标为m，，则，，，当且仅当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．检验:如图，当F、A、B共线且轴时，为双曲线的通径，则根据通径公式得,所以轴不满足题意.综上，当F、A、B共线且不垂直轴时，m取得最小值，此时．故选：B．13．（2023·四川·成都七中模拟预测（理））已知双曲线（，）的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】由可得在的角平分线上，由双曲线的定义和切线长定理可得为的内心，再由内心的向量表示，推得，再由双曲线的定义和离心率公式，即可求解.【详解】因为，所以是的角平分线，又因为点在直线上，且在双曲线中，点是双曲线右支上异于顶点的点，则的内切圆圆心在直线上，即点是的内心，如图，作出，并分别延长、、至点、、，使得，，，可知为的重心，设，，，由重心性质可得，即，又为的内心，所以，因为，所以，，则，所以双曲线的离心率.故选：C.【点睛】三角形重心、内心和外心的向量形式的常用结论：设的角，，所对边分别为，，，则（1）的重心满足；（2）的内心满足；（3）的外心满足.14．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知双曲线G的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P坐标为，双曲线G上点，满足，则______．【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双曲线定义可得，则，又，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.又，可得，化简得，即，即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则.故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用双曲线定义及面积公式即可求解.15．（2021·湖北·荆门市龙泉中学高三阶段练习）双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经