上海市复旦大学附属青浦分校2022-2023学年高一上学期10月月考 数学试题（解析版）

2022学年复旦附中青浦分校高一（上）10月考数学试卷一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.集合的非空真子集个数为________.【答案】##【解析】【分析】利用集合中含有个元素，则它的非空真子集个数为即可求解.【详解】因为集合中含有个元素，所以集合的非空真子集个数为.故答案为：.2.已知全集，集合，集合，则________【答案】【解析】【分析】先求的,再求得补集即可【详解】由题,或,所以,故答案为:【点睛】本题考查集合的并集、补集运算,属于基础题3.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】由,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得,故答案为:【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.如果全集，，，，则________【答案】【解析】【分析】由题,用维恩图来表示集合,由图即可得到集合【详解】由题,将集合用维恩图表示,则,故答案为:【点睛】本题考查图示法处理集合问题,属于基础题5.已知，，且，记，，，则按从小到大的顺序排列是________.【答案】B＜C＜A【解析】【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.【详解】方法一：，不妨令，，，，故答案为：B＜C＜A.方法二：∵，，∴由排序原理可知：，∵，，∴A＞C＞B﹒故答案为：B＜C＜A.6.已知的周长为定值，则它的面积最大值为__________.【答案】.【解析】【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设三条边长分别为，其中为斜边长，所以，，，所以，所以，则三角形的面积.故答案为.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.我们将称为集合的“长度”，若集合，，且集合和集合都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是________【答案】【解析】【分析】当集合的“长度”的最小值时,与应分别在区间的左右两端,由此能求出的“长度”的最小值【详解】由题,的“长度”为,的“长度”为,当集合的“长度”的最小值时,与应分别在区间的左右两端,故的“长度”的最小值是,故答案为:【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用8.已知正数，，满足，则的最小值为________.【答案】24【解析】【分析】，由基本不等式即可求得最小值.【详解】因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立.故答案为：249.对任意两个集合与，定义①且，②，已知，，则_________.【答案】【解析】【分析】由A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，B＝{y|﹣2≤y≤2}，先求出A﹣B＝{y|y＞2}，B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0}，再求A△B的值．【详解】∵A＝{y|y＝x2，x∈R}＝{y|y≥0}，B＝{y|﹣2≤y≤2}，∴A﹣B＝{y|y＞2}，B﹣A＝{y|﹣2≤y＜0}，∴A△B＝{y|y＞2}∪{y|﹣2≤y＜0}，故答案为[﹣2，0）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X﹣Y＝{x|x∈X且x∉Y}、X△Y＝（X﹣Y）∪（Y﹣X）．10.已知，若不等式的解集为，已知，则的取值范围为________.【答案】【解析】【分析】将问题转化为在区间上恒成立,然后对分三种情况讨论,结合二次函数的图象可得.【详解】因为不等式的解集为,所以解集为,当,即时,不等式化为,所以,所以,满足;当,即或时,函数在上恒成立,所以满足;当,即时,二次函数的图象开口向下,要使,只需,化简得,解得或.又,所以或,综上,实数的取值范围是.故答案:.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题,二次函数图象,分类讨论思想,属于中档题.11.已知函数的图象关于垂直于轴的直线对称，则实数的取值集合是________.【答案】【解析】【分析】设函数关于对称，可得，然后分类讨论即得.【详解】设对称轴为，则，所以，若，则，所以满足题意；若，若，则，即，此时，，，，于是满足题意，所以满足题意；同理，当，，时，满足题意；综上，实数取值集合是.故答案为：.12.集合，，己知集合中有且仅有一个元素，则常数的取值范围是______________．【答案】【解析】【分析】将中有且仅有一个元素，转化为方程只有一个解，分情况讨论，确定参数范围.【详解】由集合，，且中有且仅有一个元素，只有个解，若，则，，若，则，，所以或或或，解得，故答案为：.二、选择题（每题5分，共20分）13.已知集合，集合，则中的最大元素是（）A.2014 B.2015 C.2016 D.以上答案都不对【答案】A【解析】【分析】由题意可知集合表示整数的3倍且大1的数的集合，则找出集合中符合条件的最大元素即可.【详解】因为集合，表示整数的3倍且大1的数的集合，，所以中的最大元素为2014，故选：A14.已知全集中有m个元素，中有n个元素．若非空，则的元素个数为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】因为所以，所以共有个元素，故选D．15.设，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质结合基本不等式即得.【详解】，，，，即,.故选：A．16.对于问题“设实数满足，证明：，，中至少有一个不超过”.甲、乙、丙三个同学都用反证法来证明，他们的解题思路分别如下：甲同学：假设对于满足的任意实数，，，都大于.再找出一组满足但与“，，都大于”矛盾的，从而证明原命题.乙同学：假设存在满足的实数，，，都大于.再证明所有满足的均与“，，都大于”矛盾，从而证明原命题.丙同学：假设存在满足的实数，，，都大于.再证明所有满足的均与“，，都大于”矛盾，从而证明原命题.那么，下列正确的选项为（）A.只有甲同学的解题思路正确 B.只有乙同学的解题思路正确C.只有丙同学的解题思路正确 D.有两位同学的解题思路都正确【答案】B【解析】【分析】利用反证法的证明思路，即假设结论的反面成立，从而得到矛盾即可.【详解】解：假设结论反面成立，所以存在满足的实数，，，都大于，这结论与已知条件矛盾，再证明所有满足的均与“，，都大于”矛盾，故乙同学是对的.故选：B.三、解答题（本题共5大题，满分76分）17.已知集合，，.（1）求，求的取值范围；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先解绝对值不等式求出集合，根据，可得，再分类讨论求出集合，即可求出的范围，（2）首先解分式不等式求出集合，根据，得到，且，即可求出的范围．【小问1详解】解：由，即，解得，即，又，所以，当时，不等式无解，所以，符合题意；当时，由，解得，所以，所以，解得；当时，由，解得，所以，所以，解得；综上可得；【小问2详解】解：由，即，即，解得，即，，，且，因为，，当时，显然不符合要求；当时，则，解得；当时，则，解得；故的取值范围；18.已知，不等式的解集为，不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）设集合，若.求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据，对分类讨论求解，进而求出的值；（2）解出不等式解集为，转化成不等式恒成立求参数范围.【详解】解（1）即即当时，解集为不合题意；当时，解，令无解；当时，解为，令，得所以；（2）由题：，即：，即解得：，，令，则由，对恒成立，得，解得：.【点睛】此题考查根据绝对值不等式的解集求参数值，解分式不等式，根据不等式恒成立求参数范围.19.已知函数.（1）若，解不等式；（2）是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，满足题意，详见解析【解析】【分析】（1）分别在和两种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；（2）当时，可验证恒成立，则；当时，将不等式变为，由于，可知不等式恒成立，得到；当时，将不等式转化为，通过分离变量的方式得到与函数和的大小关系，通过求解函数最值得到；将三种情况取交集得到最终结果.【详解】（1）当时，当时，等价于，解集为当时，等价于，解得：综上所述：不等式的解集为：（2）等价于当时，不等式为：，恒成立当时，不等式为：恒成立且又当时，不等式为：即且令当时，（当且仅当时取等号）令当时，则当时，综上所述：当时，对恒成立【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式中恒成立问题的求解；解决恒成立问题常用的方法为分离变量的方式，将问题转化为参数与函数最值之间的比较，本题中需根据自变量的范围讨论分离变量所得函数的形式.20.已知关于x的不等式，其中．（1）试求不等式的解集A；（2）对于不等式的解集A，记（其中Z为整数集），若集合B为有限集，求实数k的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B．【答案】（1）分类讨论见详解；（2），.【解析】【分析】（1）对进行分类讨论,分别讨论,,或,的情况,进而求解即可；（2）由（1）可知当时,集合为有限集,利用均值不等式可知,当且仅当时等号成立,进而求解即可【小问1详解】当,；当时,令,解得或,则当或时,,当时,,①当,；②当或,或；③当,或；【小问2详解】因为（其中为整数集）,由（1）,当时,集合中的元素的个数无限；当时,集合中的元素的个数有限,此时集合为有限集,因为,所以,当且仅当,即时等号成立,所以时，B中元素最少，此时还需，所以，所以21.设，若，则称A为集合M的元“好集”．（1）写出实数集的一个二元“好集”；（2）请问正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；（3）求出正整数集上的所有三元“好集”．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）通过对元“好集”的理解写出实数集的一个二元“好集”；（2）假设存在，利用作差法与整数的概念推出矛盾即可得证；（3）记正整数