医学统计学之正态分布

本资料起源医学统计学之正态分布第1页正态分布医学统计学之正态分布第2页正态分布通俗概念：假如把数值变量资料编制频数表后绘制频数分布图（又称直方图，它用矩形面积表示数值变量资料频数分布，每条直条宽表示组距，直条面积表示频数（或频率）大小，直条与直条之间不留空隙。），若频数分布展现中间为最多，左右两侧基本对称，越靠近中间频数越多，离中间越远，频数越少，形成一个中间频数多，两侧频数逐步降低且基本对称分布，那我们普通认为该数值变量服从或近似服从数学上正态分布。正态分布概念医学统计学之正态分布第3页下面我们以第一节某地13岁女孩118人身高(cm)资料，来说明身高变量服从正态分布。频数分布表：医学统计学之正态分布第4页频数分布图一（又称直方图）

从频数表及频数分布图上可得知：

该数值变量资料频数分布展现中间频数多，左右两侧基本对称分布。所以我们通俗地认为该资料服从正态分布。

医学统计学之正态分布第5页频数分布图二医学统计学之正态分布第6页频数分布图三医学统计学之正态分布第7页正态分布图四医学统计学之正态分布第8页正态分布数理统计学概念：

假如随机变量（X）概率密度函数为：

-∞＜x＜+∞则该随机变量服从正态分布。式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π为圆周率，即3.14159···；e为自然对数底，即2.71828···。医学统计学之正态分布第9页若某一随机变量概率密度函数（频率曲线方程）为上式，则称该变量X服从参数为μ和σ正态分布，记为：X～N（μ,σ2）。函数方程中μ为位置参数，σ为形状参数。在σ不变情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若μ变小时，曲线位置向左移。在μ不变情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变越来越“瘦”和“高”。医学统计学之正态分布第10页若某一随机变量X，其总体均数μ=0,总体标准差σ=1，即X～N（0,1）,则称变量X服从标准正态分布。习惯把服从标准正态分布变量用字母U或Z表示，此时，我们把U或Z称为标准正态变量。标准正态分布是正态分布中一个经典分布，数理统计上证实：对一服从正态分布随机变量（X），若进行特定变量变换，可将任何一服从正态分布随机变量（X）转变成服从标准正态分布随机变量（U或Z），这种变量变换过程称为变量标准化，也称为U或Z变换。式中符号意义如前述。医学统计学之正态分布第11页正态分布特征及其面积规律正态分布曲线位于横轴上方，呈钟形。正态分布曲线以均数所在处最高，且以均数为中心左右对称。医学统计学之正态分布第12页正态分布曲线由两个参数决定，即总体均数μ和总体标准差σ。在σ不变情况下，函数曲线形状不变，若μ变大时，曲线位置向右移；若变小时，曲线位置向左移，故称μ为位置参数。在μ不变情况下，函数曲线位置不变，若σ变大时，曲线形状变越来越“胖”和“矮”；若σ变小时，曲线形状变越来越“瘦”和“高”，故称σ为形态参数或变异度参数。N（μ，0.52）、N（μ，12）、N（μ，22）

N（μ1，σ2）、N（μ2，σ2）

医学统计学之正态分布第13页正态曲线下面积分布有一定规律性。对于服从正态分布随机变量（X），随机变量值出现在某一区间（x1,x2）概率与正态分布概率密度曲线与横轴在该区间所围成区域面积大小相对应（相等）。正态分布概率密度曲线与横轴围成区域总面积恒等于1。正态分布概率密度曲线下横轴上一定区间面积可应用数学知识求出。在实际应用中，因为全部正态分布都能够经过变量变换转变为标准正态分，为了省去积分计算不一样正态分布曲线下横轴上一定区间面积繁琐过程，所以数理统计学家专门编制了标准正态分布曲线下横轴上一定区间面积分布表，供查表求标准正态分布曲线下一定区间面积。医学统计学之正态分布第14页标准正态分布标准正态分布曲线下对称于0区间，面积相等，各占50%，即左右各为0.5。标准正态分布曲线纵坐标与面积关系图即纵坐标从－∞移到u所对应区域面积为上图红色区域面积大小，这么一个区域面积我们用Ф(u)表示，可经过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(u)大小。

u值查表所对应面积是区间(-∞，u)所对应面积，即Ф(u)。若u=-1.96，那么Ф(-1.96)则表示从－∞移到－1.96所对应区域面积，经过查标准正态分布曲线面积分布表得到Ф(-1.96)=0.025。医学统计学之正态分布第15页uu指单侧U界值，也称随机变量U上侧α分位数。其意义为：从到+∞这一侧面积为α,也即在随机变量U全部取值中，有100α值比大，有100（1-α）值比小。

医学统计学之正态分布第16页u/2医学统计学之正态分布第17页医学统计学之正态分布第18页医学统计学之正态分布第19页医学统计学之正态分布第20页当有一随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若要求某一区间（x1,x2）曲线与横轴围成面积时，无须利用积分学知识求从x1移到x2所对应区域面积大小来得到这一区间所对应面积。此时，我们能够经过变量变换，把X转变成u，即把普通正态分布变换为标准正态分布，经过求标准正态分布区间(u1,u2)所对应面积来间接求得普通正态分布区间（x1,x2）所对应面积。当随机变量参数μ和σ未知时，若来自该总体样本含量n很大时，可分别用样本均数和样本标准差作为μ