九年级数学下册28锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2小结学案新版85

小学习目标.习本章的重点内,整理本章知识形成知识体;.练掌握直角三角形的解法,并用相知识解决一些简单的实际问,进一步加深对锐角三角函数的认识学习过程第一层学习知识回顾一、锐角三角函数定义.锐角大小确定后,它所在的直角三形每两边所构成的比都是

确定的值..eq\o\ac(△,Rt)中∠90°,A∠∠的边别为a,,c如图所示我们把锐角A的对与斜边的比做的,记作sinA即sin;我们把锐角A的邻与斜边的比做的,记作cosA即cos;我们把锐角A的对与邻边的比做∠的切记作tan即tan.角A的都叫做A锐角三角函数三函数的实质是一些这些比只与角的大小有,当角的大小确定,它的三角函数值就确定,也就是说三角函数值随的化而变.二、特殊角的三角函数值锐角锐角三角函数sinAcosAtanA三、解直角三角形

30°

45°60°.般地,直角三角形中,除直角外,共五个元素即三条边和两个锐,由直角三角形中的,求出.角三角形中的边角关:(1)三边之间关:;(2)两锐角之间关:

的过程叫解直角三角(3)边角之间关:.直角三角形的类型及步骤:

.图形

已知类型

已知条件

解法步骤1

33(1)

-斜边,一直角边如,)

(2)由sinA=求两边

(3)∠B=(1)两直角边(,b)(2)由tanA=求(3)∠B=90°-∠(1)∠B=90°-斜边,一锐角如∠)一边一角一直角边,一锐角如∠)四、解直角三角形的应用举例

(2)由sinA=,a=c·(3)由cosA=,(1)∠B=90°-∠(2)由tanA=,(3)由sinA=,解决步骤:.实际问题抽象成数学问题(画出,其转化为解直角三角形的问题);.据问题中的条件,适当选用.到问的答案.到实际问题的第二层学习典例剖析.角三角函数的概念

解直角三角;【例1】如图在Rt△ABC中,∠90°,D为AC上的一,CD=3,5求的个三角函数值【思路点拨】在eq\o\ac(△,Rt)中由勾股定理求得BC=在eq\o\ac(△,Rt)ABC求得45再据三角函数的定义求解可解.角三角函数的性质【例2】当A为角且cosA<时∠的围()A.<∠30°B.<∠60°C.<∠90°D.30°∠45°【思路点拨】根据锐角的余弦值随着角度的增大而减小进行解2

sin4sin4解析:【例3】在△中∠90°,sin,则B=4【思路点拨】先根据互余两角三角函数关系得到cos,再根据同角三角函数之间的关系得到sin最后根据tan求结果.s解析:.殊角的三角函数值【例4】计算

-

-tn45°4sin60°【思路点拨】根据特殊角的三角函数值和负整数指数的意义求出每项的,再进行加减运算得到结.解.直角三角形【例5】如图在ABC中AD是边上的高AC=BD,已sin,求AD长3【思路点拨】根据直角三角形的边角关确定线段、AC间的数量关;根据勾股定理列出关于线段、、的方程即可解决问题.解.直角三角形的实际应用【例6】如图点、为球仪的南、北极,直线与放置地球仪的平面交于点D所成的角度约为67°,半径OC所在的直线与放置面垂,足为点15cm,AD=求半径的长(精确到0.1参考数据:sin67°09,s039,tan67°≈.36)【思路点拨】在eq\o\ac(△,Rt)ODE中,15,ODE=根据∠的余弦,即可求得OD长减去AD即为解【例7】如图长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m,是目前湖南第一高,和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340为测量高楼上发射塔AB高度在DE底端D点测得A的仰角为α,sinα=,在顶端E点测A的仰为45°,求发射AB的高5度3

【思路点拨⊥AC于,设24,根据正弦的定义求出,据勾股定理求出,根据题意列出方程求出,结合形计算即解评价作业(满分100分.(6分如所,在△中∠90°,5,BC=3,则cosA的值是)A.B.C.D.

34433545.(6分如所,已知eq\o\ac(△,Rt)中∠90°,AC=,则的是)A.2B.8C.25D.45.(6分如所,网格中,小方形的长均为eq\o\ac(△,1,)ABC的顶点是正方形网格的格,则sinA的值()A.B.

554

3333C.

00D.

5

5.(6分如所示的是以的边为直径的半圆,恰在半圆上过C作⊥交AB于已知cos∠ACD=,BC=4,AC的为5A.1B.

03C.3D.

63.(6分)如图所示在塔前平地上选择一点,测出看塔顶的仰角为30°,从C点塔底B走100米达D点测看塔顶的仰角为45°,塔AB的高()A.503米B.1003米C.D.

003003-

米米.(8分如所,eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠90°,B=30°,BC=6,AB长为

..(8分在ABC中如果A,∠满足|1

s-

=那么∠C=.(8分如所,点(,3)在第一象,与x轴所的锐角为α,tan=,则的值是A.1

.5

B.15C.2D.3.(8分如所,一渔船由西往东航,在A点测海岛C位北偏东60°方向前进20海到达B点此时,测得海岛C位北偏东30°的方向则海岛C航线的离等于海里..分计(1)

-(2015)-s45°+(-3);(2)(1)sin30°(2-3)(2+3)..(8分如所示,在eq\o\ac(△,Rt)中∠BAC=D在上,且△是边三角形.若AB=2,求△的周长(结果保留根).(8分如所示,某河堤的断面是梯形,BCAD迎水坡AB长13米且∠BAE=,求河堤的高BE是多少5.分如所示,☉的直径垂直于弦过点C的切线与直径的延长线相交于点P,连接(1)求证PD☉的6

(2)求证PD=PB·PA.(3)若4,tan∠CDB=求直径AB的长参考答案学习过程第一层学习知识回顾一、1唯..弦、余弦、正切角二、特殊角的三角函数值锐角锐角三角函数sinAcosAtanA

30°333

45°1

60°3三、解直角三角形.知元素其元素.(1)+b(股定理)(2)∠∠90°;(3)sin,cosA=,tanA=..直角三角形的类型及步骤:7

5435sin35435sin3∠90°∠A

∠A∠c·cosA

tnsin四、解直角三角形的应用举例.意图.角三角函数.学.案第二层学习典例剖析.角三角函数的概念【例1】解在eq\o\ac(△,Rt)BCD中∵CD=3、5,∴BC=

-5-34,又AC=AD+CD=∴AB=

445,则sin

445

55

,cos

45

5

,tan.角三角函数的性质【例2】解析s=,s=,∴30°∠A<60°故选:.【例3】解析sin,4∴cosB=A=,4∴sinB=

s

4

4

,∴tanB=

s

5故答案为:5..殊角的三角函数值【例4】解原式2-123=222323=0.直角三角形【例5】解⊥,eq\o\ac(△,∴)ADC为直角三角形;故sin

3

,设12,则13;

8

354354∵,∴13k;由勾股定理:k)+(1213),整理得6-13k+6=0,解得k=;3∴AD=8,或不合题,舍),故8.直角三角形的实际应用【例6】解在eq\o\ac(△,Rt)ODE中DE=15,∠67°,∵cos∠ODE=,∴OD≈≈.46(cm),0∴OA=OD-AD≈4614≈245(cm)答半OA的长约为245.【例7】解作EH于,则四边形为矩,∴,设24,在eq\o\ac(△,Rt)ADC中,sinα,5∴AD=25,由勾股定理,CD=

-=7x,∴EH=7,在eq\o\ac(△,Rt)AEH中∠45°,∴AH=EH=7x,由题意得,247340,解得,20,则24x=480,∴45228,答发塔AB的高度为28m.评价作业.2.A3.B4.D5.D64775°8.29103.解:(1)原式2-1-2+=.(2)原式+=.9

.解:ABD是等边三角,∴B=60°,∠90°,∠C=0°90°60°=30°,AB=BC=2AB=4,在eq\o\ac(△,Rt)ABC中由勾股定理得AC=-4-=23的周长是AC+BC+AB=2342=6+23.解:因为tan,所以设BE=12x,则AE=5在Rt△ABE中由股定理5+AE,=(12)+x),所以169169,解x=1(负舍)所BE=1212(米.即河堤的高BE米..证明:如图所示,连接ODOC,∵☉的切,∠PCO=90°,⊥,是直径,∠∠COP,又,OP=OP≌△(SAS),∠