函数单调性奇偶性周期性问题综合训练

1.函数奇偶性的定义(1)图像定义：①f(x)为奇函数⇔图像关于_____对称；②f(x)为偶函数⇔图像关于____对称；(2)符号定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x①f(x)为偶函数⇔___________;②f(x)为奇函数⇔____________.原点y轴f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)奇函数的图象(如y=x3)偶函数的图象(如y=x2)yxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-ayxoaP/(-a,f(-a))p(a,f(a))-a(2)判断下列六个函数是否是奇函数.(请在括号中填“是”或“否”)①y=x2-|x|()②y=sin3x

()③y=x+

()④y=3x-3-x()⑤y=|x|cosx()⑥y=x2,x∈(-1,1］

()(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的.

(2)若函数f(x)定义为R上奇函数,则一定有f(0)=0.(3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)关于点(b,0)中心对称.3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为(

)A.y=cos2x,x∈RB.y=log2|x|,x∈R且x≠0C.y=,x∈RD.y=x3+1,x∈R【解析】选B.y=log2x(x>0)是增函数,又y=log2|x|,x∈R且x≠0的图象关于y轴对称,故是偶函数.(3)已知f(x)=ax2+bx是定义在［a-1,2a］上的偶函数，那么a+b的值是________.【解析】由已知得a-1=-2a,解得a=∴f(x)=+bx,又f(-x)=f(x),即又x∈［］,∴b=0,故a+b=+0=答案：(4)已知f(x)为R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2,则f(x)=_____.【解析】由题意知f(0)=0,当x<0时，-x>0,∴f(-x)=(-x)2=x2,又f(-x)=-f(x),∴f(x)=-x2,答案：例2：函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)+f(x-2)≥3[4，+∞）

(2012·咸阳模拟)已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在(-∞,0］上是减函数，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是_________.(3)由已知得f(x)在［0,+∞)上为增函数，且f(a)=f(|a|),∵f(a)≥f(2),∴f(|a|)≥f(2),∴|a|≥2.得:a≥2或a≤-2.答案：a≥2或a≤-22.函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性.利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x).12.设函数,则使得成立的的取值范围是（）A．

B．

C．

D．[来源:Z*xx*k.Com]【答案】A【解析】试题分析：由可知是偶函数,且在是增函数,所以.故选A.热点一函数的性质及应用例1

(1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，

＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.思维启迪

利用数形结合，通过函数的性质解不等式；解析∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称.又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.答案(－1,3)(2)已知函数f(x)是R上的增函数，且f(x2＋x)>f(a－x)对一切x∈R都成立，则实数a的取值范围为________．(2)解析：由题意知x2＋x>a－x对一切x∈R都成立，即a<x2＋2x对一切x∈R都成立．令g(x)＝x2＋2x，则g(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1≥－1，∴a<－1，∴所求a的范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)4.(2014·长春模拟)已知定义在R上的奇函数满足f(x)=x2+2x(x≥0),若f(3-a2)>f(2a),则实数a的取值范围是

.【解析】由题意可得f(x)=x2+2x(x≥0)在[0,+∞)上为增函数,又f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(x)在R上为增函数.由f(3-a2)>f(2a)得3-a2>2a,即a2+2a-3<0,解得-3<a<1.答案:(-3,1)3.(2014·成都模拟)定义在R上的偶函数f(x)在［0，+∞)上递增，=0,则满足f()>0的x的取值范围是()A.(0，+∞)B.∪(2，+∞)C.D.【解析】选B.由f(x)=f(-x)=f(|x|)得f(||)>,于是||>,即>或<-,解得(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性奇函数与奇函数奇函数与偶函数偶函数与偶函数

和差奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积商2．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝________.解析：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：－3【新题快递】1.(2014·南京模拟)已知函数f(x)=a=f(ln2014),b=,则a+b=

.【解析】由已知f(x)=令g(x)=则g(x)为奇函数,且f(x)=g(x)+1，a=f(ln2014)=g(ln2014)+1,b==g(-ln2014)+1,则a+b=g(ln2014)-g(ln2014)+2=2.答案：2【典例3】(1)(2014·北京模拟)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(

)A.f(π)>f(-3)>f(-2)

B.f(π)>f(-2)>f(-3)C.f(π)<f(-3)<f(-2)

D.f(π)<f(-2)<f(-3)(2)(2014·长春模拟)若函数f(x)为R上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈都成立,则实数a的取值范围是

.【规范解答】(1)选A.因为f(x)为偶函数，所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又f(x)在［0,+∞)上为增函数，且2<3<π,所以f(2)<f(3)<f(π),即f(π)>f(-3)>f(-2).(2)因为f(x)为R上的增函数，所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a≤1-在上恒成立，令g(x)=1-，则由于g(x)在上为增函数，所以所以a≤-5，即a∈(-∞,-5］.答案：(-∞，-5］第3讲不等式与线性规划——

体验高考——

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.已知f(x)是定义在R上的增函数,函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,若对任意的x,y∈R,不等式f(x2-6x+21)+f(y2-8y)<0恒成立,则当x>3时,x2+y2的取值范围是()A.(3,7) B.(9,25)C.(13,49） D.(9,49).已知奇函数f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,且满足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,则不等式解集为

.即解得2<x<,)因为f(x)是奇函数,所以不等式f(x-3)+f(x2-3)<0等价于f(x2-3)<-f(x-3)=f(3-x),又f(x)是定义在(-3,3)上的减函数,所以(2013·天津高考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是()A.[1,2] B.C.

D.(0,2].≤1解得≤a≤2.(2015·长沙模拟)设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)<f(m),则实数m的取值范围是

.不等式f(1-m)<f(m),等价于f(|1-m|)<f(|m|).解得-1≤m<.[-1,)(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值.(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论.(3)如果f(4)=1,f(x-1)<2,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.(1)令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),所以f(1)=0.(2)f(x)为偶函数.证明如下:令x1=x2=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.f(.令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),所以f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,由(2)知,f(x)是偶函数,所以f(x-1)<2,等价于f(|x-1|)<f(16).又f(x)在(0,+∞)上是增函数.所以0<|x-1|<16,解得-15<x<17且x≠1.所以x的取值范围是{x|-15<x<17且x≠1}.2.周期性(1)周期函数：常数T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件：①T≠0;②f(x+T)=_____对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就称为它的最小正周期．f(x)最小的正数最小的正数【即时应用】(1)已知函数f(x),对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x),且x∈(0,2)时，f(x)=2012x2,则f(2013)=________.(2)函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+1)=-f(x),则f(x)的最小正周期为________.【解析】(1)∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的最小正周期为4，∴f(2013)=f(503×4+1)=f(1)=2012×12=2012.(2)∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).∴最小正周期为2.答案：(1)2012(2)2函数周期性的应用【方法点睛】关于函数周期性的几个常用结论(1)若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；②f(x+a)=则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x+a)=则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；【例3】(2011·新课标全国卷改编)已知函数f(x)对任意的实数x满足：f(x+1)=且当x∈［-1,1］时，f(x)=x2.(1)求f(2012);(2)确定函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点个数.【解题指南】解答(1)题需先由f(x+1)=探究出函数f(x)的周期，进而利用周期性，求f(2012),(2)作出y=f(x)及y=|lgx|的图像，从而使问题得解.【规范解答】(1)∵对任意x∈R,都有f(x+1)=∴f(x+2)=f((x+1)+1)=∴f(x)是以2为周期的函数，∴f(2012)=f(2×1006+0)=f(0)=02=0.(2)根据f(x)的周期性及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下可验证当x=10时，y=|lg10|=1;x>10时，|lgx|>1,因此结合图像及数据特点y=f(x)与y=|lgx|的图像交点共有10个.2.(2012·长安模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)，满足f(4+x)=-f(-x)，且当x∈［2,4)时，f(x)=log2(x-1)，则f(2010)+f(2011)的值为()(A)-2(B)-1(C)1(D)2【解析】选C.∵f(x)为偶函数，∴f(4+x)=-f(x).f(x+8)=f((x+4)+4)=-f(4+x)=-［-f(x)］=f(x),∴f(x)为以8为周期的周期函数，∴f(2010)=f(251×8+2)=f(2),f(2011)=f(251×8+3)=f(3),∴f(2010)+f(2011)=f(2)+f(3)=log2(2-1)+log2(3-1)=1.3.(2011·湖南高考)已知f(x)为奇函数，g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f(2)=_________.【解析】因为f(x)=g(x)-9是奇函数，所以f(-x)=-f(x),∴g(-x)-9=-［g(x)-9］,∴g(-2)-9=-［g(2)-9］,∵g(-2)=3,∴g(2)=15,所以f(2)=g(2)-9=6.答案：6-1-13(2