数学模型之减肥计划

数学模型之减肥计划第1页，共19页，2023年，2月20日，星期六

在国人初步进入小康社会以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者能减肥但无法维持。许多医生和专家建议，只有通过控制饮食和适当运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减肥并维持的目的。由此便可以引出本节的研究重点：建立体重变化规律的模型，并由此通过节食和运动制定合理的减肥计划。第2页，共19页，2023年，2月20日，星期六通常，人体重的变化是由于体内的能量守恒遭到破坏。人通过饮食吸收热量并转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。

做适当的假设就可以得到体重变化的关系。第3页，共19页，2023年，2月20日，星期六为方便起见，制定减肥计划我们以周为时间单位，所以这里用离散事件模型——差分方程模型来讨论第4页，共19页，2023年，2月20日，星期六模型假设体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加1kg（1kcal=4.2kj）；正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal~320kcal，且因人而异；运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg,每周吸收热量不少于10000kcal。第5页，共19页，2023年，2月20日，星期六K:表示第几周；ω(k):表示第k周的体重；C(k):表示第k周吸收的热量；α:表示热量转换系数[α=1/8000(kg/kcal)];β:表示代谢消耗系数（因人而异）第6页，共19页，2023年，2月20日，星期六第7页，共19页，2023年，2月20日，星期六减肥计划的提出我们制定一个减肥计划来讨论基本模型。事例

某甲身高1.7m，体重100kg,BMI高达34.6.该人目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。第8页，共19页，2023年，2月20日，星期六第9页，共19页，2023年，2月20日，星期六制定减肥计划1.先确定甲的代谢消耗系数β。根据已知条件c=20000kcal,α=1/8000,ω=100kg不变，由基本模型得

ω=ω+αc-βω

β=0.025这相当于每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal。从假设2知，甲的代谢消耗很弱，所以吃得多必将导致他变胖。第10页，共19页，2023年，2月20日，星期六第一阶段要求每周体重减少b=1kg,吸收热量减至下限cmin=10000kcal,即

ω(k)-ω(k+1)=1,ω(0)-ω(k)=bk

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-βω(k)第11页，共19页，2023年，2月20日，星期六根据α,β,b,cmin已知，有C(k+1)=12000-200k≥cmin=10000得k≤10,即第一阶段共10周，按照C(k+1)=12000-200k吸收热量，可使体重每周减1kg，至第10周末可减至90kg。第12页，共19页，2023年，2月20日，星期六第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin，由基本模型得ω(k+1)=ω(k)+αcmin-βω(k)=(1-β)ω(k)+αcmin

要得到减至75kg所需周数，可将上式递推得已知ω(k)=90,α,β,

cmin，求ω(k+1)=75，由上式得：第13页，共19页，2023年，2月20日，星期六75=0.975n(90-50)+50解得n=19,即每周吸收热量保持在下限，再过19周就可减至75kg。2.

为加快进程，第二阶段增加运动。经调查一下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：运动跑步跳舞乒乓自行车（中速）游泳（50m/min）热量消耗（kcal）7.03.04.42.57.9第14页，共19页，2023年，2月20日，星期六记表中热量消耗γ，每周运动时间t，利用增加运动后的基本模型，其中β’=β+β1，β1=αγt,即

ω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)试取αγt=0.003，即γt=24，则β’=0.028所以由上式带入已知条件得n=14,即若增加

γt=24的运动（每周跳舞8小时或自行车10小时），就

可将第二阶段时间缩短为14周。

第15页，共19页，2023年，2月20日，星期六3.若要维持75kg的体重，最简单的方案是找出每周吸收热量保持某常数c,使ω(k)不变。由上式

ω=ω+αc-(β+αγt)ωC=(β+αγt)ω/α若不运动得c=15000kcal；若运动，则c=16800kcalω(k+1)=ω(k)+αc(k+1)-(β+αγt)ω(k)第16页，共19页，2023年，2月20日，星期六减肥建议通过减肥模型可以看出，当β由0.025变为β’=0.028(变化约为12%)，减肥时间就从19周减到14周(变化约为25%)。可见通过改变β’，即改变运动的形式与时间，是个相当不错的减肥方式。如果你想用运动减肥，每项运动的时间应该超过20分钟以上。第17页，共19页