微积分第一章第一节课件

微积分第一章第一节课件第1页，共57页，2023年，2月20日，星期六课程简介教师姓名参考书交作业时间最后成绩答疑时间第2页，共57页，2023年，2月20日，星期六教材：微积分（四川大学）本课程主要内容有极限论，微分学，积分学和级数论等，它包括：1.数学分析：一元函数微积分学多元函数微积分学级数；2.向量代数，空间解析几何；3.常微分方程，差分方程第3页，共57页，2023年，2月20日，星期六第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不定积分，定积分及其应用，常微分方程；差分方程第二册：向量代数和空间解析几何，多元函数微分学，重积分，线面积分和级数。返回第4页，共57页，2023年，2月20日，星期六引言一、什么叫微积分?初等数学—研究对象为常量,以静止观点研究问题.微积分—研究对象为变量,运动和辩证法进入了数学.数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数,运动进入了数学,有了变数，辩证法进入了数学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生.恩格斯第5页，共57页，2023年，2月20日，星期六1.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分(上册)(下册)3.空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程和差分方程主要内容多元微积分第6页，共57页，2023年，2月20日，星期六二、如何学习微积分?1.认识微积分的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚第7页，共57页，2023年，2月20日，星期六给出了几何问题的统一笛卡儿

(1596～1650)法国哲学家,数学家,物理学家,他是解析几何奠基人之一.1637年他发表的《几何学》论文分析了几何学与代数学的优缺点,进而提出了“另外一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,从而提出了解析几何学的主要思想和方法,恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题,作图法,第8页，共57页，2023年，2月20日，星期六华罗庚(1910～1985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献,发表专著与学术论文近300篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学,典型群,他对青年学生的成长非常关心,他提出治学之道是“宽,专,漫”,即基础要宽,专业要专,要使自己的专业知识漫到其它领域.1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词:“学而优则用,学而优则创”.第9页，共57页，2023年，2月20日，星期六教师姓名：方小萍

Tel.84659240(o)

参考书：吉米多维奇数学分析习题集分析中的反例返回Emailaddress:xpfang08@第10页，共57页，2023年，2月20日，星期六交作业时间与地点：每周二上午教室作业要求全交。第11页，共57页，2023年，2月20日，星期六最后成绩：平时30%+期末70%答疑时间：待定preview+review+exercise要求：不迟到不早退，不中途退场。第12页，共57页，2023年，2月20日，星期六几个常用符号存在(exist)；任意(arbitary)；属于。成立；成立推出由命题21SS第13页，共57页，2023年，2月20日，星期六第一章分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限第14页，共57页，2023年，2月20日，星期六二、函数一、集合第一节函数第15页，共57页，2023年，2月20日，星期六元素a

属于集合M,记作元素a

不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.

具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作

.

(或).注:

M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.第16页，共57页，2023年，2月20日，星期六表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：

x所具有的特征例:

整数集合或有理数集

p与q互质实数集合

x

为有理数或无理数开区间闭区间第17页，共57页，2023年，2月20日，星期六无限区间点的

邻域其中,a称为邻域中心,

称为邻域半径.半开区间去心

邻域左

邻域:右

邻域:第18页，共57页，2023年，2月20日，星期六是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2

.则称A若且则称A与B

相等,例如,显然有下列关系:,,若设有集合记作记作必有第19页，共57页，2023年，2月20日，星期六定义3

.

给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或第20页，共57页，2023年，2月20日，星期六二实数与实数的绝对值2)数轴:规定了原点,方向,取了单位长的有向线段.3)绝对值0第21页，共57页，2023年，2月20日，星期六4)绝对值的基本性质:3)4)第22页，共57页，2023年，2月20日，星期六初等数学：研究对象为常量，是常量的数学；高等数学：研究对象是事物的运动规律和现象的

变化规律，是变量的数学。三函数(function)第23页，共57页，2023年，2月20日，星期六16世纪，机械学，航海学，物理学，力学提出许多新的问题：运动物体的速度和它的运动规律的关系；天体沿怎样的轨道运行；不规则图形的面积如何计算等等。Gallillo在“两门新学科”中，用文字和比例的语言表达函数；Newton于1665年开始微积分工作后，用“fluent”表示变量间关系；Leibnize1673年后首次使用function表示变量间的关系；Euler于1734年引进函数符号f(x)。第24页，共57页，2023年，2月20日，星期六实例第25页，共57页，2023年，2月20日，星期六2.某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。第26页，共57页，2023年，2月20日，星期六

定义1.

假定在某个变化过程中有x和y两个变量，x的变化域为X。假如对X中的每一个x值，根据某种对应规则f，变量y有唯一确定的值与之对应，则称y是x的函数(function)，记作：y=f(x)第27页，共57页，2023年，2月20日，星期六例4.

已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域第28页，共57页，2023年，2月20日，星期六2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性使称使称说明:还可定义有上界、有下界、无界(见上册P11)(2)单调性为有界函数.在I上有界.使若对任意正数M,均存在则称f(x)

无界.称为有上界称为有下界当时,称为I上的称为I上的单调增函数;单调减函数.第29页，共57页，2023年，2月20日，星期六(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.

说明:若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有例如,偶函数双曲余弦记第30页，共57页，2023年，2月20日，星期六又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记第31页，共57页，2023年，2月20日，星期六(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄里克雷函数x为有理数x为无理数,第32页，共57页，2023年，2月20日，星期六3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质设函数习惯上,的反函数记成其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:是定义在D上的一个函数,其值域如果对每一个,都有唯一的对应值,满足,则x是定义在上以y为自变量的函数,记此函数为第33页，共57页，2023年，2月20日，星期六2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数第34页，共57页，2023年，2月20日，星期六(2)复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数,①②u称为中间变量.注意:构成复合函数的条件不可少.例如,函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合第35页，共57页，2023年，2月20日，星期六两个以上函数也可构成复合函数.例如,可定义复合函数:第36页，共57页，2023年，2月20日，星期六1.幂函数

，它的定义域随不同的a而异，但无论a为何值，在(0,＋∞)内幂函数总是有定义的。其图形过点(1，1)，a>0和a<0时的图形分别如图1.2和图1.3。y=xy=x2y=xy=x-1y=x-2图1.2·yx·011

01图1.3yx··1

4.基本初等函数第37页，共57页，2023年，2月20日，星期六2.指数函数图1.4yx·01

，它的定义域，值域，其图形均过（0，1）点。当a>1时，ax为单调递增函数，当0<a<1时，ax为单调递减函数，如图1.4所示。a>1a<1

现在介绍一个特殊的无理数。在科学技术中时常会用到以e为底的指数函数。第38页，共57页，2023年，2月20日，星期六3.对数函数y图1.5·x01

，对数函数是指数函数的反函数。其定义域其图形均过(1,0)点，当a>1时，为单调递增函数。当0<a<1时，为单调递减函数。如图1.5。函数的反函数为简记为称为自然对数。4.三角函数第39页，共57页，2023年，2月20日，星期六正弦函数的定义域，它是以2π为周期的周期函数，且，其图形在直线之间。

是奇函数，且在上单调递增，如图1.6。y图1.6xo·····余弦函数的定义域为，且也以为2π周期，因为，所以，其图形也在直线之间。是偶函数，且在[0，π]上单调递减。如图1.6。第40页，共57页，2023年，2月20日，星期六

正切函数的定义域它是以π为周期的周期函数。因为，故为奇函数。如图1.7。余切函数的定义域也为周期函数，周期为π，且为奇函数。如图1.8。·····图1.7yxo图1.8yxo····第41页，共57页，2023年，2月20日，星期六

5.反三角函数(主值)y=arccosx是余弦函数y=cosx在[0,π]上的反函数,叫做反余弦函数,其定义域是[-1,1],值域是[0,π]，并在定义域上单调递减,如图1.10。

y=arcsinx是正弦函数y=sinx在[]上的反函数，叫做反正弦函数。其定义域是[-1,1]，值域是[]，并在定义域上单调递增，如图1.9。图1.9y·xo··图1.10yxo···第42页，共57页，2023年，2月20日，星期六

y=arccotx是余切函数y=cotx在区间(0,π)内的反函数,叫做反余切函数,其定义域为(-∞,+∞),值域是(0,π),并在定义域上单调递减的。

y=arctanx是正切函数y=tanx在区间()内的反函数,叫做反正切函数,其定义域为(－∞,+∞),值域是(),并在定义域上单调递增。第43页，共57页，2023年，2月20日，星期六1）幂函数2）指数函数3）对数函数4）三角函数5）反三角函数基本初等函数y=第44页，共57页，2023年，2月20日，星期六4.初等函数(1)基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.又如,双曲函数与反双曲函数也是初等函数.第45页，共57页，2023年，2月20日，星期六非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当第46页，共57页，2023年，2月20日，星期六*例5.求的反函数及其定义域.解:当时,则当时,则当时,则反函数定义域为第47页，共57页，2023年，2月20日，星期六内容小结1.集合概念定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素第48页，共57页，2023年，2月20日，星期六且备用题证明证:令则由消去得时其中a,b,c为常数,且为奇函数.为奇函数.1.

设第49页，共57页，2023年，2月20日，星期六2.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为第50页，共57页，2023年，2月20日，星期六5经济学中的常用函数1)需求函数若把该商品的价格p看作自变量,需求量D看作因变量则有需求函数,记做需求函数的图形称为需求曲线,需求一般是价格的递减函数.注:例外:古画,文物的需求最常用的需求函数:线性函数

D=f(p)第51页，共57页，2023年，2月20日，星期六

其中a,b为正的常数,a为价格为零时的最大需求量,为最大销售价格(这时需求量为零).2)供给函数在其他因素不变的条件下,供应商品的价格p看作自变量而把相应的供给量Q作为因变量,则有供给函数供给函数的图形称为供给曲线,它与需求相反一般是增的.最简单的供给函数为:Q=-c+dp第52页，共57页，2023年，2月20日，星期六其中c,d为正的常数.使一种商品的需求量与供给量相等的价格称为均衡价格.,例:已知鸡蛋收购价每公斤3元,每月收购5000公斤.若收购价每公斤提高0.1元,则收购量可增加500公斤.求鸡蛋的线性供给函数.解:设鸡蛋供给学院的函数为Q=-c+dp其中Q为收购