流体力学课件第7章：理想流体平面运动

第七章理想流体平面运动讨论理想不可压流体的二元运动：平面势流和漩涡运动问题③基本解与运动叠加原理对研究粘性流体运动有指导作用。意义：①研究理想流体二元运动规律；②历史上发挥过重要作用，（如机翼绕流、升力等问题）；

流体由于具有易变形的特性（易流动性），因此流体的运动要比工程力学中的刚体的运动复杂得多。在流体运动中，有旋流动和无旋流动是流体运动的两种类型。由流体微团运动分析可知，有旋流动是指流体微团旋转角速度的流动，无旋流动是指的流动。

刚体的一般运动可以分解为移动和转动两部分。流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。因此，任一流体微团在运动过程中不但与刚体一样可以移动和转动，而且还会发生变形运动。所以，在一般情况下流体微团的运动可以分解为移动、转动和变形运动三部分。7.1

问题的提出

粘性流体的流动大多数是有旋流动，而且有时是以明显的旋涡形式出现的，如桥墩背流面的旋涡区，船只运动时船尾后形成的旋涡，大气中形成的龙卷风等等。但在更多的情况下，流体运动的有旋性并不是一眼就能看得出来的，如当流体绕流物体时，在物体表面附近形成的速度梯度很大的薄层内，每一点都有旋涡，而这些旋涡肉眼却是观察不到的。至于工程中大量存在着的湍流运动，更是充满着尺度不同的大小旋涡。园盘绕流尾流场中的旋涡机翼绕流（LES）

流体的无旋流动虽然在工程上出现得较少，但无旋流动比有旋流动在数学处理上简单得多，因此，对二维平面势流在理论研究方面较成熟。对工程中的某些问题，在特定条件下对粘性较小的流体运动进行无旋处理，用势流理论去研究其运动规律，特别是绕流物体的流动规律，对工程实践具有指导意义和应用价值。平面流动以一条曲线为底，以高度为1的垂线作母线的柱面，如果通过该曲线的流量等于通过上述柱面的流量，把这样的流动称为平面流动。即认为流体流动只在与xoy平行的平面内进行，在与z轴平行的直线上的所有物理量都相等。xyzo任一时刻，流场中各点的流体速度都平行于某一固定平面的流动，并且流场中的物理量（速度、压强、密度等）在流动平面的垂直方向上没有变化。即所有决定运动的函数仅与两个坐标和时间有关。一.理想流体运动分解7.2理想流体微团运动分析

线变形速度：单位时间内某方向的微元长度在此方向的相对变化量。同理可得

角变形速度：单位时间内在坐标平面内的两条微元边的夹角的减小量的一半。同理可得旋转角速度大小

旋转角速度：流体微团单位时间内绕与平面垂直的轴所转过的角度。同理可得流体微团转过的角度为当流体微团具有绕自身轴作旋转运动时，则该点的运动是有旋的，否则称无旋运动。无旋运动必定存在势函数，故称（有）势流。无旋运动示意如下：有旋运动示意如下：二.有旋流动与无旋流动或或无旋流动的充要条件（旋度=0）一、速度环量速度环量Г：速度V沿封闭曲线L的线积分。αLdsV按照惯例，曲线积分的方向规定为逆时针方向为正，顺时针方向为负。例题7－17.3速度环量与旋涡强度二、旋涡（涡旋）强度旋涡强度就是面积A上涡量的通量，简称为涡通量。旋涡中某点涡量的大小是流体微团绕该点旋转的平均角速度的2倍，方向与微团的瞬时转动轴线重合。AΔAωωnn三、斯托克斯定理斯托克斯定理是研究有旋流动的一个重要定理。它将涡量的研究从面积分转变为线积分，使计算方便。或通常求Г比求I

要容易。任意面积A上的漩涡强度I，等于该面积的边界L上的速度环量Г，即：

斯托克斯定律证明：以平面流动为例来证明，如图7-2所示，在平面XOY上取一微元矩形封闭曲线，其面积dA=dxdy，流体在A点的速度分量为u和v，则B、C和D点的速度分量分别为：图7-2沿微元矩形的速度环量

于是，沿封闭曲线逆时针方向ABCDA的速度环量将uA、uB、uC

、uD和vA、vB、vC、vD各值代入上式，再将沿z轴的角速度分量表达式代入，简化后得称为微元面积上的斯托克斯定理。将上式对面积A积分，得即为平面面积A上的斯托克斯定理。对空间任一曲面，可将曲面分割成许多微元曲面，分别推导微元曲面上的斯托克斯定理，再得到空间曲面上的斯托克斯定理。Г=0不一定是无旋运动，如图。对强制线涡，包含涡的任意封闭曲线L有：但对不包含涡的封闭曲线L有：

斯托克斯定理说明：速度环量是否为零可以判断流动是否有旋。如果任意一条封闭曲线上的速度环量都为零，则此区域的旋涡强度为零，即旋转角速度为零，是无旋流动。但是，如果有一条封闭曲线上的速度环量不为零，则此区域的旋涡强度不为零，是有旋流动。讨论：包围某区域的速度环量为零，则此区域是否一定是无旋流动？例题

龙卷风r≤r0的风眼强迫漩涡流动的速度分布：r≥r0的眼外自由漩涡流动的速度分布：根据速度环量与旋转速度之间的关系的斯托克斯公式判断流动是否有旋。解：在r＝r0处眼内外速度相等，得当r0>r2>r1时，为强迫漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度环量是：可见，在强迫漩涡流动区域是有旋流动。r1r2r0xyABCD当r2>r1>r0时，为自由漩涡流动区域，ABCDA封闭曲线的速度环量是：r0r1r2xyABCD可见，眼外部分为无漩流动。另外：当r=0时，自由漩涡速度变为无穷大，这时沿圆周的速度环量为：可见，在圆心处是一个孤立的涡点，称为奇点。例：对于平面流动问题，设面积A′外的区域是无旋流动区，则包围A′的任一条封闭线上的速度环量等于区域A′的边界的速度环量。解：设ada′是区域A′的边界线。作一条割线，其两侧记为ab和a′b′。显然，封闭曲线abcb′a′da所围的区域是无旋流动区，其速度环量为0此曲线积分可分段计算：ab和b′a′是同一曲线的两侧，但积分方向相反，故沿ab和b′a′的速度环量之和恒等于0，所以有多联通区域的斯托克斯定理：一.速度势函数

由数学分析可知，是成为某一标量函数全微分的充分必要条件。则函数φ称为速度势函数，存在速度势函数φ的流动为有势流动，简称势流。根据全微分理论，势函数φ的全微分可写成

于是得（7-1）即速度矢量是函数φ的梯度7.4速度势与流函数

速度势函数（位函数，速度势）的性质无论是不可压缩还是可压缩，也不论是定常流动还是非定常流动，无旋必定有势，有势则无旋（*单联通区域）。无旋流动也称为有势流动，或简称势流或位流对有势流动显然成立。*例子：不可压缩流体的有势流动，速度势函数满足拉普拉斯方程，速度势函数为调和函数。不可压流体连续性方程：则有或该式称为“拉普拉斯方程”，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数，速度势函数是调和函数。任意曲线的速度环量等于曲线两端点上速度势函数之差，与形状无关。根据速度环量定义，沿任意曲线AB的线积分对无旋流动，求环量问题变为求速度势函数之差的问题。对平面不可压定常流动，不论是否有旋、是否有粘性或均可构造标量函数使则称为流函数。且等流函数线就是流线。二.流函数流线方程：连续性方程：（充分必要条件）

流函数性质1）流函数自动满足连续性方程：2）对无旋流，流函数是调和函数：3）流场中不同流线其流函数值不同，但流函数的差值就是流线间单位宽度对应的流量。4）三维流动（除轴对称流动外）一般不存在流函数，但是存在流线。

（1）满足柯西-黎曼条件如果是不可压缩流体的平面无旋流动，必然同时存在着速度势和流函数

因此，和互为共轭调和函数，这就有可能使我们利用复变函数这样一种有力的工具求解此类问题。当势函数和流函数二者知其一时，另一个则可利用上述求出，而至多相差一任意常数。三.势函数与流函数的关系对平面势流且

求出一个即可求出另一个，且由此可解得速度分布u、v，这是数值法的基础。（柯西-黎曼条件）（2）流线与等势线正交

是等势线簇[常数]和流线簇[常数]互相正交的条件，若在同一流场中绘出相应的一系列流线和等势线，则它们必然构成正交网格，称为流网，如图所示。流网

【例7-2】有一不可压流体平面流动的速度分布为。①该平面流动是否存在流函数和速度势函数；②若存在，试求出其表达式；③若在流场中A（1m，1m）处的绝对压强为1.4×105Pa，流体的密度1.2kg/m3，则B（2m，5m）处的绝对压强是多少？

【解】（1）由不可压流体平面流动的连续性方程该流动满足连续性方程，流动是存在的，存在流函数。由于是平面流动该流动无旋，存在速度势函数。（2）由流函数的全微分得：积分由速度势函数的全微分得：积分（3）由于，因此，A和B处的速度分别为

由伯努里方程可得解：故存在为有势流动另外，设存在则：对y积分：对x求导：故积分于是例：已知求：是否存在若存在，解出它们。可以令：处则c=0,于是说明存在流函数。用完全类似的方法，可求得：作图：坐标旋转，消去x,y项之后等ψ线，ψ>0时为以实轴x/对称的双曲线；ψ<0时为以实轴y/对称的双曲线。等φ线与之相交，亦为双曲线。例：已知求：u、v及ψ。

解：积分但令c=0,则即：等φ线，φ>0时为以实轴x对称的双曲线；φ<0时为以实轴y/对称的双曲线。等ψ线与之正交，亦为双曲线。作图：y平移至x=-1/2作业7-137-147-15

复变函数概念简介

复数的概念x和y是任意实数，分别称为复数z的实部和虚部。虚单位y=0时，z=x是实数；x=0且y≠0时，z=iy称为纯虚数。任何代数方程的解都可以用a+bi表示（a，b是实数）。两个复数相等是指它们的实部和虚部分别相等。两个复数x+iy和x-iy称为互相共轭的，用z和表示。

复数的运算规则设有两个复数，z1=x1+iy1和z2=x2+iy2，其运算规则定义为：称为复数z的模，记为，于是当z=x+iy时，有

复数的几何表示r就是复数z的模，称为复数z的辐角，记为利用欧拉公式得

复变函数的定义设有一个复数z=x+iy的集合g。对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+iv，则称w是z的复变函数，记作w=f(z)。

7.5

复势及其性质

ψ

与φ满足柯西-黎曼条件：则只要导数连续，可构造复变函数—复势：其导数称为复速度。W(z)称为复位势。复速度的模故

复位势的性质两点的复势之差是一复数，其实部是两点连线上的速度环量，虚部是通过两点连线的流量。复势允许加上任意复常数而不改变所代表的流动。如：两流动叠加，即两复势叠加，其合成流动的复势为：显然并不影响复速度。或：

势流叠加原理速度势函数和流函数都满足拉普拉斯方程，在数学分析上称为调和函数。根据调和函数的性质，若干个调和函数的线性组合仍然是调和函数。速度势函数和流函数都是调和函数，因此可将若干个速度势函数(或流函数)线性组合成一个代表某一有势流动的速度势函数(或流函数)。将若干个速度势函数、、、…叠加，得（7-1）（7-2）显然，叠加后新的速度势函数也满足拉普拉斯方程。同样，叠加后新的流函数也满足拉普拉斯方程，即（7-3）

叠加原理方法在实际应用上有很大意义，可以将几个简单的基本平面有势流动叠加成所需要的复杂有势流动。将新的速度势函数φ分别对x、y和z取偏导数，就等于新的有势流动的速度分别在X、Y和Z轴方向上的分量：

（7-4）或（7-5）即（7-6）7.6

基本的平面势流一.均匀直线流u=a,v=b流线方程：-bdx+ady=dψ积分：ψ=ay-bx,是斜率为的平行直线族另：积分：φ=ax+by,是斜率为的平行直线族可见：两族直线正交。用复势表示：复速度：二、点源与点汇连续性方程：则：复速度为不同角的辐射线簇复势压力分布:（伯努利方程）另：积分：设流量为Q（或-Q），采用极坐标为不同半径的圆周线点源和点汇的流谱点源点汇点汇沿半径的压强分布三、线涡（点涡，诱导流动）z轴（半径r0→0的圆柱）等速旋转，则M点的圆周速度:当故原点为奇点。取环量：故于是，表明：诱导流动在除奇点外为势流（无旋流动）。时，和积分：为圆周簇积分：为射线簇。复势：复速度：规定：逆时针旋转Г为“+”，顺时针旋转Г为“-”。压力分布：图4-14点涡的流谱7.7

有势流动的叠加几种势流叠加仍为势流。一.匀速直线流与源的叠加合成：驻点：解为：或：叠加的结果相当于绕流该形状物体（蓝金体）固壁边界流动。因r>0，故θ=π过驻点的流线方程：二、螺旋流点汇与点涡的叠加速度：为平面螺旋运动，如水轮机的引水室、水泵（蜗壳）。三、偶极子流相距Δr的点汇和点源的叠加:当Δr→0，使Q→∞并使Δr.Q=Μ，则：称为偶极子流，M称为偶极子强度。令：β=π，则：流线方程：为圆心半径的圆周簇。同理，等势线方程：亦为圆周簇。注意：偶极子的方向由点汇指向点源，而流体的流动方向是沿流线由点源指向点汇。四、无环量圆柱绕流均匀直线流与偶极子（x负向）叠加：零流线方程：或可见是以（0，0）为圆心，半径为的圆周。可得：或速度环量：圆柱面上（r=r0）压力分布：取压强系数：阻力：升力：表明：无环量绕流中，阻力与升力均为零，而实际测量圆柱绕流有阻力，称为达朗贝尔佯谬（1744），反映了理想流体假定的局限性。五、有环量圆柱绕流匀速直线流+偶极子+点涡（顺时针）速度：圆柱面上：圆柱面压力分布：升力：——库塔—儒柯夫斯基定律阻力：1)0<Γ<4πV∞r0时，驻点2)Γ=4πV∞r0时，驻点θ=3π/2。3）Γ>4πV∞r0时，驻点脱离圆柱。驻点位置：(有两解，A、B)。例7-2

已知复位势为（1）分析流动由哪些基本的势流组成：（2）求圆周x2+y2=2上的速度环量Г和流量Q。解：(1)位于原点的偶极子，强度M=2π，方向沿x轴负向；（0，1）和（0，−1）处各有一个点源和点涡，点源强度Q1=2π，点涡强度Г1=2π，点涡方向为顺时针；（0，2）和（0，−2）处各有一个点源和点涡，点源强度Q2=4π，点涡强度Г2=6π，点涡方向为逆时针；（2）在圆周x2+y2=2内，有两个点涡Г1=2π和两个点源Q1=2π，环量和流量分别为Г=−2Г1=−4π，

Q=2Q1=4π。例7-3

两个速度环量相等且Г=10m2/s的旋涡，分别位于y=±3处，试求（1）原点处的分速度u，v；（2）流函数。解：(1)原点（0，0），(2)

【例7-4】设把蒙古包做成一个半径为R的半圆柱体，因受到正面来的速度为U0的大风袭击，屋顶有被掀起的危险，其原因是